# Matematyka — zadanie 7

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193/zad/7
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: open
- działy: Układy równań, równania i nierówności

## Treść

\(\begin{cases} 2 x - y = 2 \\ x + my = 1 \end{cases}\) Układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań dla

A. \(m = -1\)
B. \(m = 1\)
C. \(m = \dfrac{1}{2}\)
D. \(m = -\dfrac{1}{2}\)

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: D - \(m = -\dfrac{1}{2}\)

## Sposób 1 - Warunek proporcjonalności współczynników

Układ dwóch równań liniowych ma **nieskończenie wiele rozwiązań** wtedy i tylko wtedy, gdy obie równania opisują **tę samą prostą** - czyli jedno równanie jest wielokrotnością drugiego.

Mamy układ:
\[\begin{cases} 2x - y = 2 \\ x + my = 1 \end{cases}\]

Dla nieskończenie wielu rozwiązań współczynniki muszą być proporcjonalne:
\[\frac{2}{1} = \frac{-1}{m} = \frac{2}{1}\]

Z pierwszej i drugiej części proporcji:
\[\frac{2}{1} = \frac{-1}{m}\]
\[2m = -1\]
\[\boxed{m = -\frac{1}{2}}\]

**Sprawdzenie trzeciej części:** \(\frac{2}{1} = \frac{2}{1}\) ✓ - wyrazy wolne też są proporcjonalne, więc układ rzeczywiście ma nieskończenie wiele rozwiązań (nie jest sprzeczny).

## Sposób 2 - Wyznacznik macierzy układu (warunek osobliwości)

Układ \(n \times n\) ma nieskończenie wiele rozwiązań (lub jest sprzeczny) wtedy, gdy wyznacznik macierzy głównej układu wynosi zero.

Macierz współczynników:
\[A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & m \end{pmatrix}\]

Wyznacznik:
\[\det A = 2 \cdot m - (-1) \cdot 1 = 2m + 1\]

Warunek:
\[\det A = 0 \implies 2m + 1 = 0 \implies m = -\frac{1}{2}\]

**Weryfikacja - czy układ nie jest sprzeczny dla \(m = -\frac{1}{2}\):**

Podstawiamy \(m = -\frac{1}{2}\) do drugiego równania i mnożymy przez 2:
\[x - \frac{1}{2}y = 1 \quad \xrightarrow{\cdot 2} \quad 2x - y = 2\]

To dokładnie to samo co pierwsze równanie - układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. ✓

## Wzory z karty CKE

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji układu równań liniowych i warunku proporcjonalności (lub wyznacznika macierzy). Są to wiadomości z zakresu algebry elementarnej.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Wartość \(m\) | Wyznacznik \(2m + 1\) | Co to oznacza |
| A | \(m = -1\) | \(2(-1)+1 = -1 \neq 0\) | Układ ma **dokładnie jedno** rozwiązanie |
| B | \(m = 1\) | \(2(1)+1 = 3 \neq 0\) | Układ ma **dokładnie jedno** rozwiązanie |
| C | \(m = \frac{1}{2}\) | \(2 \cdot \frac{1}{2}+1 = 2 \neq 0\) | Układ ma **dokładnie jedno** rozwiązanie |
| **D** | \(m = -\frac{1}{2}\) | \(2 \cdot (-\frac{1}{2})+1 = 0\) | ✅ Nieskończenie wiele rozwiązań |

Typowy błąd przy odpowiedzi A: uczniowie mylą znak i piszą \(\frac{-1}{m} = \frac{2}{1}\) bez uwzględnienia, że proporcja dotyczy **tych samych** kolumn (x, y, wyrazy wolne), i tracą minus.

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Wyznacznik równy zero oznacza, że układ ma nieskończenie wiele rozwiązań **lub jest sprzeczny** - nie wystarczy policzyć \(\det A = 0\)! Zawsze sprawdź, czy równania są proporcjonalne (ta sama prosta), a nie sprzeczne (równoległe proste).

> ⚠️ **Uwaga:** Przy proporcji \(\frac{2}{1} = \frac{-1}{m} = \frac{2}{1}\) pamiętaj sprawdzić **wszystkie trzy** człony. Gdyby wyrazy wolne nie były proporcjonalne (np. \(\frac{2}{3}\) zamiast \(\frac{2}{1}\)), układ byłby **sprzeczny** (brak rozwiązań), a nie wieloznaczny.

> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić się w znaku - współczynnik przy \(y\) w pierwszym równaniu to \(-1\), więc proporcja to \(\frac{-1}{m} = 2\), skąd \(m = -\frac{1}{2}\), a **nie** \(m = \frac{1}{2}\).

**Poprawna odpowiedź: D**

### Sposób 1 - Proporcjonalność współczynników (karta wzorów)
Układ nieoznaczony: \(\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{c_1}{c_2}\).
Z I: \(2x - y = 2\) (czyli \(a_1=2, b_1=-1, c_1=2\)).
Z II: \(x + my = 1\) (czyli \(a_2=1, b_2=m, c_2=1\)).
\[\dfrac{2}{1} = \dfrac{-1}{m} = \dfrac{2}{1}.\]
Z \(\dfrac{-1}{m} = 2\): \(m = -\dfrac{1}{2}\).

### Sposób 2 - Pomnożenie II równania
Aby układ był nieoznaczony, II równanie musi być proporcjonalne do I. Mnożąc II przez \(2\): \(2x + 2my = 2\). Porównując z \(2x - y = 2\): \(2m = -1\), czyli \(m = -\dfrac{1}{2}\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A, B** (\(\pm 1\)) - niezgodne proporcje.
- **C. \(\tfrac{1}{2}\)** - zły znak.

**Trik:** nieskończenie wiele rozwiązań = proporcjonalne równania.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193/zad/7)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193%2Fzad%2F7)

## Podobne zadania

- [Zadanie 7](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/7) — Zadanie 7. (0-1) Układ równań { 𝑥-2𝑦= 3 -4𝑥+ 8𝑦= -12 A. nie ma rozwiązań. B. ma dokładnie jedno rozwiązanie. C. ma dokładnie dwa rozwiązania. D. ma nieskończeni
- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-emap-p0-100-2305/zad/5) — Wskaż ten układ równań, którego interpretację przedstawiono na rysunku. /matma-quiz/images/cke/EMAP-P0-100-2305/z5.png przedstawiono interpretację geometryczną 
- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad/5) — Wskaż ten układ równań, którego interpretację przedstawiono na rysunku. /matma-quiz/images/cke/EMAP-P0-100-2305/z5.png przedstawiono interpretację geometryczną 
- [Zadanie 7](https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-emap-p0-100-2406/zad/7) — Zadanie 7. (0-1) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Układ równań { 𝑥-2𝑦= 3 -4𝑥+ 8𝑦= -12 A. nie ma rozwiązań. B. ma dokładnie jedno roz

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_