# Matematyka — zadanie 2

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194/zad/2
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Wyrażenia algebraiczne, planimetria

## Treść

Zadanie 2. (0-1)
Kwadrat liczby
jest równy
A.
B.
C.
D.
Rozwiązanie zadania. Kwadrat liczby 8-3√7 jest równy A. 127+48√7 B. 127-48√7 C. 1-48√7 D. 1+48√7

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: B - \(127 - 48\sqrt{7}\)

## Sposób 1 - Wzór \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)

Chcemy obliczyć \((8 - 3\sqrt{7})^2\).

Stosujemy wzór na kwadrat różnicy z \(a = 8\), \(b = 3\sqrt{7}\):

\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\]

Liczymy każdy składnik osobno:

\[a^2 = 8^2 = 64\]

\[2ab = 2 \cdot 8 \cdot 3\sqrt{7} = 48\sqrt{7}\]

\[b^2 = (3\sqrt{7})^2 = 9 \cdot 7 = 63\]

Składamy razem:

\[(8 - 3\sqrt{7})^2 = 64 - 48\sqrt{7} + 63 = \mathbf{127 - 48\sqrt{7}}\]

## Sposób 2 - Mnożenie pisemne (rozwijanie nawiasów ręcznie)

Zapisujemy kwadrat jako iloczyn dwóch takich samych nawiasów:

\[(8 - 3\sqrt{7})^2 = (8 - 3\sqrt{7})(8 - 3\sqrt{7})\]

Mnożymy każdy wyraz przez każdy:

\[= 8 \cdot 8 + 8 \cdot (-3\sqrt{7}) + (-3\sqrt{7}) \cdot 8 + (-3\sqrt{7}) \cdot (-3\sqrt{7})\]

\[= 64 - 24\sqrt{7} - 24\sqrt{7} + 9 \cdot 7\]

\[= 64 - 48\sqrt{7} + 63\]

\[= \mathbf{127 - 48\sqrt{7}}\]

Wynik zgodny ze Sposobem 1. ✓

## Wzory z karty CKE

**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**:
\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\]
To główny wzór użyty w Sposobie 1. Podstawiamy \(a = 8\), \(b = 3\sqrt{7}\).

**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**:
\[(a \cdot b)^r = a^r \cdot b^r\]
Użyliśmy przy obliczaniu \((3\sqrt{7})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{7})^2 = 9 \cdot 7 = 63\).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd |
| **A** | Zamiana znaku: zamiast \((a-b)^2\) policzono \((a+b)^2 = 64 + 48\sqrt{7} + 63 = 127 + 48\sqrt{7}\) - błąd znaku w środkowym składniku |
| **C** | Policzono \(8^2 - (3\sqrt{7})^2 = 64 - 63 = 1\) - zastosowano wzór na różnicę kwadratów \((a-b)(a+b)\) zamiast kwadratu różnicy |
| **D** | Połączenie obu błędów: wzór na różnicę kwadratów ORAZ błędny znak przy \(\sqrt{7}\) |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** \((3\sqrt{7})^2 \neq 3\sqrt{7} \cdot 2\). Pamiętaj: potęgujemy CAŁY czynnik - \((3\sqrt{7})^2 = 9 \cdot 7 = 63\), nie \(6\sqrt{7}\).

> ⚠️ **Uwaga:** Środkowy składnik w \((a-b)^2\) to \(-2ab\), więc \(-48\sqrt{7}\) - minus! Najczęstszy błąd to zamiana na plus i wybór odpowiedzi A.

> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić \((a-b)^2\) z \(a^2 - b^2\). To dwa różne wzory! \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) - tu środkowego składnika w ogóle nie ma.

**Poprawna odpowiedź: B**

### Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia
\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\), gdzie \(a = 8\), \(b = 3\sqrt{7}\):
\[(8 - 3\sqrt{7})^2 = 64 - 2\cdot 8\cdot 3\sqrt{7} + (3\sqrt{7})^2 = 64 - 48\sqrt{7} + 63 = 127 - 48\sqrt{7}.\]

### Sposób 2 - Obliczenia krok po kroku
- \(8^2 = 64\)
- \((3\sqrt{7})^2 = 9\cdot 7 = 63\)
- \(2\cdot 8\cdot 3\sqrt{7} = 48\sqrt{7}\)
- Suma: \(64 + 63 - 48\sqrt{7} = 127 - 48\sqrt{7}\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(127 + 48\sqrt{7}\)** - zły znak środkowego wyrazu (byłoby dla \((8+3\sqrt{7})^2\)).
- **C. \(1 - 48\sqrt{7}\)** - błąd przy \((3\sqrt{7})^2\) (użyto \(63\) z niewłaściwym znakiem).
- **D. \(1 + 48\sqrt{7}\)** - dwa błędy znaków jednocześnie.

**Pamiętaj:** \((3\sqrt{7})^2 = 9\cdot 7 = 63\), nie \(21\)!

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194/zad/2)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194%2Fzad%2F2)

## Podobne zadania

- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2021-marzec-probna-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-4) Reszty z dzielenia wielomianu 𝑊(𝑥) = 𝑥4 + 𝑏𝑥3 + 𝑐𝑥2 przez dwumiany (𝑥-2) i (𝑥-3) są odpowiednio równe (-8) oraz (-18). Oblicz resztę z dzielen
- [Zadanie 8](https://matura.lol/question/matematyka-2013-maj-matura-rozszerzona/zad/8) — Zadanie 8. (4 pkt) Reszta z dzielenia wielomianu  3 2 4 5 23 W x x x x m     przez dwumian 1 x  jest równa 20. Oblicz wartość współczynnika m oraz pierwi
- [Zadanie 2](https://matura.lol/question/matematyka-2012-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/2) — Zadanie 2. (4 pkt) Wielomian  4 3 2 24 9 W x x ax bx x      jest kwadratem wielomianu  2 P x x cx d    Oblicz a oraz b. Odpowiedź: Poziom rozszerzon
- [Zadanie 2](https://matura.lol/question/matematyka-2009-maj-matura-rozszerzona/zad/2) — Zadanie 2. (4 pkt) Przy dzieleniu wielomianu ( ) x W przez dwumian ( )1 x otrzymujemy iloraz ( ) 14 4 8 2 x x x Q oraz resztę ( ) 5 x R . Oblicz pierwiastki wie

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_