# Matematyka — zadanie 1

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194/zad/1
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Liczby rzeczywiste, logarytmy

## Treść

Liczba \(\frac{\log_{3} 27}{\log_{3} \sqrt{27}}\) jest równa

A. \(-\dfrac{1}{2}\)
B. \(2\)
C. \(-2\)
D. \(\dfrac{1}{2}\)

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: A (\(2\))

## Sposób 1 - zamiana podstawy na potęgę

**Kluczowe spostrzeżenie:** podstawa logarytmu \(\sqrt{7} = 7^{\frac{1}{2}}\), więc możemy skorzystać ze wzoru na logarytm z potęgą.

Korzystamy z definicji: \(\log_a b = c \iff a^c = b\)

Szukamy \(x\) takiego, że:
\[(\sqrt{7})^x = 7\]
\[(7^{\frac{1}{2}})^x = 7^1\]
\[7^{\frac{x}{2}} = 7^1\]

Skoro podstawy są równe, przyrównujemy wykładniki:
\[\frac{x}{2} = 1 \implies x = 2\]

**Zatem \(\log_{\sqrt{7}} 7 = 2\).**

## Sposób 2 - wzór na zmianę podstawy logarytmu

Zamieniamy logarytm na podstawę \(7\), używając wzoru na zmianę podstawy:

\[\log_{\sqrt{7}} 7 = \frac{\log_7 7}{\log_7 \sqrt{7}}\]

Liczymy licznik i mianownik osobno:
\[\log_7 7 = 1\]
\[\log_7 \sqrt{7} = \log_7 7^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \log_7 7 = \frac{1}{2}\]

Zatem:
\[\log_{\sqrt{7}} 7 = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2\]

**Wynik: \(2\). Oba sposoby dają ten sam wynik - odpowiedź A.**

## Wzory z karty CKE

**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)**

Definicja logarytmu:
\[\log_a b = c \iff a^c = b\]
Użyliśmy jej w Sposobie 1 do bezpośredniego wyznaczenia wartości.

Wzór na logarytm z potęgi:
\[\log_a x^r = r \cdot \log_a x\]
Użyliśmy go w Sposobie 2 do uproszczenia \(\log_7 \sqrt{7} = \frac{1}{2}\).

Zmiana podstawy:
\[\log_b c = \frac{\log_a c}{\log_a b}\]
Użyliśmy jej w Sposobie 2 do przejścia na wygodniejszą podstawę \(7\).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| B | Uczeń myli wynik z argumentem logarytmu - wpisuje \(7\) zamiast go obliczać |
| C | Uczeń myli wynik z podstawą logarytmu - wpisuje \(\sqrt{7}\) |
| D | Uczeń odwraca wynik: bierze \(\log_7 \sqrt{7} = \frac{1}{2}\) zamiast \(\log_{\sqrt{7}} 7\) - zamienia miejscami argument i podstawę |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Zamiana miejscami podstawy i argumentu to klasyczny błąd! \(\log_{\sqrt{7}} 7 \neq \log_7 \sqrt{7}\). Pierwsze to \(2\), drugie to \(\frac{1}{2}\) - czyli odpowiedź D to właśnie wynik tej pomyłki.

> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \(\sqrt{7} = 7^{\frac{1}{2}}\). Gdy podstawa jest pierwiastkiem, zawsze warto zamienić ją na potęgę ułamkową - wtedy zadanie sprowadza się do porównywania wykładników.

> ⚠️ **Uwaga:** Logarytm to **wykładnik** - \(\log_{\sqrt{7}} 7\) pyta: „do jakiej potęgi podnieść \(\sqrt{7}\), żeby dostać \(7\)?". Intuicja: \(\sqrt{7} \cdot \sqrt{7} = 7\), czyli podnosimy do potęgi \(2\).

**Poprawna odpowiedź: A**

### Sposób 1 - Definicja logarytmu
\(\log_{\sqrt{7}} 7 = x \iff (\sqrt{7})^x = 7\).
Zapisujemy \(\sqrt{7} = 7^{1/2}\), więc \((7^{1/2})^x = 7^1\), czyli \(\tfrac{x}{2} = 1\), stąd \(x = 2\).

### Sposób 2 - Zamiana podstawy
\[\log_{\sqrt{7}} 7 = \dfrac{\log 7}{\log \sqrt{7}} = \dfrac{\log 7}{\tfrac{1}{2}\log 7} = 2.\]

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **B. \(7\)** - błąd: wartość argumentu, nie logarytmu.
- **C. \(\sqrt{7}\)** - pomylono podstawę i argument.
- **D. \(\tfrac{1}{2}\)** - to \(\log_7 \sqrt{7}\), nie \(\log_{\sqrt{7}} 7\).

**Trik:** \(\log_a b\) i \(\log_b a\) są wzajemnymi odwrotnościami.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** A

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194/zad/1)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194%2Fzad%2F1)

## Podobne zadania

- [Zadanie 17](https://matura.lol/question/matematyka-2020-marzec-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/17) — Zadanie 17. (0-2) Zmieszano 40 dag rodzynek w cenie 12 zł za kilogram oraz 60 dag pestek dyni w cenie 17 zł za kilogram. Ile kosztuje 1 kilogram tej mieszanki? 
- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/9) — Zadanie 9. (0-2) Oblicz   3 3 4 3 3 3 log 27 log log 3  Zakoduj cyfrę jedności i dwie pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku
- [Zadanie 2](https://matura.lol/question/matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/2) — Zadanie 2. (0-1) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wartość wyrażenia 43 -82 ∶24 jest równa A. 0 B. 10 C. 56 D. 60
- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad/1) — Zadanie 1. (0-1) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba (√32 -√2 ) 2 jest równa A. 16 B. 18 C. 30 D. 34 Liczba (√32 - √2)² jest rów

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_