# Matematyka — zadanie 18

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194/zad/18
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

## Treść

Zadanie 18. (0-1)
W układzie współrzędnych punkt
(
)
40, 40
S =
jest środkiem odcinka KL, którego jednym
z końców jest punkt
(
)
0, 8
K =
. Zatem
A.
(
)
20, 24
L =
B.
(
)
80,
72
L = -
C.
(
)
40,
24
L = -
D.
(
)
80, 72
L =
Rozwiązanie zadania. W układzie współrzędnych punkt S=(40,40) jest środkiem odcinka KL, którego jednym z końców jest punkt K=(0,8). Zatem A. L=(20,24) B. L=(-80,-72) C. L=(-40,-24) D. L=(80,72)

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: D - \(L = (80, 72)\)

## Sposób 1 - Wzór na środek odcinka (wyznaczenie drugiego końca)

Znamy wzór na środek odcinka \(KL\):
\[S = \left(\frac{x_K + x_L}{2},\ \frac{y_K + y_L}{2}\right)\]

Podstawiamy dane: \(S = (40, 40)\), \(K = (0, 8)\).

**Współrzędna \(x\):**
\[\frac{0 + x_L}{2} = 40\]
\[x_L = 80\]

**Współrzędna \(y\):**
\[\frac{8 + y_L}{2} = 40\]
\[8 + y_L = 80\]
\[y_L = 72\]

**Zatem \(L = (80, 72)\).**

## Sposób 2 - Wektor (przesunięcie od K przez S do L)

Środek \(S\) leży w połowie drogi od \(K\) do \(L\), więc wektor \(\vec{KS}\) jest taki sam jak \(\vec{SL}\).

Obliczamy \(\vec{KS}\):
\[\vec{KS} = S - K = (40 - 0,\ 40 - 8) = (40,\ 32)\]

Punkt \(L\) jest przesunięciem \(S\) o ten sam wektor:
\[L = S + \vec{KS} = (40 + 40,\ 40 + 32) = (80,\ 72)\]

**Wynik zgodny: \(L = (80, 72)\).**

## Wzory z karty CKE

**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22)** - wzór na środek odcinka:
\[x_S = \frac{x_A + x_B}{2}, \quad y_S = \frac{y_A + y_B}{2}\]
Użyliśmy go w Sposobie 1 do wyznaczenia współrzędnych \(L\).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| A \((20, 24)\) | Podzielono współrzędne \(S\) przez 2 zamiast wyliczyć \(x_L = 2x_S - x_K\). Pomylono środek z punktem końcowym. |
| B \((-80, -72)\) | Odjęto \(S - K\) od punktu \((0,0)\) zamiast dodać wektor do \(S\). Błędny kierunek - wzięto punkt symetrycznie do \(L\) względem początku układu. |
| C \((-40, -24)\) | Obliczono \(K - S\) zamiast \(2S - K\), czyli symetryczny do \(K\) względem \(S\) punkt pominął dwukrotność. |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na środek odcinka to \(x_S = \frac{x_K + x_L}{2}\) - żeby wyznaczyć \(x_L\), mnożymy obie strony przez 2 i odejmujemy \(x_K\): \(x_L = 2x_S - x_K\). Łatwo zapomnieć o pomnożeniu przez 2!

> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl kierunku - szukamy \(L\), który leży PO DRUGIEJ STRONIE \(S\) niż \(K\). Współrzędne \(L\) muszą być większe niż \(S\), bo \(K\) jest mniejsze od \(S\).

> ⚠️ **Uwaga:** Szybka metoda: zamiast wzoru, pomyśl o wektorze - od \(K\) do \(S\) jest skok o \((40, 32)\), więc od \(S\) do \(L\) musi być ten sam skok.

**Poprawna odpowiedź: D**

### Sposób 1 - Wzór na środek odcinka
\(S = \left(\dfrac{x_K + x_L}{2}, \dfrac{y_K + y_L}{2}\right)\). Z tego:
\[x_L = 2\cdot 40 - 0 = 80,\]
\[y_L = 2\cdot 40 - 8 = 72.\]
Zatem \(L = (80, 72)\).

### Sposób 2 - Wektor \(\vec{KS} = \vec{SL}\)
\(\vec{KS} = (40 - 0, 40 - 8) = (40, 32)\).
\(L = S + \vec{KS} = (40 + 40, 40 + 32) = (80, 72)\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \((20, 24)\)** - to średnia, pomylono z \(S\).
- **B. \((-80, -72)\)**: środek byłby \((-40, -32)\) ≠ \(S\).
- **C. \((-40, -24)\)**: środek byłby \((-20, -8)\) ≠ \(S\).

**Wzór pomocniczy:** \(L = 2S - K\).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** D

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194/zad/18)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194%2Fzad%2F18)

## Podobne zadania

- [Zadanie 2](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad/2) — Zadanie 2. (3 pkt) Dany jest wektor [ ] 4,3 → AB oraz punkt ( ) 2 ,1 - A Oblicz: a) współrzędne punktu B , b) współrzędne i długość wektora → → ⋅ AB v 2 2 Arkus
- [Zadanie 29](https://matura.lol/question/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/29) — Zadanie 29. (2 pkt) Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach   2 ,2   A i   10 ,2  B Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 26. 27. 28. 29. Mak
- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/19) — Zadanie 19. (0-1) W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (-3, 1) oraz 𝐵= (1, -3) są kolejnymi wierzchołkami kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷. Obwód kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równy A. 
- [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/20) — Zadanie 20. (0-1) W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (-1, -4) oraz 𝐵= (2, 𝑦𝐵) leżą na prostej 𝑙. Współczynnik kierunkowy prostej 𝑙 jest równy 3. Liczba 𝑦

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_