# Matematyka — zadanie 17

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194/zad/17
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej, równania i nierówności

## Treść

Zadanie 17. (0-1)
Proste o równaniach
(2
2)
2019
y
m
x
oraz
(3
3)
2019
y
m
x
są równoległe, gdy
A.
1
m = -
B.
0
m =
C.
1
m =
D.
5
m =
Proste o równaniach y=(2m+2)x-2019 oraz y=(3m-3)x+2019 są równoległe, gdy A. m=-1; B. m=0; m=1; D. m=5.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: A (\(m = 5\))

## Sposób 1 - Warunek równoległości prostych (równość współczynników kierunkowych)

Obie proste są dane w postaci kierunkowej \(y = ax + b\).

**Wypisujemy współczynniki kierunkowe:**
- Prosta 1: \(y = (4m+1)x - 19\), współczynnik kierunkowy \(a_1 = 4m+1\)
- Prosta 2: \(y = (5m-4)x + 20\), współczynnik kierunkowy \(a_2 = 5m-4\)

**Warunek równoległości:** dwie proste są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy mają **równe współczynniki kierunkowe** i **różne wyrazy wolne**.

Przyrównujemy współczynniki:
\[4m + 1 = 5m - 4\]
\[1 + 4 = 5m - 4m\]
\[\boxed{m = 5}\]

**Sprawdzamy, czy proste nie są tożsame** (bo tożsame proste to nie "równoległe"!):
- Wyraz wolny prostej 1: \(-19\)
- Wyraz wolny prostej 2: \(+20\)

Skoro \(-19 \neq 20\), proste są różne - **warunek spełniony**, proste są równoległe.

## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie

Podstawiamy \(m = 5\) i sprawdzamy, jak wyglądają proste:

\[a_1 = 4 \cdot 5 + 1 = 21\]
\[a_2 = 5 \cdot 5 - 4 = 21\]

Obie proste mają współczynnik kierunkowy \(21\), czyli:
- Prosta 1: \(y = 21x - 19\)
- Prosta 2: \(y = 21x + 20\)

Jednakowe nachylenie, różne wyrazy wolne - proste są **równoległe**. ✓

## Wzory z karty CKE

**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - warunek równoległości prostych w postaci kierunkowej:
\[a_1 = a_2\]
Dwie proste \(y = a_1 x + b_1\) i \(y = a_2 x + b_2\) są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy \(a_1 = a_2\) oraz \(b_1 \neq b_2\). Użyliśmy tego wprost w Sposobie 1.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| **B** \(\left(m = -\frac{1}{4}\right)\) | Uczeń przyrównuje jeden współczynnik do zera: \(4m + 1 = 0 \Rightarrow m = -\frac{1}{4}\). To daje prostą poziomą, ale drugi współczynnik \(5 \cdot (-\frac{1}{4}) - 4 = -\frac{21}{4} \neq 0\), więc proste **nie są równoległe**. |
| **C** \(\left(m = \frac{5}{4}\right)\) | Prawdopodobnie błąd przy przenoszeniu: zamiast \(4m + 1 = 5m - 4\) uczeń rozwiązuje np. \(4m = 5\), gubiąc stałe po obu stronach. |
| **D** \((m = -5)\) | Błąd znaku przy przenoszeniu: \(4m + 1 = 5m - 4 \Rightarrow 1 - 4 = 5m - 4m \Rightarrow m = -3\) (lub inny błąd arytmetyczny). Żadna naturalna ścieżka nie daje wprost \(-5\), ale to typowy wynik przy pomyleniu kolejności odejmowania. |

## Typowe pułapki i uwaga

> ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy przyrównać współczynniki kierunkowe! Trzeba sprawdzić, czy proste nie są **tożsame** (te same współczynniki kierunkowe I ten sam wyraz wolny). Tożsame proste nie są "równoległe" - są jedną prostą.

> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić warunku równoległości (\(a_1 = a_2\)) z warunkiem prostopadłości (\(a_1 \cdot a_2 = -1\)) - to najczęstszy błąd przy tego typu zadaniach.

> ⚠️ **Uwaga:** Przy przenoszeniu wyrazów z \(m\) na jedną stronę - uważaj na znaki! Krok \(4m + 1 = 5m - 4\) łatwo przekształcić błędnie jako \(4m - 5m = -4 - 1\), ale wynik \(-m = -5\) daje \(m = 5\), co jest poprawne. Błąd pojawia się, gdy ktoś pisze \(4m - 5m = -4 + 1\).

**Poprawna odpowiedź: A**

### Sposób 1 - Równość współczynników kierunkowych
Proste \(y = a_1 x + b_1\) i \(y = a_2 x + b_2\) są równoległe ⟺ \(a_1 = a_2\) (i \(b_1 \ne b_2\), inaczej byłyby tą samą prostą).

\[4m + 1 = 5m - 4,\]
\[1 + 4 = 5m - 4m,\]
\[m = 5.\]

### Sposób 2 - Sprawdzenie dla \(m = 5\)
\(a_1 = 4\cdot 5 + 1 = 21\), \(a_2 = 5\cdot 5 - 4 = 21\) ✓. Wyrazy wolne \(-19 \ne 20\), więc proste są różne i równoległe.

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **B. \(-\tfrac{1}{4}\)**: \(a_1 = 0\), \(a_2 = -\tfrac{21}{4}\) - nierówne.
- **C. \(\tfrac{5}{4}\)**: \(a_1 = 6\), \(a_2 = -\tfrac{9}{4}\) - nierówne.
- **D. \(-5\)**: \(a_1 = -19\), \(a_2 = -29\) - nierówne.

**Pamiętaj:** równoległość ⟺ ten sam współczynnik kierunkowy.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** A

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194/zad/17)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194%2Fzad%2F17)

## Podobne zadania

- [Zadanie 2](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad/2) — Zadanie 2. (3 pkt) Dany jest wektor [ ] 4,3 → AB oraz punkt ( ) 2 ,1 - A Oblicz: a) współrzędne punktu B , b) współrzędne i długość wektora → → ⋅ AB v 2 2 Arkus
- [Zadanie 29](https://matura.lol/question/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/29) — Zadanie 29. (2 pkt) Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach   2 ,2   A i   10 ,2  B Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 26. 27. 28. 29. Mak
- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/19) — Zadanie 19. (0-1) W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (-3, 1) oraz 𝐵= (1, -3) są kolejnymi wierzchołkami kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷. Obwód kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równy A. 
- [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/20) — Zadanie 20. (0-1) W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (-1, -4) oraz 𝐵= (2, 𝑦𝐵) leżą na prostej 𝑙. Współczynnik kierunkowy prostej 𝑙 jest równy 3. Liczba 𝑦

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_