# Matematyka — zadanie 10

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194/zad/10
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej, równania i nierówności

## Treść

Zadanie 10. (0-1)
Punkt
(
)
, 3
A
a
leży na prostej określonej równaniem
3
6
4
y
x
. Stąd wynika, że
A.
4
a = -
B.
4
a =
C.
33
4
a =
D.
39
4
a =
x
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
0
-1
1
2
3
4
y
-2
-3
-4

MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

MMA_1P
Rozwiązanie zadania. Punkt A=(a,3) leży na prostej określonej równaniem y=3/4x+6. Stąd wynika, że A. a=-4 B. a=4 C. a=33/4 D. a=39/4

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: A (\(a = -4\))

## Sposób 1 - Podstawienie punktu do równania prostej

Skoro punkt \(A = (a, 3)\) leży na prostej \(y = \dfrac{3}{4}x + 6\), to jego współrzędne muszą **spełniać równanie tej prostej**.

Podstawiamy \(x = a\) i \(y = 3\):

\[3 = \frac{3}{4} \cdot a + 6\]

Przenosimy \(6\) na lewą stronę:

\[3 - 6 = \frac{3}{4}a\]

\[-3 = \frac{3}{4}a\]

Mnożymy obie strony przez \(\dfrac{4}{3}\):

\[a = -3 \cdot \frac{4}{3} = -4\]

**Zatem \(a = -4\).**

## Sposób 2 - Weryfikacja (podstawienie wyniku)

Sprawdzamy, czy punkt \(A = (-4, 3)\) rzeczywiście leży na prostej \(y = \dfrac{3}{4}x + 6\).

Wstawiamy \(x = -4\):

\[\frac{3}{4} \cdot (-4) + 6 = -3 + 6 = 3\]

Otrzymujemy \(y = 3\) - zgadza się ze współrzędną punktu \(A\). ✓

**Wynik potwierdzony: \(a = -4\).**

## Wzory z karty CKE

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji przynależności punktu do prostej i podstawowe działania algebraiczne.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd |
| B. \(a = 4\) | Podstawiamy \(x = a\), ale zapominamy o znaku minus - liczymy \(-3 = \frac{3}{4}a\) i „gubimy" minus, dostając \(a = 4\) |
| C. \(a = \dfrac{33}{4}\) | Błędne przestawienie: zamiast \(3 - 6\) liczymy \(3 + 6 = 9\), a potem dzielimy przez \(\frac{3}{4}\) - pomyłka ze znakiem |
| D. \(a = \dfrac{39}{4}\) | Błąd polegający na podstawieniu \(x = 3\) zamiast \(y = 3\) - zamiana ról współrzędnych punktu |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Punkt \(A = (a, 3)\) oznacza, że **pierwsza** współrzędna to \(x = a\), a **druga** to \(y = 3\). Łatwo zamienić je miejscami i podstawić \(x = 3\) - to błąd!

> ⚠️ **Uwaga:** Po uzyskaniu \(-3 = \dfrac{3}{4}a\) pamiętaj o znaku minus przy dzieleniu. Wynik musi być **ujemny**.

> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze warto zweryfikować odpowiedź - podstaw gotowe \(a\) z powrotem do równania i sprawdź, czy wychodzi \(y = 3\). Zajmuje to 5 sekund i eliminuje pomyłki.

**Poprawna odpowiedź: A**

### Sposób 1 - Podstawienie \(y = 3\)
Punkt \((a, 3)\) leży na prostej, więc spełnia równanie:
\[3 = \dfrac{3}{4}a + 6.\]
Przekształcamy:
\[\dfrac{3}{4}a = 3 - 6 = -3,\]
\[a = -3\cdot \dfrac{4}{3} = -4.\]

### Sposób 2 - Sprawdzenie
Dla \(a = -4\): \(y = \tfrac{3}{4}\cdot(-4) + 6 = -3 + 6 = 3\) ✓.

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **B. \(4\)**: \(y = 3 + 6 = 9 \ne 3\).
- **C. \(\tfrac{33}{4}\)**: \(y = \tfrac{3}{4}\cdot\tfrac{33}{4} + 6 = \tfrac{99}{16} + 6 \ne 3\).
- **D. \(\tfrac{39}{4}\)**: podobnie - nie daje \(y = 3\).

**Podstawowa zasada:** punkt leży na prostej ⟺ jego współrzędne spełniają równanie.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** A

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194/zad/10)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194%2Fzad%2F10)

## Podobne zadania

- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-matura-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (0-4) Punkty , , i są wierzchołkami czworokąta ABCD. Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych tego czworokąta. ( ) 1, 1 A = ( ) 6,1 B = ( ) 
- [Zadanie 30](https://matura.lol/question/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad/30) — Zadanie 30. (0-2) W układzie współrzędnych są dane punkty ( ) 43, 12 A = - , ( ) 50,19 B = . Prosta AB przecina oś Ox w punkcie P . Oblicz pierwszą współrzędną 
- [Zadanie 21](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/21) — Zadanie 21. (0-1) W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dana jest prosta 𝑘 o równaniu 𝑦= -1 3 𝑥+ 2. Prosta 𝑙 jest równoległa do prostej 𝑘 i przechodzi przez punkt (2,
- [Zadanie 26](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/26) — Zadanie 26. (0-1) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dana jest prosta 𝑘 o równaniu 𝑦= -1 3 𝑥+ 2. Prosta 𝑙 jest równoległa do prostej 𝑘 i przechodzi p

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_