# Matematyka — zadanie 19

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194/zad/19
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 1
- działy: Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

## Treść

Zadanie 19. (0-1)
Punkt
(
)
6,
8
P
, przekształcono najpierw w symetrii względem osi Ox, a potem
w symetrii względem osi Oy. W wyniku tych przekształceń otrzymano punkt Q . Zatem
A.
(
)
6,8
Q
B.
(
)
6, 8
Q
C.
(
)
8,6
Q
D.
(
)
8,
6
Q
Rozwiązanie zadania. Punkt P=(-6,-8), przekształcono najpierw w symetrii względem osi Ox, a potem w symetrii względem osi Oy. W wyniku tych przekształceń otrzymano punkt Q. Zatem A. Q=(6,8) B. Q=(-6,-8) C. Q=(8,6) D. Q=(-8,-6)

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: A - \(Q = (6, 8)\)

## Sposób 1 - kolejne symetrie krok po kroku

Zaczynamy od punktu \(P = (-6, -8)\) i wykonujemy dwa przekształcenia po kolei.

**Krok 1: Symetria względem osi \(Ox\) (osi poziomej)**

Symetria względem osi \(Ox\) zmienia znak współrzędnej \(y\), współrzędna \(x\) zostaje bez zmian:
\[(x, y) \xrightarrow{\text{sym. } Ox} (x, -y)\]

\[P = (-6, -8) \xrightarrow{\text{sym. } Ox} P' = (-6, 8)\]

**Krok 2: Symetria względem osi \(Oy\) (osi pionowej)**

Symetria względem osi \(Oy\) zmienia znak współrzędnej \(x\), współrzędna \(y\) zostaje bez zmian:
\[(x, y) \xrightarrow{\text{sym. } Oy} (-x, y)\]

\[P' = (-6, 8) \xrightarrow{\text{sym. } Oy} Q = (6, 8)\]

**Wynik: \(Q = (6, 8)\)**

## Sposób 2 - złożenie obu symetrii naraz

Zauważmy, że symetria względem \(Ox\), a potem względem \(Oy\) to złożenie, które można opisać jednym wzorem.

Symetria względem \(Ox\): \((x, y) \to (x, -y)\)

Symetria względem \(Oy\): \((x, y) \to (-x, y)\)

Złożenie obu (w tej kolejności):
\[(x, y) \xrightarrow{\text{sym. } Ox} (x, -y) \xrightarrow{\text{sym. } Oy} (-x, -y)\]

Złożenie symetrii osiowej względem \(Ox\) i \(Oy\) daje **symetrię środkową względem początku układu** - czyli zmianę znaków obu współrzędnych:
\[(x, y) \longrightarrow (-x, -y)\]

Stosujemy do \(P = (-6, -8)\):
\[Q = (-(-6), -(-8)) = (6, 8)\]

**Wynik: \(Q = (6, 8)\)** ✓

## Wzory z karty CKE

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji symetrii osiowych z geometrii analitycznej (dział 11, s. 22-25).

Dla przypomnienia reguły:
\[\text{sym. } Ox: (x, y) \to (x, -y)\]
\[\text{sym. } Oy: (x, y) \to (-x, y)\]
\[\text{sym. środkowa wzgl. } O: (x, y) \to (-x, -y)\]

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| B | Brak wykonania przekształceń - uczeń zwraca punkt \(P\) bez zmian |
| C | Zamieniono miejscami współrzędne: \((8, 6)\) zamiast \((6, 8)\) - błąd zamiany \(x\) z \(y\) |
| D | Wykonano symetrię środkową i zamieniono współrzędne: \((-8, -6)\) - podwójny błąd |

## Typowe pułapki i uwaga

> ⚠️ **Uwaga:** Symetria względem osi \(Ox\) zmienia tylko \(y\) na \(-y\), a NIE odwrotnie! Łatwo pomylić: "oś \(Ox\) jest pozioma, więc zmienia się \(x\)" - to błędne rozumowanie. Oś \(Ox\) to lustro poziome, które odbija pionowo, więc zmienia \(y\).

> ⚠️ **Uwaga:** Kolejność przekształceń ma znaczenie! Najpierw \(Ox\), potem \(Oy\) - tu akurat wynik jest taki sam jak odwrotna kolejność (bo złożenie daje symetrię środkową w obu przypadkach), ale w ogólności kolejność przekształceń może dawać różne wyniki.

> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź B \((-6, -8)\) to pułapka dla uczniów, którzy mylą złożenie dwóch symetrii osiowych z symetrią środkową, ale zastosują ją w odwrotny sposób - lub po prostu nie wykonają żadnego przekształcenia.

**Poprawna odpowiedź: A**

### Sposób 1 - Kolejne symetrie
Symetria względem \(Ox\): \((x, y) \to (x, -y)\).
\(P = (-6, -8) \to P' = (-6, 8)\).

Symetria względem \(Oy\): \((x, y) \to (-x, y)\).
\(P' = (-6, 8) \to Q = (6, 8)\).

### Sposób 2 - Złożenie symetrii (obrót o \(180^\circ\))
Symetria względem \(Ox\) potem \(Oy\) = symetria środkowa względem \((0,0)\):
\((x, y) \to (-x, -y)\).
\(P = (-6, -8) \to Q = (6, 8)\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **B. \((-6, -8)\)** - to \(P\), nie zmienia się (pomylono z tożsamością).
- **C. \((8, 6)\)** - zamieniono miejscami współrzędne.
- **D. \((-8, -6)\)** - j.w. i zły znak.

**Skrót:** dwie symetrie osiowe względem prostopadłych osi = symetria środkowa względem ich punktu przecięcia.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194/zad/19)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194%2Fzad%2F19)

## Podobne zadania

- [Zadanie 2](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad/2) — Zadanie 2. (3 pkt) Dany jest wektor [ ] 4,3 → AB oraz punkt ( ) 2 ,1 - A Oblicz: a) współrzędne punktu B , b) współrzędne i długość wektora → → ⋅ AB v 2 2 Arkus
- [Zadanie 29](https://matura.lol/question/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/29) — Zadanie 29. (2 pkt) Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach   2 ,2   A i   10 ,2  B Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 26. 27. 28. 29. Mak
- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/19) — Zadanie 19. (0-1) W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (-3, 1) oraz 𝐵= (1, -3) są kolejnymi wierzchołkami kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷. Obwód kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równy A. 
- [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/20) — Zadanie 20. (0-1) W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (-1, -4) oraz 𝐵= (2, 𝑦𝐵) leżą na prostej 𝑙. Współczynnik kierunkowy prostej 𝑙 jest równy 3. Liczba 𝑦

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_