# Matematyka — zadanie 4

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193/zad/4
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: open
- działy: Liczby rzeczywiste

## Treść

Zadanie 4. (0-1)
Liczba dodatnia
jest zapisana w postaci ułamka zwykłego. Jeżeli licznik tego ułamka
zmniejszymy o
, a jego mianownik zwiększymy o
, to otrzymamy liczbę
taką, że
A.
B.
C.
D.
Rozwiązanie zadania. Liczba dodatnia a jest zapisana w postaci ułamka zwykłego. Jeżeli licznik tego ułamka zmniejszymy o 50%, a jego mianownik zwiększymy o 50%, to otrzymamy liczbę b taką, że A. b=1/4a B. b=1/3a C. b=1/2a D. b=2/3a

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: B

\[b = \frac{1}{3}a\]

## Sposób 1 - algebraicznie (podstawienie symboli)

Niech \(a = \frac{p}{q}\), gdzie \(p\) to licznik, \(q\) to mianownik (\(p, q > 0\)).

**Zmniejszamy licznik o 50%** - czyli zostawiamy \(50\% = \frac{1}{2}\) licznika:
\[\text{nowy licznik} = p \cdot \frac{1}{2} = \frac{p}{2}\]

**Zwiększamy mianownik o 50%** - czyli mianownik rośnie o połowę siebie:
\[\text{nowy mianownik} = q \cdot \frac{3}{2} = \frac{3q}{2}\]

**Tworzymy nowy ułamek** \(b\):
\[b = \frac{\dfrac{p}{2}}{\dfrac{3q}{2}} = \frac{p}{2} \cdot \frac{2}{3q} = \frac{p}{3q}\]

**Wyrażamy \(b\) przez \(a\):**
\[b = \frac{p}{3q} = \frac{1}{3} \cdot \frac{p}{q} = \frac{1}{3} \cdot a\]

**Zatem \(b = \dfrac{1}{3}a\).**

## Sposób 2 - przykład liczbowy (weryfikacja)

Wybieramy konkretną liczbę, np. \(a = \frac{4}{6}\).

- Licznik: \(4\), zmniejszamy o \(50\%\): \(4 \cdot 0{,}5 = 2\)
- Mianownik: \(6\), zwiększamy o \(50\%\): \(6 \cdot 1{,}5 = 9\)

Nowy ułamek:
\[b = \frac{2}{9}\]

Sprawdzamy proporcję \(\frac{b}{a}\):
\[\frac{b}{a} = \frac{\dfrac{2}{9}}{\dfrac{4}{6}} = \frac{2}{9} \cdot \frac{6}{4} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}\]

**Potwierdza się: \(b = \dfrac{1}{3}a\).**

## Wzory z karty CKE

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy podstawowa arytmetyka ułamków i rozumienie procentów (procent jako ułamek: \(50\% = \frac{1}{2}\), wzrost o \(50\%\) = mnożenie przez \(\frac{3}{2}\)).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd |
| A: \(\frac{1}{4}a\) | Uczeń zmniejsza licznik przez 2 i mianownik przez 2 - jakby oba były zmniejszane zamiast mianownik rosnął. Albo myli "zmniejszyć o 50%" z "podzielić przez 4". |
| C: \(\frac{1}{2}a\) | Uczeń zauważa tylko zmianę licznika (\(\cdot \frac{1}{2}\)) i ignoruje zmianę mianownika, albo liczy tylko jeden z czynników. |
| D: \(\frac{2}{3}a\) | Uczeń odwraca ułamek - wpisuje \(\frac{2}{3}\) zamiast \(\frac{1}{3}\), np. myląc który element (licznik czy mianownik) jest w liczniku działania \(\frac{\text{nowy licznik}}{\text{nowy mianownik}}\). |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** "Zmniejszyć o 50%" to **NIE** to samo co "podzielić przez 50". Zmniejszenie o \(50\%\) oznacza zabranie połowy, czyli mnożenie przez \(\frac{1}{2}\).

> ⚠️ **Uwaga:** "Zwiększyć o 50%" to mnożenie przez \(1{,}5 = \frac{3}{2}\), a **nie** mnożenie przez \(\frac{1}{2}\). Do oryginału dochodzi połowa oryginału.

> ⚠️ **Uwaga:** Wynik nie zależy od konkretnych wartości \(p\) i \(q\) - stały współczynnik \(\frac{1}{3}\) wychodzi dla każdego ułamka. Dlatego można użyć dowolnego przykładu liczbowego do sprawdzenia.

**Poprawna odpowiedź: B**

### Sposób 1 - Ogólne przekształcenie
Niech \(a = \dfrac{p}{q}\). Nowy licznik: \(0,5p = \tfrac{1}{2}p\). Nowy mianownik: \(1,5q = \tfrac{3}{2}q\).
\[b = \dfrac{\tfrac{1}{2}p}{\tfrac{3}{2}q} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{p}{q} = \dfrac{1}{3}a.\]

### Sposób 2 - Konkretny przykład
\(a = \dfrac{6}{6} = 1\). Nowy: \(\dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}\). Czyli \(b = \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3}a\) ✓.

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(\tfrac{1}{4}\)** - ktoś pomnożył przez \(\tfrac{1}{2}\) dwa razy zamiast przez \(\tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{2}{3}\).
- **C. \(\tfrac{1}{2}\)** - zignorowano zmianę mianownika.
- **D. \(\tfrac{2}{3}\)** - zignorowano zmianę licznika.

**Trik:** \(+50\%\) to mnożenie przez \(1,5\), a nie dodanie \(0,5\).

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193/zad/4)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193%2Fzad%2F4)

## Podobne zadania

- [Zadanie 21](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/21) — Zadanie 21. (0-3) Pani Maria w 2015 roku łącznie zarobiła 43 740 zł. W każdym miesiącu od stycznia do września włącznie otrzymywała pensję tej samej wysokości. 
- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (3 pkt) Niech 4 log7 a Wyznacz 49 log 2 w zależności od a. Poziom rozszerzony MMA_1R Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 1. Maks. liczba pkt 3
- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2008-marzec-probna-podstawowa/zad/4) — Zadanie 4. (3 pkt) Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b określamy liczby aDb i a∗b w następujący sposób: aDb = liczba nie mniejsza spośród liczb a i b, a∗b =
- [Zadanie 2](https://matura.lol/question/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/2) — Zadanie 2. (0-2) Pensja pana X jest o 50% wyższa od średniej krajowej, a pensja pana Y jest o 40% niższa od średniej krajowej. Dokończ zdania. Zaznacz odpowiedź

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_