# Matematyka — zadanie 12

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194/zad/12
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 1
- działy: Ciągi, ciagi

## Treść

Zadanie 12. (0-1)
Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego
)
(
na
, określonego dla
1
n ≥, są liczbami dodatnimi.
Drugi wyraz tego ciągu jest równy 162, a piąty wyraz jest równy 48 . Oznacza to, że iloraz
tego ciągu jest równy
A. 2
3
B.
3
4
C. 1
3
D. 1
2
Rozwiązanie zadania. Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego (a_n), określonego dla n≥1, są liczbami dodatnimi. Drugi wyraz tego ciągu jest równy 162, a piąty wyraz jest równy 48. Oznacza to, że iloraz tego ciągu jest równy A. 2/3 B. 3/4 C. 1/3 D. 1/2

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: A - \(\dfrac{2}{3}\)

## Sposób 1 - Układ równań z wzoru na wyraz ogólny

Ciąg geometryczny spełnia wzór \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\), gdzie \(q > 0\) (bo wszystkie wyrazy dodatnie).

Zapisujemy dwa równania:
\[a_2 = a_1 \cdot q^1 = 162\]
\[a_5 = a_1 \cdot q^4 = 48\]

Dzielimy stronami drugie równanie przez pierwsze:
\[\frac{a_1 \cdot q^4}{a_1 \cdot q^1} = \frac{48}{162}\]

\[q^3 = \frac{48}{162} = \frac{8}{27}\]

Pierwiastkujemy obie strony:
\[q = \sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{2}{3}\]

**Iloraz ciągu wynosi \(\dfrac{2}{3}\).**

## Sposób 2 - Przez trzy kolejne wyrazy (własność ciągu geometrycznego)

Między wyrazem \(a_2\) a \(a_5\) jest odstęp 3 miejsc, więc:
\[a_5 = a_2 \cdot q^3\]

Podstawiamy znane wartości:
\[48 = 162 \cdot q^3\]

\[q^3 = \frac{48}{162} = \frac{8}{27}\]

\[q = \frac{2}{3}\]

**Wynik taki sam - \(q = \dfrac{2}{3}\).**

Dla pewności sprawdźmy, czy \(a_1\) jest dodatnie (warunek z zadania):
\[a_1 = \frac{a_2}{q} = \frac{162}{\frac{2}{3}} = 162 \cdot \frac{3}{2} = 243 > 0 \checkmark\]

## Wzory z karty CKE

**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na wyraz ogólny ciągu geometrycznego:
\[a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\]
Użyliśmy tego wzoru, żeby zapisać \(a_2\) i \(a_5\) przez \(a_1\) i \(q\), a następnie podzielić równania stronami.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd |
| B - \(\dfrac{3}{4}\) | Uczeń liczy \(\dfrac{48}{162}\) i bierze to jako \(q\) bez pierwiastkowania, albo liczy \(\sqrt{\frac{48}{162}}\) zamiast \(\sqrt[3]{\ }\) (myli potęgę \(q^3\) z \(q^2\)) |
| C - \(\dfrac{1}{3}\) | Uczeń liczy \(q^3 = \frac{8}{27}\) i poprawnie bierze pierwiastek sześcienny z licznika i mianownika, ale myli \(\sqrt[3]{8} = 2\) z \(\sqrt[3]{8} = \frac{1}{2}\), albo odwraca ułamek |
| D - \(\dfrac{1}{2}\) | Uczeń zauważa, że \(48 \approx \frac{162}{3}\) i dzieli przez liczbę wyrazów zamiast szukać ilorazu; albo myli skok o 3 z \(q^2\) i liczy \(\sqrt{\frac{8}{27}} \approx \frac{1}{2}\) |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Kluczowe jest, że między \(a_2\) a \(a_5\) są **3 kroki** (nie 2 i nie 4), więc \(a_5 = a_2 \cdot q^3\) - łatwo się pomylić o jeden.

> ⚠️ **Uwaga:** \(q^3 = \dfrac{8}{27}\) - trzeba wyciągnąć **pierwiastek sześcienny**, a nie kwadratowy. Sprawdź: \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^3 = \dfrac{8}{27}\) ✓

> ⚠️ **Uwaga:** Upraszczanie \(\dfrac{48}{162}\) - warto to zrobić od razu: \(\dfrac{48}{162} = \dfrac{8}{27}\) (dzielimy licznik i mianownik przez 6). Łatwiej wtedy zobaczyć sześcian.

**Poprawna odpowiedź: A**

### Sposób 1 - Wzór na wyraz ogólny
W ciągu geometrycznym \(a_n = a_1 q^{n-1}\), więc:
\[\dfrac{a_5}{a_2} = \dfrac{a_1 q^4}{a_1 q} = q^3.\]
Stąd:
\[q^3 = \dfrac{48}{162} = \dfrac{8}{27},\]
\[q = \sqrt[3]{\dfrac{8}{27}} = \dfrac{2}{3}.\]

### Sposób 2 - Sprawdzenie
Dla \(q = \tfrac{2}{3}\): \(a_2 = 162\), \(a_3 = 108\), \(a_4 = 72\), \(a_5 = 48\) ✓.

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **B. \(\tfrac{3}{4}\)**: \(\left(\tfrac{3}{4}\right)^3 = \tfrac{27}{64} \ne \tfrac{8}{27}\).
- **C. \(\tfrac{1}{3}\)**: \(162\cdot \tfrac{1}{27} = 6 \ne 48\).
- **D. \(\tfrac{1}{2}\)**: \(162\cdot \tfrac{1}{8} = 20{,}25 \ne 48\).

**Kluczowy skrót:** \(\tfrac{a_5}{a_2} = q^{5-2} = q^3\).

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194/zad/12)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194%2Fzad%2F12)

## Podobne zadania

- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/5) — Zadanie 5. (5 pkt) Nieskończony ciąg liczbowy ( ) n a jest określony wzorem 1 2 n a n , 1, 2, 3, n a) Oblicz, ile wyrazów ciągu ( ) n a jest mniejszych od 1,975
- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/zad/5) — Zadanie 5. (5 pkt) Dany jest ciąg arytmetyczny ( ) na , gdzie 1 n ≥. Wiadomo, że dla każdego 1 n ≥ suma n początkowych wyrazów 1 2 n n S a a a wyraża się wzorem
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (0-4) Ciąg arytmetyczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . Różnicą tego ciągu jest liczba 4 r = -, a średnia arytmetyczna początkowych sz
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (4 pkt) Ciąg arytmetyczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . Różnicą tego ciągu jest liczba 4 r = -, a średnia arytmetyczna początkowych 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_