# Matematyka — zadanie 15

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194/zad/15
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej, planimetria

## Treść

Zadanie 15. (0-1)
Okrąg, którego środkiem jest punkt
(
)
,5
S
a
, jest styczny do osi Oy i do prostej o równaniu
2
y =
. Promień tego okręgu jest równy
A. 3
B. 5
C. 2
D. 4
72
BCD =
°

38°
36°
42°
40°
B
A
C
D

MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

MMA_1P
Rozwiązanie zadania. Okrąg, którego środkiem jest punkt S=(a,5), jest styczny do osi Oy i do prostej o równaniu y=2. Promień tego okrągu jest równy A. 3 B. 5 C. 2 D. 4

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: A - promień równa się \(3\)

## Sposób 1 - Odległość środka od stycznych

Okrąg o środku \(S = (a, 5)\) i promieniu \(r\) jest **styczny** do dwóch prostych. Warunek styczności to: **odległość środka od prostej = promień**.

**Krok 1: Styczna do prostej \(y = 2\)**

Odległość punktu \(S = (a, 5)\) od poziomej prostej \(y = 2\):
\[d_1 = |5 - 2| = 3\]

Skoro okrąg jest styczny do tej prostej:
\[r = 3\]

**Krok 2: Weryfikacja ze styczną do osi \(Oy\)**

Oś \(Oy\) ma równanie \(x = 0\). Odległość środka \(S = (a, 5)\) od osi \(Oy\):
\[d_2 = |a - 0| = |a|\]

Warunek styczności: \(|a| = r = 3\), więc \(a = 3\) lub \(a = -3\).

Oba są poprawne geometrycznie - mamy dwa symetryczne okręgi, ale promień w obu przypadkach wynosi \(\mathbf{r = 3}\).

## Sposób 2 - Układ równań z definicji

Zapisujemy dwa warunki styczności jako układ:

\[\begin{cases} |a| = r & \text{(styczna do osi } Oy\text{)} \\ |5 - 2| = r & \text{(styczna do prostej } y = 2\text{)} \end{cases}\]

Z drugiego równania wprost:
\[r = |3| = 3\]

Podstawiamy do pierwszego:
\[|a| = 3 \implies a = 3 \text{ lub } a = -3\]

Wynik jednoznaczny: \(\boxed{r = 3}\).

## Wzory z karty CKE

**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - odległość punktu od prostej:
\[d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\]

Użyliśmy tego wzoru:
- Prosta \(y = 2\) w postaci ogólnej: \(0 \cdot x + 1 \cdot y - 2 = 0\), więc \(d = \frac{|5 - 2|}{\sqrt{1}} = 3\)
- Oś \(Oy\): \(x = 0\), czyli \(1 \cdot x + 0 \cdot y + 0 = 0\), więc \(d = \frac{|a|}{\sqrt{1}} = |a|\)

Dla osi \(Oy\) i poziomej prostej wzór upraszcza się do odczytu współrzędnych, ale formalnie pochodzi stąd.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd |
| B. \(5\) | Uczeń bierze wprost współrzędną \(y\) środka, czyli \(5\), zamiast odległości od prostej \(y = 2\) |
| C. \(2\) | Uczeń bierze wartość z równania prostej \(y = 2\), zamiast liczyć odległość \(|5-2|\) |
| D. \(4\) | Błędne obliczenie: \(5 - 2 = 4\) (błąd arytmetyczny) lub pomylenie, że środek jest w \(y=6\) |

## Typowe pułapki i uwaga

> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić **odległości** od prostej z **współrzędną** środka! Odległość środka \((a, 5)\) od prostej \(y = 2\) to \(|5 - 2| = 3\), nie \(5\) ani \(2\).

> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie pyta o promień, nie o wartość \(a\). Uczniowie często gubią się szukając \(a\) i zapominają, że o to właśnie nie pytano.

> ⚠️ **Uwaga:** Okrąg styczny do osi \(Oy\) ma środek w odległości \(r\) od tej osi - to znaczy \(|a| = r\), a nie \(a = r\). Środek może być po lewej stronie osi (\(a < 0\)).

**Poprawna odpowiedź: A**

### Sposób 1 - Odległość od prostej \(y = 2\)
Odległość środka \(S = (a, 5)\) od prostej \(y = 2\) to \(|5 - 2| = 3\).
Okrąg styczny do prostej ⟺ promień = odległość od prostej.
Zatem \(r = 3\).

### Sposób 2 - Sprawdzenie stycznej do osi \(Oy\)
Odległość \(S = (a, 5)\) od osi \(Oy\) (tzn. prostej \(x = 0\)) to \(|a|\).
Styczność do \(Oy\) oznacza \(|a| = r = 3\), więc \(a = \pm 3\) (spójne - istnieje taki okrąg).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **B. \(5\)** - to współrzędna \(y\) środka, nie promień.
- **C. \(2\)** - to wartość \(y\) prostej, nie odległość od niej.
- **D. \(4\)** - błąd rachunkowy.

**Klucz:** styczność okręgu do prostej ⟺ odległość środka od prostej = promień.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** A

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194/zad/15)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194%2Fzad%2F15)

## Podobne zadania

- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-matura-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (0-4) Punkty , , i są wierzchołkami czworokąta ABCD. Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych tego czworokąta. ( ) 1, 1 A = ( ) 6,1 B = ( ) 
- [Zadanie 30](https://matura.lol/question/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad/30) — Zadanie 30. (0-2) W układzie współrzędnych są dane punkty ( ) 43, 12 A = - , ( ) 50,19 B = . Prosta AB przecina oś Ox w punkcie P . Oblicz pierwszą współrzędną 
- [Zadanie 21](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/21) — Zadanie 21. (0-1) W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dana jest prosta 𝑘 o równaniu 𝑦= -1 3 𝑥+ 2. Prosta 𝑙 jest równoległa do prostej 𝑘 i przechodzi przez punkt (2,
- [Zadanie 26](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/26) — Zadanie 26. (0-1) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dana jest prosta 𝑘 o równaniu 𝑦= -1 3 𝑥+ 2. Prosta 𝑙 jest równoległa do prostej 𝑘 i przechodzi p

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_