# Matematyka — zadanie 11

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194/zad/11
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Ciągi, ciagi

## Treść

Zadanie 11. (0-1)
W ciągu arytmetycznym
)
(
na
, określonym dla
1
n ≥, dane są dwa wyrazy:
1
11
a = -
i
9
5
a =
Suma dziewięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa
A.
24
B.
27
C.
16
D.
18
Rozwiązanie zadania. W ciągu arytmetycznym (a_n), określonym dla n≥1, dane są dwa wyrazy: a_1=-11 i a_9=5. Suma dziewięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa A. -24 B. -27 C. -16 D. -18

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: B. \(-27\)

## Sposób 1 - wzór na sumę \(n\) wyrazów ciągu arytmetycznego

**Krok 1: Wyznaczamy różnicę ciągu.**

Mamy \(a_1 = -11\) i \(a_9 = 5\). Korzystamy ze wzoru na \(n\)-ty wyraz:
\[a_n = a_1 + (n-1)r\]
\[a_9 = a_1 + 8r\]
\[5 = -11 + 8r\]
\[8r = 16\]
\[r = 2\]

**Krok 2: Liczymy sumę dziewięciu wyrazów.**

Znamy \(a_1 = -11\) i \(a_9 = 5\), więc korzystamy z wygodnej postaci wzoru na sumę:
\[S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\]
\[S_9 = \frac{a_1 + a_9}{2} \cdot 9 = \frac{-11 + 5}{2} \cdot 9 = \frac{-6}{2} \cdot 9 = (-3) \cdot 9 = \mathbf{-27}\]

## Sposób 2 - wyznaczenie wszystkich wyrazów (metoda bezpośrednia)

Skoro \(r = 2\) i \(a_1 = -11\), wypisujemy dziewięć wyrazów:

\[a_1 = -11, \quad a_2 = -9, \quad a_3 = -7, \quad a_4 = -5, \quad a_5 = -3\]
\[a_6 = -1, \quad a_7 = 1, \quad a_8 = 3, \quad a_9 = 5\]

Sumujemy:
\[S_9 = (-11) + (-9) + (-7) + (-5) + (-3) + (-1) + 1 + 3 + 5\]

Grupujemy sprytnie - parując wyrazy symetryczne względem środka (\(a_5 = -3\)):
\[= [(-11+5)] + [(-9+3)] + [(-7+1)] + [(-5+(-1))] + (-3)\]
\[= (-6) + (-6) + (-6) + (-6) + (-3)\]
\[= -24 + (-3) = \mathbf{-27}\]

Wynik zgodny ze Sposobem 1. ✓

## Wzory z karty CKE

**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)**

Wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
\[a_n = a_1 + (n-1)r\]
Użyliśmy go do wyznaczenia różnicy \(r\) z warunku \(a_9 = 5\).

Wzór na sumę \(n\) początkowych wyrazów:
\[S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\]
Użyliśmy go w Sposobie 1 do obliczenia \(S_9\) - bardzo wygodny, bo mamy gotowe \(a_1\) i \(a_9\).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd |
| A. \(-24\) | Zapomniano dodać wyraz środkowy \(a_5 = -3\); policzono sumę tylko 8 wyrazów lub zgubiono jeden ze skrajnych |
| C. \(-16\) | Błędne wyznaczenie \(r\): np. podzielono \(16 \div 9\) zamiast \(16 \div 8\) (pomylono liczbę kroków - między \(a_1\) a \(a_9\) jest **8** kroków, nie 9) |
| D. \(-18\) | Użyto wzoru \(S_9 = a_1 \cdot 9\) jakby to był ciąg geometryczny, lub błędnie podstawiono \(n = 9\) do wzoru sumy bez dodania \(a_n\) |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Między wyrazem \(a_1\) a \(a_9\) jest **8** kroków, nie 9! Stąd \(a_9 = a_1 + 8r\). To najczęstszy błąd przy wyznaczaniu różnicy.

> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \(S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\) działa tylko wtedy, gdy znasz **ostatni** z liczonych wyrazów (\(a_n\)). Tu mamy szczęście - szukamy \(S_9\) i znamy \(a_9\), więc podstawiamy bezpośrednio.

> ⚠️ **Uwaga:** Suma ujemna nie powinna dziwić - większość wyrazów (\(a_1\) przez \(a_6\)) jest ujemna, tylko trzy ostatnie są dodatnie, więc suma musi wyjść ujemna.

**Poprawna odpowiedź: B**

### Sposób 1 - Wzór na sumę ciągu arytmetycznego
\[S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n.\]
Dla \(n = 9\):
\[S_9 = \dfrac{a_1 + a_9}{2}\cdot 9 = \dfrac{-11 + 5}{2}\cdot 9 = \dfrac{-6}{2}\cdot 9 = -3\cdot 9 = -27.\]

### Sposób 2 - Wyznaczenie różnicy, potem suma
\(a_9 = a_1 + 8r \Rightarrow 5 = -11 + 8r \Rightarrow r = 2\).
\(S_9 = \dfrac{2a_1 + 8r}{2}\cdot 9 = \dfrac{-22 + 16}{2}\cdot 9 = -3\cdot 9 = -27\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A, C, D.** Błędy rachunkowe lub użycie niepoprawnego wzoru.

**Najkrócej:** \(S_9 = \tfrac{a_1 + a_9}{2}\cdot 9\) - średnia skrajnych razy liczba wyrazów.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** B

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194/zad/11)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194%2Fzad%2F11)

## Podobne zadania

- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/5) — Zadanie 5. (5 pkt) Nieskończony ciąg liczbowy ( ) n a jest określony wzorem 1 2 n a n , 1, 2, 3, n a) Oblicz, ile wyrazów ciągu ( ) n a jest mniejszych od 1,975
- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/zad/5) — Zadanie 5. (5 pkt) Dany jest ciąg arytmetyczny ( ) na , gdzie 1 n ≥. Wiadomo, że dla każdego 1 n ≥ suma n początkowych wyrazów 1 2 n n S a a a wyraża się wzorem
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (0-4) Ciąg arytmetyczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . Różnicą tego ciągu jest liczba 4 r = -, a średnia arytmetyczna początkowych sz
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (4 pkt) Ciąg arytmetyczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . Różnicą tego ciągu jest liczba 4 r = -, a średnia arytmetyczna początkowych 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_