# Matematyka — zadanie 20

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194/zad/20
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

## Treść

Zadanie 20. (0-1)
W układzie współrzędnych na płaszczyźnie danych jest 5 punktów:
,
(
)
5,
1
B = -
,
(
)
5, 3
C = -
,
(
)
6,
4
D =
,
(
)
30,
76
P = -
Punkt P należy do tej samej ćwiartki układu współrzędnych co punkt
A. A
B. B
C. C
D. D
ABCDS
ABCD
SAC
60°
45°
90°
75°
(
)
1,4
A =
B
A
C
S
D

MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

MMA_1P
Rozwiązanie zadania. W układzie współrzędnych na płaszczyźnie danych jest 5 punktów: A=(1,4), B=(-5,- 1), C=(-5,3), D=(6,-4), P=(-30,-76). Punkt P należy do tej samej ćwiartki układu współrzędnych co punkt A. A B. B C. C D. D

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: B

## Sposób 1 - Odczyt znaków współrzędnych

**Kluczowa definicja:** Ćwiartka układu współrzędnych jest wyznaczona przez znaki współrzędnych punktu:

| Ćwiartka | Znak \(x\) | Znak \(y\) |
| I | \(+\) | \(+\) |
| II | \(-\) | \(+\) |
| III | \(-\) | \(-\) |
| IV | \(+\) | \(-\) |

**Krok 1 - sprawdzamy punkt \(P = (-30, -76)\):**

\[x_P = -30 < 0, \quad y_P = -76 < 0\]

Obie współrzędne ujemne → **punkt \(P\) leży w III ćwiartce**.

**Krok 2 - sprawdzamy każdy z punktów ABCD:**

\[A = (1, 4): \quad x = +1 > 0,\; y = +4 > 0 \quad \Rightarrow \text{ I ćwiartka}\]
\[B = (-5, -1): \quad x = -5 < 0,\; y = -1 < 0 \quad \Rightarrow \text{ III ćwiartka} \checkmark\]
\[C = (-5, 3): \quad x = -5 < 0,\; y = +3 > 0 \quad \Rightarrow \text{ II ćwiartka}\]
\[D = (6, -4): \quad x = +6 > 0,\; y = -4 < 0 \quad \Rightarrow \text{ IV ćwiartka}\]

**Punkt \(P\) i punkt \(B\) są w tej samej ćwiartce (III) - odpowiedź B.**

## Sposób 2 - Weryfikacja przez porównanie znaków

Zamiast zapamiętywać numery ćwiartek, wystarczy porównać znaki współrzędnych \(P\) z każdym punktem:

\[P = (\underbrace{-30}_{-}, \underbrace{-76}_{-})\]

Szukamy punktu, który też ma schemat \((-, -)\):

- \(A = (+1, +4)\) → schemat \((+, +)\) - **różny**
- \(B = (-5, -1)\) → schemat \((-, -)\) - **identyczny** ✓
- \(C = (-5, +3)\) → schemat \$(-, +)\) - **różny**
- \(D = (+6, -4)\) → schemat \((+, -)\) - **różny**

Tylko \(B\) ma ten sam układ znaków co \(P\) - leżą w tej samej ćwiartce.

## Wzory z karty CKE

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji ćwiartek układu współrzędnych (znaki \(x\) i \(y\) w każdej ćwiartce).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Ćwiartka punktu | Błąd |
| A | I (\(x>0, y>0\)) | Obydwie współrzędne \(A\) są dodatnie - zupełnie inaczej niż w \(P\) |
| C | II (\(x<0, y>0\)) | Punkt \(C\) ma ujemne \(x\), ale dodatnie \(y\) - mylenie znaków: \(y\) w \(P\) jest ujemne |
| D | IV (\(x>0, y<0\)) | Punkt \(D\) ma dodatnie \(x\) - pomylono ćwiartki III i IV (obie mają ujemne \(y\)) |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Mylenie ćwiartek III i IV - obie mają \(y < 0\), ale różnią się znakiem \(x\). Punkt \(D = (6, -4)\) kusi, bo \(P\) też ma dużą ujemną wartość \(y\) - ale \(x_P = -30 < 0\), więc to nie IV ćwiartka.

> ⚠️ **Uwaga:** Podobnie ćwiartki II i III - obie mają \(x < 0\). Punkt \(C = (-5, 3)\) ma takie samo \(x < 0\) jak \(P\), ale \(y_C = +3 > 0\), więc to II ćwiartka, nie III.

> ⚠️ **Uwaga:** Wartość liczbowa współrzędnych (np. \(-30\) vs \(-5\)) jest bez znaczenia - liczy się tylko **znak**, nie rozmiar. Nie ma znaczenia, że \(|x_P|\) jest dużo większe niż \(|x_B|\).

**Poprawna odpowiedź: B**

### Sposób 1 - Identyfikacja ćwiartek
- **I ćwiartka** (\(x > 0, y > 0\)): \(A = (1, 4)\).
- **II ćwiartka** (\(x < 0, y > 0\)): \(C = (-5, 3)\).
- **III ćwiartka** (\(x < 0, y < 0\)): \(B = (-5, -1)\), \(P = (-30, -76)\).
- **IV ćwiartka** (\(x > 0, y < 0\)): \(D = (6, -4)\).

\(P\) ma \(x_P = -30 < 0\) i \(y_P = -76 < 0\) → III ćwiartka. W tej samej ćwiartce jest **B**.

### Sposób 2 - Znaki współrzędnych
\(P\): \((-, -)\). Szukamy punktu o znakach \((-, -)\).
\(A\): \((+, +)\) - I. \(B\): \((-, -)\) - III ✓. \(C\): \((-, +)\) - II. \(D\): \((+, -)\) - IV.

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
Punkty \(A, C, D\) leżą w innych ćwiartkach niż III.

**Technika:** porównaj same znaki współrzędnych - nic więcej nie jest potrzebne.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** B

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194/zad/20)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194%2Fzad%2F20)

## Podobne zadania

- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (8 pkt) Punkty (7,8) A = i ( 1,2) B = - są wierzchołkami trójkąta ABC, w którym 0 90 BCA = ) a) Wyznacz współrzędne wierzchołka C, wiedząc, że leży 
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (8 pkt) Pary liczb( ) ,x y spełniające układ równań:    0 4 0 1 2 4 2 2 2 y x y y x są współrzędnymi wierzchołków czworokąta wypukłego ABCD. a) W
- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Okrąg 𝑜1 o środku w punkcie 𝑆1 jest określony równaniem (𝑥-6)2 + (𝑦+ 1)2 = 16. Okrąg 𝑜2 ma środek w punkcie 𝑆2 takim, że 𝑆1𝑆2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-4, 4
- [Zadanie 16](https://matura.lol/question/matematyka-2023-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/16) — Zadanie 16. (0-7) Rozważamy trójkąty 𝐴𝐵𝐶, w których 𝐴= (0, 0), 𝐵= (𝑚, 0), gdzie 𝑚∈(4, +∞), a wierzchołek 𝐶 leży na prostej o równaniu 𝑦= -2𝑥. Na boku 𝐵𝐶 tego tr

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_