# Matematyka — zadanie 9

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193/zad/9
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Ciągi, ciagi

## Treść

Zadanie 9. (0-1)
Dany jest rosnący ciąg arytmetyczny
, określony dla liczb naturalnych
1
n ≥, o wyrazach
dodatnich. Jeśli
2
9
4
k
a
a
a
a
, to k jest równe
A. 8
B. 7
C. 6
D. 5
Rozwiązanie zadania. Dany jest rosnący ciąg arytmetyczny (a_n), określony dla liczb naturalnych x≥1, o wyrazach dodatnich. Jeśli a_2+a_9 = a_4+a_k, to k jest równe A. 8 B. 7 C. 6 D. 5

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: B (\(k = 7\))

## Sposób 1 - wzór ogólny ciągu arytmetycznego

Korzystamy z wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego:
\[a_n = a_1 + (n-1) \cdot r\]

Rozpisujemy każdy wyraz z równania \(a_2 + a_9 = a_4 + a_k\):

\[a_2 = a_1 + r\]
\[a_9 = a_1 + 8r\]
\[a_4 = a_1 + 3r\]
\[a_k = a_1 + (k-1)r\]

Podstawiamy do równania:
\[(a_1 + r) + (a_1 + 8r) = (a_1 + 3r) + (a_1 + (k-1)r)\]

\[2a_1 + 9r = 2a_1 + 3r + (k-1)r\]

Odejmujemy \(2a_1\) od obu stron:
\[9r = 3r + (k-1)r\]

Dzielimy przez \(r\) (możemy, bo \(r \neq 0\) - ciąg jest **rosnący**, więc \(r > 0\)):
\[9 = 3 + (k-1)\]
\[9 - 3 = k - 1\]
\[k - 1 = 6\]
\[\boxed{k = 7}\]

## Sposób 2 - własność sumy indeksów

W ciągu arytmetycznym zachodzi kluczowa własność: **dwa wyrazy są sobie równe, gdy ich indeksy mają tę samą sumę**.

Dokładniej: \(a_m + a_n = a_p + a_q\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(m + n = p + q\).

**Dlaczego?** Bo \(a_m + a_n = 2a_1 + (m+n-2)r\), więc suma zależy tylko od sumy indeksów.

Korzystamy z tego bezpośrednio:
\[a_2 + a_9 = a_4 + a_k\]
\[2 + 9 = 4 + k\]
\[11 = 4 + k\]
\[\boxed{k = 7}\]

To zdecydowanie najszybsza metoda!

## Wzory z karty CKE

**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór ogólny ciągu arytmetycznego:
\[a_n = a_1 + (n-1)r\]
Użyliśmy tego w Sposobie 1 do rozpisania każdego wyrazu i sprowadzenia równania do postaci liniowej względem \(k\).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| A (\(k=8\)) | Uczeń liczy \(2 + 9 = 4 + k\) poprawnie, ale popełnia błąd arytmetyczny: \(11 - 4 = 8\) zamiast \(7\). Typowa pomyłka o jeden. |
| C (\(k=6\)) | Uczeń błędnie stosuje własność: zamiast \(m + n = p + q\) używa \(m - n = p - q\), czyli liczy \(9 - 2 = 4 + k\), skąd \(k = 3\) albo gubi \(a_1\) przy upraszczaniu i otrzymuje \(9 = 3 + k\), skąd \(k = 6\). |
| D (\(k=5\)) | Uczeń myli indeksy - np. liczy \(a_2 + a_9\) jako wyrazy 2 i 9, a po lewej bierze \(9 - 2 = 7\), a po prawej \(k - 4 = 7\), skąd \(k = 11\); lub inaczej gubi czynnik \(r\) i dostaje \(9r = (k-1)r\), skąd \(k = 10\) - a po kolejnym błędzie upraszcza do 5. |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Dzielenie przez \(r\) jest tu dozwolone, bo ciąg jest **rosnący** - a to oznacza \(r > 0\). Gdyby ciąg był nieokreślony, \(r\) mogłoby być zerem i dzielenie byłoby błędem.

> ⚠️ **Uwaga:** Własność \(m + n = p + q \Rightarrow a_m + a_n = a_p + a_q\) działa **wyłącznie** w ciągu arytmetycznym. Nie przenoś jej na ciągi geometryczne!

> ⚠️ **Uwaga:** Warunek "wyrazy dodatnie" i "ciąg rosnący" w treści zadania to nie ozdobniki - służą do tego, żeby wykluczyć rozwiązania trywialne (np. \(r = 0\)) lub niedozwolone.

**Poprawna odpowiedź: B**

### Sposób 1 - Własność sumy wyrazów ciągu arytmetycznego (karta wzorów)
Dla ciągu arytmetycznego: \(a_i + a_j = a_p + a_q \iff i+j = p+q\).
Z warunku: \(2+9 = 4+k \Rightarrow 11 = 4+k \Rightarrow k = 7\).

### Sposób 2 - Wzór jawny
\(a_n = a_1 + (n-1)r\). Wtedy:
\[a_2 + a_9 = 2a_1 + 9r, \quad a_4 + a_k = 2a_1 + (k+2)r.\]
Równość: \(9r = (k+2)r\). Ponieważ \(r \neq 0\) (ciąg rosnący), to \(k+2 = 9\), czyli \(k = 7\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(8\)** - błąd rachunkowy (\(11-4=7\), nie \(8\)).
- **C, D** - pomyłka w sumie indeksów.

**Trik:** w ciągu arytmetycznym suma indeksów po obu stronach musi być równa.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** B

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193/zad/9)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193%2Fzad%2F9)

## Podobne zadania

- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/5) — Zadanie 5. (5 pkt) Nieskończony ciąg liczbowy ( ) n a jest określony wzorem 1 2 n a n , 1, 2, 3, n a) Oblicz, ile wyrazów ciągu ( ) n a jest mniejszych od 1,975
- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/zad/5) — Zadanie 5. (5 pkt) Dany jest ciąg arytmetyczny ( ) na , gdzie 1 n ≥. Wiadomo, że dla każdego 1 n ≥ suma n początkowych wyrazów 1 2 n n S a a a wyraża się wzorem
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (0-4) Ciąg arytmetyczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . Różnicą tego ciągu jest liczba 4 r = -, a średnia arytmetyczna początkowych sz
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (4 pkt) Ciąg arytmetyczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . Różnicą tego ciągu jest liczba 4 r = -, a średnia arytmetyczna początkowych 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_