# Matematyka — zadanie 5

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193/zad/5
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: open
- działy: Funkcje

## Treść

Zadanie 5. (0-1)
Funkcja liniowa f jest określona wzorem
, gdzie a to pewna liczba
rzeczywista, ma miejsce zerowe równe
. Stąd wynika, że
A.
B.
C.
D.
(
) (
) (
) (
)
2
6
2
4
10
0
x
x
x
x
⋅
⋅
⋅
>
5
a
50%
50%
b
1
4
b
a
1
3
b
a
1
2
b
a
2
3
b
a
(
)
( )
1
11
f x
a
x
3
4
x =
41
3
a = -
41
3
a =
47
3
a = -
47
3
a =

MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

MMA_1P
Rozwiązanie zadania. Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x)=(a+1)x+11, gdzie a to pewna liczba rzeczywista, ma miejsce zerowe równe x = 3/4. Stąd wynika, że A. a=-41/3 B. a=41/3 C. a=-47/3 D. a=47/3

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: C

\[a = -\dfrac{47}{3}\]

## Sposób 1 - Podstawienie miejsca zerowego do wzoru funkcji

**Miejsce zerowe** funkcji to taki \(x_0\), dla którego \(f(x_0) = 0\).

Skoro \(x = \dfrac{3}{4}\) jest miejscem zerowym, podstawiamy go do wzoru i przyrównujemy do zera:

\[f\!\left(\frac{3}{4}\right) = 0\]

\[(a+1) \cdot \frac{3}{4} + 11 = 0\]

Odejmujemy 11 od obu stron:

\[(a+1) \cdot \frac{3}{4} = -11\]

Mnożymy obie strony przez \(\dfrac{4}{3}\):

\[a + 1 = -11 \cdot \frac{4}{3} = -\frac{44}{3}\]

Odejmujemy 1 od obu stron (pamiętamy: \(1 = \dfrac{3}{3}\)):

\[a = -\frac{44}{3} - 1 = -\frac{44}{3} - \frac{3}{3} = \boxed{-\frac{47}{3}}\]

## Sposób 2 - Rozwinięcie nawiasu i rozwiązanie równania

Rozwijamy nawias we wzorze funkcji:

\[f(x) = ax + x + 11\]

Podstawiamy \(x = \dfrac{3}{4}\) i przyrównujemy do zera:

\[a \cdot \frac{3}{4} + \frac{3}{4} + 11 = 0\]

\[\frac{3a}{4} = -11 - \frac{3}{4} = -\frac{44}{4} - \frac{3}{4} = -\frac{47}{4}\]

Mnożymy obie strony przez \(\dfrac{4}{3}\):

\[a = -\frac{47}{4} \cdot \frac{4}{3} = -\frac{47}{3}\]

**Weryfikacja:** \(f\!\left(\frac{3}{4}\right) = \left(-\frac{47}{3}+1\right)\cdot\frac{3}{4}+11 = -\frac{44}{3}\cdot\frac{3}{4}+11 = -11+11 = 0\) ✓

## Wzory z karty CKE

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja miejsca zerowego funkcji (f(x₀) = 0) i podstawowe działania na ułamkach.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| **A** \(\left(-\dfrac{41}{3}\right)\) | Błąd przy obliczaniu \(-11 - \dfrac{3}{4}\): zamiast odjąć \(\dfrac{3}{4}\), uczeń **dodaje** i dostaje \(-\dfrac{41}{4}\), skąd \(a = -\dfrac{41}{3}\) |
| **B** \(\left(\dfrac{41}{3}\right)\right)\) | Uczeń poprawnie liczy \(\|a\|\), ale gubi znak minusa - ustawia \((a+1)\cdot\dfrac{3}{4} = +11\) zamiast \(= -11\) |
| **D** \(\left(\dfrac{47}{3}\right)\) | Połączenie dwóch błędów: zły znak (jak w B) **i** błąd przy obliczaniu \(-11 - \dfrac{3}{4}\) (jak w A), co daje wynik dodatni \(\dfrac{47}{3}\) |

## Typowe pułapki i uwaga

> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij, że współczynnik kierunkowy to \((a+1)\), **nie** samo \(a\). Po wyznaczeniu \(a+1 = -\dfrac{44}{3}\) musisz jeszcze odjąć 1, żeby dostać \(a\). To najczęstsze źródło błędu w tym zadaniu.

> ⚠️ **Uwaga:** Przy mnożeniu przez odwrotność ułamka \(\dfrac{3}{4}\) - odwrotnością jest \(\dfrac{4}{3}\), nie \(\dfrac{3}{4}\). Skróć ostrożnie: \(-11 \cdot \dfrac{4}{3} = -\dfrac{44}{3}\).

> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że miejsce zerowe daje \(f(x_0) = 0\), **nie** \(f(0) = x_0\). Zamiana tych dwóch rzeczy to klasyczny błąd na maturze.

**Poprawna odpowiedź: C**

### Sposób 1 - Podstawienie miejsca zerowego
Miejsce zerowe oznacza \(f(\tfrac{3}{4}) = 0\):
\[(a+1)\cdot\tfrac{3}{4} + 11 = 0.\]
\[(a+1)\cdot\tfrac{3}{4} = -11 \Rightarrow a+1 = -\tfrac{44}{3} \Rightarrow a = -\tfrac{44}{3} - 1 = -\tfrac{47}{3}.\]

### Sposób 2 - Miejsce zerowe funkcji liniowej
Dla \(f(x) = mx + b\) miejsce zerowe: \(x_0 = -\tfrac{b}{m}\). Tu \(-\tfrac{11}{a+1} = \tfrac{3}{4}\).
Stąd \(a+1 = -\tfrac{44}{3}\), czyli \(a = -\tfrac{47}{3}\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(-\tfrac{41}{3}\)** - błąd przy \(-\tfrac{44}{3} - 1\); pomyłka \(44-3=41\) zamiast \(44+3=47\).
- **B, D** - znak dodatni zamiast ujemnego (zaniedbano minus).

**Trik:** pamiętaj o znaku w \(x_0 = -\tfrac{b}{m}\)!

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193/zad/5)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193%2Fzad%2F5)

## Podobne zadania

- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2003-styczen-probna-podstawowa/zad/4) — Zadanie 4. (4 pkt) Równanie postaci 9 160 9 5 ⋅ F C ( ) C , ustala zależność między temperaturą, wyrażoną w stopniach Celsjusza oraz Fahrenheita ( ) F a) Oblicz
- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa/zad/6) — Zadanie 6. (3 pkt) Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie rzeczywistej iloczyn tej liczby przez liczbę o 3 od niej mniejszą. a. Podaj wzór funkcji f b. Zbada
- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad/6) — Zadanie 6. (3 pkt) Jeżeli x 1= 2, x 2 = 3 i x 3= -1 są miejscami zerowymi wielomianu d cx bx ax x W 2 3 ) ( , gdzie 0 ≠ a oraz 2 ) 4 ( W , to współczynnik a moż
- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (0-2) W chwili początkowej (𝑡= 0) filiżanka z gorącą kawą znajduje się w pokoju, a temperatura tej kawy jest równa 80 °C. Temperatura w pokoju (tempe

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_