# Matematyka — zadanie 13

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194/zad/13
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 1
- działy: Trygonometria

## Treść

Cosinus kąta ostrego \(\alpha\) jest równy \(\frac{12}{13}\). Wtedy

A. \(\sin\alpha = \dfrac{13}{12}\)
B. \(\sin\alpha = \dfrac{1}{13}\)
C. \(\sin\alpha = \dfrac{5}{13}\)
D. \(\sin\alpha = \dfrac{25}{169}\)

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: C

\(\sin\alpha = \dfrac{5}{13}\)

## Sposób 1 - jedynka trygonometryczna

Wiemy, że \(\cos\alpha = \dfrac{12}{13}\) i kąt \(\alpha\) jest ostry, więc \(\sin\alpha > 0\).

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej:
\[\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\]

Podstawiamy znane \(\cos\alpha\):
\[\sin^2\alpha + \left(\frac{12}{13}\right)^2 = 1\]

\[\sin^2\alpha + \frac{144}{169} = 1\]

\[\sin^2\alpha = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169}{169} - \frac{144}{169} = \frac{25}{169}\]

\[\sin\alpha = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13}\]

(pierwiastek dodatni, bo kąt ostry)

**Odpowiedź: \(\sin\alpha = \dfrac{5}{13}\)**

## Sposób 2 - trójkąt prostokątny

Wyobraź sobie trójkąt prostokątny, w którym:
\[\cos\alpha = \frac{\text{przyprostokątna przy } \alpha}{\text{przeciwprostokątna}} = \frac{12}{13}\]

Czyli: przyległa = \(12\), przeciwprostokątna = \(13\).

Szukamy brakującej przyprostokątnej \(a\) z twierdzenia Pitagorasa:
\[a^2 + 12^2 = 13^2\]
\[a^2 = 169 - 144 = 25\]
\[a = 5\]

Trójkąt \(5\text{-}12\text{-}13\) to znana pitagorejska trójka!

\[\sin\alpha = \frac{\text{przeciwległa}}{\text{przeciwprostokątna}} = \frac{5}{13}\]

## Wzory z karty CKE

**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - jedynka trygonometryczna:
\[\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\]
Użyliśmy jej w Sposobie 1, by wyznaczyć \(\sin\alpha\) ze znajomości \(\cos\alpha\).

**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym:
\[\sin\alpha = \frac{a}{c}, \quad \cos\alpha = \frac{b}{c}\]
Użyliśmy jej w Sposobie 2 do interpretacji geometrycznej.

**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:
\[a^2 + b^2 = c^2\]
Użyliśmy go w Sposobie 2 do wyznaczenia brakującego boku.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| A | \(\sin\alpha = \dfrac{13}{12}\) - sinus nie może być większy od 1! Zamieniono licznik z mianownikiem |
| B | \(\sin\alpha = \dfrac{1}{13}\) - wyliczono \(1 - \dfrac{12}{13} = \dfrac{1}{13}\), odejmując kosinus zamiast jego kwadratu |
| D | \(\sin\alpha = \dfrac{25}{169}\) - to wartość \(\sin^2\alpha\), a nie \(\sin\alpha\); zapomniano wyciągnąć pierwiastek |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź D jest szczególnie podstępna - \(\dfrac{25}{169}\) to poprawna wartość \(\sin^2\alpha\). Zawsze pamiętaj o ostatnim kroku: \(\sin\alpha = \sqrt{\sin^2\alpha}\).

> ⚠️ **Uwaga:** Sinus i cosinus kąta ostrego zawsze należą do przedziału \((0, 1\rangle\). Jeśli wychodzi wartość większa od 1 (jak w odpowiedzi A), od razu wiesz, że coś jest nie tak.

> ⚠️ **Uwaga:** Trójki pitagorejskie warto znać na pamięć - \(3\text{-}4\text{-}5\), \(5\text{-}12\text{-}13\), \(8\text{-}15\text{-}17\) - pozwalają rozwiązać takie zadania w kilka sekund bez rachunków.

**Poprawna odpowiedź: C**

### Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna
\[\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1,\]
\[\sin^2\alpha = 1 - \left(\dfrac{12}{13}\right)^2 = 1 - \dfrac{144}{169} = \dfrac{25}{169}.\]
Ponieważ \(\alpha\) jest kątem ostrym, \(\sin\alpha > 0\):
\[\sin\alpha = \sqrt{\dfrac{25}{169}} = \dfrac{5}{13}.\]

### Sposób 2 - Trójkąt pitagorejski
Trójka \((5, 12, 13)\): przyprostokątne \(5\) i \(12\), przeciwprostokątna \(13\).
\(\cos\alpha = \tfrac{12}{13}\) → przyprostokątna przy kącie = 12. Druga przyprostokątna (przeciwległa) = 5.
\(\sin\alpha = \dfrac{5}{13}\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(\tfrac{13}{12}\)** - \(\sin\) nie może być \(> 1\).
- **B. \(\tfrac{1}{13}\)** - błąd: \(1 - \tfrac{12}{13} = \tfrac{1}{13}\), ale to nie jest \(\sin\).
- **D. \(\tfrac{25}{169}\)** - to \(\sin^2\alpha\), nie \(\sin\alpha\).

**Pamiętaj trójki pitagorejskie:** \((3,4,5)\), \((5,12,13)\), \((8,15,17)\).

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194/zad/13)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194%2Fzad%2F13)

## Podobne zadania

- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/13) — Zadanie 13. (0-3) Rozwiąż nierówność ( )( ) 2sin 3 2sin 1 0 x x > w przedziale (0,2π) x∈ MMA_1R Odpowiedź: MMA_1R Rozwiąż nierówność (2*sin x - 3)(2*sin x + 1) 
- [Zadanie 24](https://matura.lol/question/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad/24) — Zadanie 24. (0-2) Dany jest trójkąt 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐶| = 4, |𝐴𝐵| = 3, cos ∡𝐵𝐴𝐶= 4 5 . Oblicz pole trójkąta 𝑨𝑩𝑪. Zapisz obliczenia. 24. 0-1-2 MMAP-P0_100 Dany je
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (0-2) Kąt 𝛼 jest ostry i tg 𝛼= 2. Oblicz wartość wyrażenia sin2 𝛼. Wypełnia egzaminator Nr zadania 31. 32. Maks. liczba pkt 2 2 Uzyskana liczba pkt 
- [Zadanie 29](https://matura.lol/question/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/29) — Zadanie 29. (2 pkt) Kąt α jest ostry i 5 tg 12 α = . Oblicz cosα . Odpowiedź: Kąt alfa jest ostry i tg alfa = 5/12. Oblicz cos alfa.

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_