# Matematyka — zadanie 34 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193/zad/34 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa) - rok: 2019 - poziom: podstawowa - typ: open - punkty: 4 - działy: Trygonometria, planimetria ## Treść Dany jest trójkąt rozwartokątny ABC , w którym \Sigma ACB ma miarę \(120^{\circ}\) . Ponadto wiadomo, że BC = 10 i AB = 10 7 /matma-quiz/images/cke/MMA-P1_1P-193/z34.png . Oblicz długość trzeciego boku trójkąta ABC . B 10 7 10 \(120^{\circ}\) C A \(MMA_{1}P\) Odpowiedź: ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: \(|AC| = 20\) ## Sposób 1 - Twierdzenie cosinusów Znamy dwa boki i kąt zawarty między nimi - to klasyczny przypadek dla twierdzenia cosinusów. W trójkącie \(ABC\) mamy: - \(|BC| = a = 10\) - \(|AC| = b = ?\) - \(|AB| = c = 10\sqrt{7}\) - \(\angle ACB = \gamma = 120°\) Twierdzenie cosinusów (wzór na bok \(c\) naprzeciw kąta \(\gamma\)): \[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma\] Podstawiamy: \[(10\sqrt{7})^2 = 10^2 + b^2 - 2 \cdot 10 \cdot b \cdot \cos 120°\] Kluczowy fakt: \(\cos 120° = -\frac{1}{2}\), więc \(-2 \cdot 10 \cdot b \cdot (-\frac{1}{2}) = +10b\) \[700 = 100 + b^2 + 10b\] \[b^2 + 10b + 100 - 700 = 0\] \[b^2 + 10b - 600 = 0\] Wyróżnik: \[\Delta = 10^2 + 4 \cdot 600 = 100 + 2400 = 2500\] \[\sqrt{\Delta} = 50\] Pierwiastki: \[b = \frac{-10 \pm 50}{2}\] \[b_1 = \frac{-10 + 50}{2} = \frac{40}{2} = 20, \qquad b_2 = \frac{-10 - 50}{2} = -30\] Długość boku musi być dodatnia, więc \(b_2 = -30\) odpada. **Zatem \(|AC| = 20\).** ## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie Sprawdzamy, czy dla \(|AC| = 20\) wynik jest zgodny z danymi. Podstawiamy do twierdzenia cosinusów: \[|AB|^2 = |BC|^2 + |AC|^2 - 2 \cdot |BC| \cdot |AC| \cdot \cos 120°\] \[= 10^2 + 20^2 - 2 \cdot 10 \cdot 20 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\] \[= 100 + 400 + 200 = 700\] \[|AB| = \sqrt{700} = \sqrt{100 \cdot 7} = 10\sqrt{7} \checkmark\] Wynik się zgadza - **\(|AC| = 20\) jest poprawne**. ## Wzory z karty CKE **Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - twierdzenie cosinusów: \[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha\] Użyte w Sposobie 1 do znalezienia nieznanego boku, gdy znamy dwa boki i kąt między nimi. **Dział 9 (Trygonometria, s. 12)** - wartość funkcji trygonometrycznej kąta 120°: \[\cos 120° = \cos(180° - 60°) = -\cos 60° = -\frac{1}{2}\] To ze wzoru redukcyjnego \(\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha\) - maturzysta znajdzie go na s. 14. **Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8)** - wzór na pierwiastki trójmianu: \[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad \Delta = b^2 - 4ac\] Użyte przy rozwiązaniu równania \(b^2 + 10b - 600 = 0\). ## Typowe pułapki i uwaga > ⚠️ **Uwaga:** \(\cos 120°\) jest **ujemne** \(\left(-\frac{1}{2}\right)\)! Gdy wstawiasz do wzoru cosinusów, otrzymujesz \(-2ab \cdot (-\frac{1}{2}) = +ab\), czyli **plus**, nie minus. To najczęstszy błąd - zmiana znaku przy kącie rozwartym odwraca całe równanie. > ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić, który kąt jest "zawarty" między którymi bokami. Kąt \(\angle ACB = 120°\) jest kątem przy wierzchołku \(C\), zawarty między bokami \(CA\) i \(CB\). Bok naprzeciw tego kąta to \(AB\) - i to ten bok musi być po lewej stronie równania cosinusów. > ⚠️ **Uwaga:** Równanie kwadratowe daje dwa rozwiązania - zawsze sprawdź, czy oba są geometrycznie sensowne. Długość boku musi być dodatnia, więc \(b = -30\) odrzucamy bez wahania. **Odpowiedź:** \(|AC| = 20\). ### Sposób 1 - Twierdzenie cosinusów (karta wzorów) \[|AB|^2 = |AC|^2 + |BC|^2 - 2|AC|\cdot|BC|\cos 120°.\] \(\cos 120° = -\tfrac{1}{2}\). Niech \(b = |AC|\). \[(10\sqrt{7})^2 = b^2 + 10^2 - 2b\cdot 10 \cdot(-\tfrac{1}{2}).\] \[700 = b^2 + 100 + 10b.\] \[b^2 + 10b - 600 = 0.\] Wyróżnik: \(\Delta = 100 + 2400 = 2500\), \(\sqrt{\Delta}=50\). \(b = \tfrac{-10+50}{2} = 20\) lub \(b = \tfrac{-10-50}{2} = -30\) (odrzucamy). ### Sposób 2 - Wysokość i trójkąt \(30°-60°-90°\) (karta wzorów) Poprowadzimy wysokość \(BD\) z \(B\) na przedłużenie \(AC\). Kąt \(\angle BCD = 180°-120° = 60°\). Trójkąt \(BCD\) prostokątny ma kąty \(30°-60°-90°\), więc \(|CD| = \tfrac{1}{2}|BC| = 5\), \(|BD| = 5\sqrt{3}\). Z Pitagorasa w trójkącie \(ABD\): \(|AB|^2 = (|AC|+|CD|)^2 + |BD|^2\). \(700 = (b+5)^2 + 75 \Rightarrow (b+5)^2 = 625 \Rightarrow b+5 = 25 \Rightarrow b = 20\). ### Uwagi o punktacji (CKE) - **1 p.** za zapis \(\cos 120° = -\tfrac{1}{2}\) lub wyprowadzenie trójkąta \(30°-60°-90°\). - **2 p.** za równanie kwadratowe \(b^2+10b-600=0\) lub \((5+b)^2=625\). - **3 p.** za rozwiązanie prawie pełne (z \(h = 5\sqrt{3}\)). - **4 p.** za \(|AC| = 20\). - **0 p.** za błędne zastosowanie funkcji trygonometrycznych. **Trik:** kąt rozwarty w trójkącie \(\Rightarrow\) wysokość opuszczona z innego wierzchołka wychodzi poza trójkąt; zastosuj tw. cosinusów - najprościej. ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193/zad/34) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193%2Fzad%2F34) ## Podobne zadania - [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/9) — Zadanie 9. (0-5) Rozwiąż równanie 𝟑𝐜𝐨𝐬𝟐𝒙+ √𝟑𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒙) -𝟑𝐬𝐢𝐧𝟐𝒙= 𝟎 w przedziale [-𝝅, 𝝅]. Zapisz obliczenia. 9. 0-1- 2-3- 4-5 MMAP-R0_100 MMAP-R0_100 Rozwiąż równani - [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-5) Rozwiąż równanie 𝐬𝐢𝐧(𝟒𝒙) -𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒙) = 𝟒𝐜𝐨𝐬𝟐𝒙-𝟑 w zbiorze [𝟎, 𝟐𝝅]. Zapisz obliczenia. 10. 0-1- 2-3- 4-5 MMAP-R0_100 MMAP-R0_100 Rozwiąż równanie - [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-5) Rozwiąż równanie cos 2𝑥= ඥ2 2 (cos 𝑥-sin 𝑥) w przedziale 〈0, 𝜋〉. EMAP-R0_100 Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 12. Maks. liczba pkt 5 - [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-4) Rozwiąż równanie sin(2𝑥) + cos(2𝑥) = 1 + sin 𝑥-cos 𝑥 w zbiorze ⟨0, 2𝜋⟩. EMAP-R0_100 Wypełnia egzaminator Nr zadania 12. Maks. liczba pkt 4 Uzy _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_