# Matematyka — zadanie 6

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193/zad/6
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: open
- działy: Funkcje

## Treść

Zadanie 6. (0-1)
Funkcja f jest określona dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem
Ta funkcja jest rosnąca dla każdej liczby m spełniającej warunek
A.
1
5
m >
B.
C.
D.
1
5
m <
Rozwiązanie zadania. Funkcja f jest określona dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem f(x) = (m√5-1)x+3. Ta funkcja jest rosnąca dla każdej liczby m spełniającej warunek A. m > 1/√5 B. m > 1-√5 C. m < √5-1 D. m < 1/√5

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: A

\(m > \dfrac{1}{\sqrt{5}}\)

## Sposób 1 - warunek rosnącości funkcji liniowej

Funkcja \(f(x) = (m\sqrt{5} - 1)x + 3\) jest funkcją liniową postaci \(f(x) = ax + b\), gdzie:
\[a = m\sqrt{5} - 1, \quad b = 3\]

**Funkcja liniowa jest rosnąca wtedy i tylko wtedy, gdy jej współczynnik kierunkowy \(a > 0\).**

Stawiamy zatem warunek:
\[m\sqrt{5} - 1 > 0\]

Dodajemy \(1\) do obu stron:
\[m\sqrt{5} > 1\]

Dzielimy obie strony przez \(\sqrt{5}\) (liczba dodatnia, więc kierunek nierówności się nie zmienia):
\[m > \frac{1}{\sqrt{5}}\]

**Odpowiedź: A.** \(m > \dfrac{1}{\sqrt{5}}\)

## Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie wartości granicznych

Z warunku \(m > \dfrac{1}{\sqrt{5}}\) sprawdzamy konkretne przypadki:

**Przypadek 1:** \(m = 1\) (spełnia warunek, bo \(\dfrac{1}{\sqrt{5}} \approx 0{,}447\))

\[a = 1 \cdot \sqrt{5} - 1 = \sqrt{5} - 1 \approx 1{,}236 > 0\]

Funkcja jest rosnąca. ✓

**Przypadek 2:** \(m = 0\) (nie spełnia warunku, bo \(0 < \dfrac{1}{\sqrt{5}}\))

\[a = 0 \cdot \sqrt{5} - 1 = -1 < 0\]

Funkcja jest malejąca. ✓ (poprawnie wykluczone)

**Przypadek 3 - punkt graniczny:** \(m = \dfrac{1}{\sqrt{5}}\)

\[a = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \sqrt{5} - 1 = 1 - 1 = 0\]

Funkcja jest **stała** (ani rosnąca, ani malejąca) - dlatego musi być ostre \(>\), a nie \(\geq\).

## Wzory z karty CKE

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja funkcji liniowej i własność monotoniczności:

> Funkcja \(f(x) = ax + b\) jest **rosnąca** \(\iff a > 0\), **malejąca** \(\iff a < 0\), **stała** \(\iff a = 0\).

To wiedza z definicji - nie ma jej osobno w karcie wzorów.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| B | Uczeń próbuje rozwiązać \(m\sqrt{5} - 1 > 0\) błędnie: odejmuje \(\sqrt{5}\) zamiast dzielić przez \(\sqrt{5}\), otrzymując \(m > 1 - \sqrt{5}\) |
| C | Uczeń odwraca kierunek nierówności (np. zapomina, że \(\sqrt{5} > 0\) i traktuje go jak ujemny), dostając \(m < \sqrt{5} - 1\) |
| D | Uczeń poprawnie dzieli przez \(\sqrt{5}\), ale odwraca znak nierówności bez powodu - daje \(m < \dfrac{1}{\sqrt{5}}\) zamiast \(m > \dfrac{1}{\sqrt{5}}\) |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Dzielenie nierówności przez **liczbę dodatnią** (\(\sqrt{5} > 0\)) **nie zmienia kierunku** nierówności. Kierunek zmienia się tylko przy dzieleniu przez liczbę **ujemną**.

> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić warunku rosnącości (\(a > 0\)) z warunkiem malejącości (\(a < 0\)). Tutaj szukamy rosnącej - szukamy \(>\), nie \(<\).

> ⚠️ **Uwaga:** Punkt graniczny \(m = \dfrac{1}{\sqrt{5}}\) daje \(a = 0\) - funkcja jest wtedy **stała**, czyli nie jest rosnąca. Dlatego nierówność jest **ostra** (\(>\), bez równości).

**Poprawna odpowiedź: A**

### Sposób 1 - Warunek rosnącości funkcji liniowej (karta wzorów)
Funkcja \(f(x) = ax + b\) jest rosnąca \(\iff a > 0\). Tu \(a = m\sqrt{5} - 1\).
\[m\sqrt{5} - 1 > 0 \Rightarrow m\sqrt{5} > 1 \Rightarrow m > \dfrac{1}{\sqrt{5}}.\]

### Sposób 2 - Racjonalizacja
\(\dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}\), więc warunek to \(m > \dfrac{\sqrt{5}}{5}\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **B. \(m > 1 - \sqrt{5}\)** - błędne przeniesienie wyrazów.
- **C. \(m < \sqrt{5} - 1\)** - zmiana nierówności + błąd.
- **D. \(m < \tfrac{1}{\sqrt{5}}\)** - znak odwrócony, to warunek malejącości.

**Trik:** dzielenie przez \(\sqrt{5} > 0\) **nie zmienia** znaku nierówności.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193/zad/6)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193%2Fzad%2F6)

## Podobne zadania

- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad/1) — Zadanie 1. (3 pkt) Dana jest prosta l o równaniu 2 2 3 x y oraz punkt ( ) 2 ,3 - A . Wykres funkcji liniowej f jest prostopadły do prostej l , punkt A należy do
- [Zadanie 31](https://matura.lol/question/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad/31) — Zadanie 31. (0-2) (28) Funkcja liniowa 𝑓 przyjmuje wartość 2 dla argumentu 0, a ponadto 𝑓(4) -𝑓(2) = 6. Wyznacz wzór funkcji 𝑓. Odpowiedź: EMAP-P0_100 Rozwiązan
- [Zadanie 27](https://matura.lol/question/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad/27) — Zadanie 27. (0-2) Wykresem funkcji kwadratowej f określonej wzorem ( ) 2 f x x bx c + jest parabola, na której leży punkt ( ) 0, 5 A = . Osią symetrii tej parab
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (0-1) Funkcja liniowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = (𝑘+ 2)𝑥+ (𝑘-3), gdzie 𝑘 jest liczbą rzeczywistą. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybier

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_