# Matematyka — zadanie 8

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193/zad/8
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Funkcje

## Treść

Zadanie 8. (0-1)
Rysunek przedstawia wykres funkcji f zbudowany z 6 odcinków, przy czym punkty
(
)
2, 1
B =
i
(
)
4, 1
C =
należą do wykresu funkcji.
Równanie
ma
A. dokładnie jedno rozwiązanie.
B. dokładnie dwa rozwiązania.
C. dokładnie trzy rozwiązania.
D. nieskończenie wiele rozwiązań.
( ) (
)
5 1
3
f x
m
x
1
5
m > -
5
1
m <
2
2
1
x
y
x
my

+

1
m = -
1
m =
1
2
m =
1
2
m = -
( )
1
f x = -
x
y
-3
-2 -1
5
0
-1
1
2
3
1
2
3
4
-4
-2
-3
B
C

MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

MMA_1P
Rozwiązanie zadania. Rysunek przedstawia wykres funkcji f zbudowany z 6 odcinków, przy czym punkty B=(2,-1) i C=(4,1) należą do wykresu funkcji. Równanie f(x)=1 ma A. dokładnie jedno rozwiązanie. B. dokładnie dwa rozwiązania. C dokładnie trzy rozwiązania. D. nieskończenie wiele rozwiązań.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: D

Równanie \(f(x) = -1\) ma **nieskończenie wiele rozwiązań**.

## Sposób 1 - Odczyt z wykresu (analiza poziomej prostej)

**Szukamy**, dla jakich wartości \(x\) funkcja \(f\) przyjmuje wartość \(-1\).

Graficznie oznacza to: narysuj prostą \(y = -1\) i sprawdź, **gdzie przecina wykres** funkcji \(f\).

Z treści zadania wiemy, że:
- Punkt \(B = (2, -1)\) należy do wykresu
- Punkt \(C = (4, -1)\) należy do wykresu
- Wykres jest **zbudowany z 6 odcinków**

**Kluczowa obserwacja:** punkty \(B\) i \(C\) mają tę samą współrzędną \(y = -1\) i oba leżą na wykresie. Skoro wykres między nimi jest odcinkiem (jeden z 6 odcinków budujących wykres), to odcinek \(BC\) jest **poziomy** - leży w całości na poziomie \(y = -1\).

Oznacza to, że **każdy punkt** o współrzędnej \(x \in \langle 2, 4 \rangle\) spełnia równanie \(f(x) = -1\).

Prosta \(y = -1\) **pokrywa się z odcinkiem** wykresu na przedziale \(\langle 2, 4 \rangle\) - mamy do czynienia z nieskończenie wieloma rozwiązaniami.

**Odpowiedź: D** - równanie \(f(x) = -1\) ma nieskończenie wiele rozwiązań.

## Sposób 2 - Analiza przez liczenie przecięć

Prosta \(y = -1\) może przecinać wykres funkcji na różne sposoby:
- w **skończonej liczbie punktów** - gdy przecina odcinki w pojedynczych punktach
- w **nieskończenie wielu punktach** - gdy pokrywa się z pewnym odcinkiem wykresu

Sprawdzamy: czy odcinek \(BC\) jest poziomy?

Obliczamy nachylenie odcinka \(BC\):
\[a = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{-1 - (-1)}{4 - 2} = \frac{0}{2} = 0\]

Nachylenie wynosi \(0\), więc odcinek \(BC\) jest **poziomy** i ma równanie \(y = -1\) dla \(x \in \langle 2, 4 \rangle\).

Prosta \(y = -1\) pokrywa się z tym odcinkiem - przecięcie nie jest zbiorem skończonym, lecz **całym odcinkiem** (nieskończenie wiele punktów).

**Wniosek:** równanie \(f(x) = -1\) ma nieskończenie wiele rozwiązań. ✓

## Wzory z karty CKE

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy odczyt z wykresu i definicja wartości funkcji oraz pojęcie nachylenia prostej (geometria analityczna, Dział 11, s. 22).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| A | Uczeń liczy tylko jeden z punktów (np. \(B\)) i zatrzymuje się na jednym rozwiązaniu |
| B | Uczeń zauważa dwa punkty \(B\) i \(C\), ale nie dostrzega, że cały odcinek między nimi leży na poziomie \(y = -1\) - liczy tylko dwa "wyróżnione" punkty |
| C | Uczeń błędnie odczytuje wykres i zlicza trzy punkty przecięcia, nie zauważając poziomego odcinka |

## Typowe pułapki i uwaga

> ⚠️ **Uwaga:** Gdy dwa punkty wykresu mają tę samą wartość \(y\), **nie oznacza to automatycznie**, że jest dokładnie dwa rozwiązania - między nimi może leżeć poziomy odcinek, co daje nieskończenie wiele rozwiązań!

> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdzaj, czy prosta \(y = c\) **przecina** wykres (skończona liczba punktów) czy **pokrywa się** z jego fragmentem (nieskończenie wiele punktów).

> ⚠️ **Uwaga:** Przy zadaniach z wykresami czytaj opis uważnie - informacja "wykres zbudowany z odcinków" i podane dwa punkty o tej samej rzędnej to sygnał, że ten odcinek może być poziomy.

**Poprawna odpowiedź: D**

### Sposób 1 - Graficzna interpretacja
Równość \(f(x) = -1\) to punkty przecięcia wykresu z poziomą prostą \(y = -1\).
Odcinek \(BC\) łączący \(B=(2,-1)\) i \(C=(4,-1)\) leży **na prostej** \(y=-1\) - każdy punkt tego odcinka spełnia równanie.
Odcinek zawiera nieskończenie wiele punktów, więc równanie ma **nieskończenie wiele** rozwiązań.

### Sposób 2 - Analiza wzoru odcinkami
Na \([2, 4]\) wykres pokrywa się z prostą \(y = -1\). Dla każdego \(x \in [2,4]\): \(f(x) = -1\). To ciągły przedział rozwiązań.

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A, B, C** - skończona liczba rozwiązań byłaby, gdyby wykres jedynie **przecinał** prostą \(y=-1\), a nie był z nią zgodny.

**Trik:** poziomy odcinek wykresu daje cały przedział rozwiązań.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** D

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193/zad/8)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193%2Fzad%2F8)

## Podobne zadania

- [Zadanie 11.3](https://matura.lol/question/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/11.3) — Zadanie 11.3. (0-2) Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Dziedziną funkcji 𝑓 jest przedział 
- [Zadanie 12.2](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/12.2) — Zadanie 12.2. (0-2) Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Zbiorem wartości funkcji 𝑓 jest prz
- [Zadanie 29](https://matura.lol/question/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/29) — Zadanie 29. (0-2) Dana jest funkcja 𝑦= 𝑓(𝑥), której wykres przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) na rysunku obok. Funkcje 𝑔 oraz ℎ są okre
- [Zadanie 20](https://matura.lol/question/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/20) — Zadanie 20. (0-2) Dana jest funkcja 𝑦= 𝑓(𝑥), której wykres przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) na rysunku obok. Ta funkcja jest określon

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_