# Matematyka — zadanie 14 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194/zad/14 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2019 (podstawowa) - rok: 2019 - poziom: podstawowa - typ: closed - punkty: 1 - działy: Planimetria ## Treść Zadanie 14. (0-1) Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym AC BC . Na podstawie AB tego trójkąta leży punkt D, taki że AD CD , BC BD oraz (zobacz rysunek). Wynika stąd, że kąt ACD ma miarę A. B. C. D. Rozwiązanie zadania. Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym |AC|=|BC|. Na podstawie AB tego trójkąta leży punkt D, taki że |AD|=|CD|, |BC|=|BD| oraz ∠ BCD = 72° (zobacz rysunek). Wynika stąd, że kąt ACD ma miarę A. 38° B. 36° C. 42° D. 40° ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: B - \(36^\circ\) ## Sposób 1 - Własności trójkątów równoramiennych (krok po kroku) **Krok 1: Analiza trójkąta BCD** W trójkącie \(BCD\) mamy \(|BC| = |BD|\), więc jest to trójkąt **równoramienny z wierzchołkiem przy \(B\)** - ramiona \(BC\) i \(BD\) są równe. Oznacza to, że kąty przy podstawie \(CD\) są równe: \[\angle BCD = \angle BDC\] Skoro \(\angle BCD = 72^\circ\), to: \[\angle BDC = 72^\circ\] \[\angle DBC = 180^\circ - 72^\circ - 72^\circ = 36^\circ\] **Krok 2: Kąt przy podstawie trójkąta ABC** Punkt \(D\) leży na podstawie \(AB\), więc \(\angle DBC\) to po prostu kąt \(\angle ABC\): \[\angle ABC = 36^\circ\] Ponieważ \(ABC\) jest trójkątem równoramiennym z \(|AC| = |BC|\), kąty przy podstawie \(AB\) są równe: \[\angle CAB = \angle CBA = 36^\circ\] Kąt przy wierzchołku: \[\angle ACB = 180^\circ - 36^\circ - 36^\circ = 108^\circ\] **Krok 3: Analiza trójkąta ACD** Kąt \(\angle ADC\) jest suplementarny do \(\angle BDC\): \[\angle ADC = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ\] Trójkąt \(ACD\) jest równoramienny, bo \(|AD| = |CD|\) - ramiona to \(AD\) i \(CD\), a wierzchołek przy \(D\). Kąty przy podstawie \(AC\) są więc równe: \[\angle CAD = \angle ACD\] Suma kątów trójkąta \(ACD\): \[\angle ACD + \angle CAD + \angle ADC = 180^\circ\] \[2 \cdot \angle ACD + 108^\circ = 180^\circ\] \[2 \cdot \angle ACD = 72^\circ\] \[\boxed{\angle ACD = 36^\circ}\] **Sprawdzenie:** \(\angle ACB = \angle ACD + \angle DCB = 36^\circ + 72^\circ = 108^\circ\) ✓ ## Sposób 2 - Układ równań na kąty (algebraicznie) Oznaczmy \(\angle ACD = x\). Ustawiamy równania na podstawie wszystkich warunków. **Z warunku \(|AD| = |CD|\)** (trójkąt ACD równoramienny, wierzchołek przy D): \[\angle CAD = \angle ACD = x \implies \angle ADC = 180^\circ - 2x\] **Stąd kąt BDC:** \[\angle BDC = 180^\circ - \angle ADC = 2x\] **Z warunku \(|BC| = |BD|\)** (trójkąt BCD równoramienny): Bok \(BC\) leży naprzeciwko kąta \(\angle BDC = 2x\), bok \(BD\) naprzeciwko \(\angle BCD = 72^\circ\). Skoro \(|BC| = |BD|\), to: \[2x = 72^\circ \implies x = 36^\circ\] **Weryfikacja spójności** - kąt \(\angle DBC = 180^\circ - 72^\circ - 72^\circ = 36^\circ\), a \(\angle CAD = 36^\circ = \angle CAB\), więc \(\angle CAB = \angle CBA = 36^\circ\), co daje \(|AC| = |BC|\) ✓ \[\boxed{\angle ACD = 36^\circ}\] ## Wzory z karty CKE **Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - twierdzenie o sumie kątów trójkąta oraz własność trójkąta równoramiennego: > W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe - kluczowa własność użyta trzykrotnie (dla trójkątów \(ABC\), \(BCD\) i \(ACD\)). > \[\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ\] W tym zadaniu nie używamy bardziej zaawansowanych wzorów - wystarczą definicja i własności trójkąta równoramiennego oraz suma kątów. ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Typowy błąd | | A: \(38^\circ\) | Błędne zaokrąglenie lub gubienie jednego z warunków zadania (np. nieuwzględnienie że \(\angle BDC = \angle BCD\)) | | C: \(42^\circ\) | Przyjęcie \(\angle BDC = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ\) zamiast \(72^\circ\) - błędne przypisanie kąta | | D: \(40^\circ\) | Mylenie kątów \(\angle ACD\) i \(\angle ACB\); lub błędne założenie \(\angle DBC = 32^\circ\) i szacowanie reszty intuicyjnie | ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Warunek \(|BC| = |BD|\) to NIE TO SAMO co \(|BC| = |CD|\). Koniecznie sprawdź, które boki są równe - to decyduje o tym, przy którym wierzchołku jest wierzchołek trójkąta równoramiennego. > ⚠️ **Uwaga:** Kąt \(\angle BDC = \angle BCD = 72^\circ\) bo \(|BC| = |BD|\), a obydwa te boki wychodzą z \(B\) - kąty przy podstawie (przy \(C\) i \(D\)) są równe. Nie mylić z sytuacją, gdy równe byłyby np. \(|BC|\) i \(|CD|\). > ⚠️ **Uwaga:** To zadanie kryje w sobie słynny **trójkąt złoty** (36°-72°-72°) i **gnomon złoty** (36°-36°-108°), powiązane ze złotym podziałem. Kąt \(36^\circ\) pojawia się wielokrotnie nieprzypadkowo - taka symetria kątów jest cechą charakterystyczną regularnego pięciokąta. **Poprawna odpowiedź: B** ### Sposób 1 - Analiza trójkątów równoramiennych Oznaczamy: \(\sphericalangle CAB = \sphericalangle CBA = \beta\) (trójkąt \(ABC\) równoramienny, \(|AC|=|BC|\)). **Trójkąt \(BCD\):** \(|BC|=|BD|\), więc \(\sphericalangle BCD = \sphericalangle BDC = 72^\circ\). Stąd \(\sphericalangle CBD = 180^\circ - 144^\circ = 36^\circ\), czyli \(\beta = 36^\circ\). **Trójkąt \(ACD\):** \(|AD|=|CD|\), więc \(\sphericalangle DAC = \sphericalangle DCA\). \(\sphericalangle DAC = \beta = 36^\circ\). Zatem \(\sphericalangle ACD = 36^\circ\). ### Sposób 2 - Sprawdzenie przez sumę kątów \(\sphericalangle ACB = \sphericalangle ACD + \sphericalangle DCB = 36^\circ + 72^\circ = 108^\circ\). Suma kątów w \(ABC\): \(2\cdot 36^\circ + 108^\circ = 180^\circ\) ✓. ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **A, C, D.** Wyniki błędnego zastosowania twierdzeń o trójkątach równoramiennych. **Kluczowa obserwacja:** każdy z trzech trójkątów \(ABC\), \(ACD\), \(BCD\) jest równoramienny - daje to 3 równe kąty do wykorzystania. ## Odpowiedź **Odpowiedź:** B _Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._ ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194/zad/14) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194%2Fzad%2F14) ## Podobne zadania - [Zadanie 7](https://matura.lol/question/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/zad/7) — Zadanie 7. (5 pkt) Szkic przedstawia kanał ciepłowniczy, którego przekrój poprzeczny jest prostokątem. Wewnątrz kanału znajduje się rurociąg składający się z tr - [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad/19) — Zadanie 19. (0-4) W trapezie prostokątnym 𝐴𝐵𝐶𝐷 dłuższa podstawa 𝐴𝐵 ma długość 7,5. Krótsza przekątna 𝐴𝐶 ma długość równą 6 i dzieli trapez na dwa trójkąty prost - [Zadanie 30](https://matura.lol/question/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad/30) — Zadanie 30. (0-4) W trójkącie ABC dane są długości boków 15 AB i 12 AC = oraz 4 5 cosα = , gdzie BAC α =  . Na bokach AB i AC tego trójkąta obrano punkty odpow - [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2021-marzec-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/19) — Zadanie 19. (0-3) Na rysunku przedstawiono kwadrat ABCD o polu 400 cm2. Figurę tę podzielono na kwadrat K1 o polu 49 cm2 i kwadrat K2 oraz figurę F (patrz rysun _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_