# Matematyka — zadanie 22 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194/zad/22 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2019 (podstawowa) - rok: 2019 - poziom: podstawowa - typ: closed - punkty: 1 - działy: Stereometria ## Treść Zadanie 22. (0-1) Pole powierzchni całkowitej pewnego stożka jest 3 razy większe od pola powierzchni pewnej kuli. Promień tej kuli jest równy 2 i jest taki sam jak promień podstawy tego stożka. Tworząca tego stożka ma długość równą A. 12 B. 11 C. 24 D. 22 Rozwiązanie zadania. Pole powierzchni całkowitej pewnego stożka jest 3 razy większe od pola powierzchni pewnej kuli. Promień tej kuli jest równy 2 i jest taki sam jak promień podstawy tego stożka. Tworząca tego stożka ma długość równą A. 12 B. 11 C. 24 D. 22 ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: D - \(l = 22\) ## Sposób 1 - Podstawienie danych do wzorów i rozwiązanie równania **Dane:** - Promień kuli: \(r = 2\) - Promień podstawy stożka: \(r = 2\) (taki sam) - Pole powierzchni całkowitej stożka = \(3 \cdot\) pole powierzchni kuli **Krok 1: Oblicz pole powierzchni kuli.** \[P_{\text{kula}} = 4\pi r^2 = 4\pi \cdot 2^2 = 16\pi\] **Krok 2: Zapisz warunek z zadania.** Pole powierzchni całkowitej stożka jest 3 razy większe od pola kuli: \[P_c^{\text{stożka}} = 3 \cdot P_{\text{kuli}} = 3 \cdot 16\pi = 48\pi\] **Krok 3: Podstaw wzór na pole powierzchni całkowitej stożka.** Wzór: \(P_c = \pi r(r + l)\), gdzie \(r\) - promień podstawy, \(l\) - tworząca. \[\pi \cdot 2 \cdot (2 + l) = 48\pi\] **Krok 4: Rozwiąż równanie.** Dzielimy obie strony przez \(\pi\): \[2(2 + l) = 48\] \[2 + l = 24\] \[\boxed{l = 22}\] ## Sposób 2 - Weryfikacja wyniku Sprawdzamy, czy dla \(l = 22\) i \(r = 2\) warunek jest spełniony. Pole powierzchni całkowitej stożka: \[P_c^{\text{stożka}} = \pi r(r + l) = \pi \cdot 2 \cdot (2 + 22) = \pi \cdot 2 \cdot 24 = 48\pi\] Pole powierzchni kuli: \[P_{\text{kula}} = 4\pi r^2 = 4\pi \cdot 4 = 16\pi\] Stosunek: \[\frac{48\pi}{16\pi} = 3 \checkmark\] Warunek spełniony - **tworząca ma długość \(22\)**. ## Wzory z karty CKE **Dział 12 (Stereometria, s. 26-28):** Pole powierzchni całkowitej stożka: \[P_c = \pi r(r + l)\] gdzie \(r\) - promień podstawy, \(l\) - długość tworzącej. Pole powierzchni kuli: \[P_c = 4\pi r^2\] Obu tych wzorów użyliśmy bezpośrednio w Sposobie 1. ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Typowy błąd | | A (\(12\)) | Błędne obliczenie: ustawienie \(\pi r^2 l = 3 \cdot 4\pi r^2\), czyli użycie wzoru na **objętość** stożka zamiast pola powierzchni | | B (\(11\)) | Prawidłowy tok rozwiązania, ale pominięcie promienia w \(P_c\) - obliczenie \(2 + l = 24\) i błędne zapisanie wyniku jako połowy: \(l = 24/2 = 12\), a potem odjęcie 1 | | C (\(24\)) | Zapisanie równania \(2 + l = 24\), ale wzięcie **całej** tej wartości jako tworzącej, zapominając odjąć \(r = 2\) | ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Wzór na pole stożka to \(\pi r(r+l)\) - zawiera zarówno pole podstawy (\(\pi r^2\)) jak i pole boczne (\(\pi r l\)). Nie myl z samym polem bocznym \(\pi r l\)! > ⚠️ **Uwaga:** "3 razy większe" oznacza \(P_{\text{stożka}} = 3 \cdot P_{\text{kuli}}\). W języku potocznym bywa to mylone z "o 3 razy więcej", czyli \(P_{\text{stożka}} = P_{\text{kuli}} + 3 \cdot P_{\text{kuli}} = 4 \cdot P_{\text{kuli}}\) - na maturze stosuj interpretację \(= 3 \cdot\). > ⚠️ **Uwaga:** Tworząca \(l\) to **nie** wysokość stożka! To odcinek od wierzchołka do krawędzi podstawy. Jeśli zadanie pytałoby o wysokość, trzeba by użyć twierdzenia Pitagorasa: \(h = \sqrt{l^2 - r^2}\). **Poprawna odpowiedź: D** ### Sposób 1 - Porównanie pól Pole kuli: \(P_k = 4\pi r^2 = 4\pi\cdot 4 = 16\pi\). Pole stożka: \(P_s = \pi r^2 + \pi r l = \pi\cdot 4 + 2\pi l = 4\pi + 2\pi l\). Warunek: \(P_s = 3 P_k\): \[4\pi + 2\pi l = 48\pi,\] \[2l = 44,\] \[l = 22.\] ### Sposób 2 - Podzielenie przez \(\pi\) \(4 + 2l = 48 \Rightarrow l = 22\). ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **A. \(12\)**: \(P_s = 4\pi + 24\pi = 28\pi \ne 48\pi\). - **B. \(11\)**: \(P_s = 4\pi + 22\pi = 26\pi \ne 48\pi\). - **C. \(24\)**: \(P_s = 4\pi + 48\pi = 52\pi \ne 48\pi\). **Pamiętaj wzory:** pole stożka = \(\pi r^2 + \pi r l\), pole kuli = \(4\pi r^2\). ## Odpowiedź **Odpowiedź:** D _Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._ ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194/zad/22) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194%2Fzad%2F22) ## Podobne zadania - [Zadanie 22](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/22) — Zadanie 22. (0-1) Tworząca stożka o promieniu podstawy 1 ma długość 3. Powierzchnia boczna tego stożka po rozłożeniu na płaszczyznę jest wycinkiem koła o kącie - [Zadanie 23](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/23) — Zadanie 23. (0-1) Stożek i walec mają równe wysokości. Promień podstawy stożka jest dwa razy większy od promienia podstawy walca. Stosunek objętości stożka do o - [Zadanie 26](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/26) — Zadanie 26. (0-1) Tworząca stożka o promieniu podstawy 3 ma długość 6. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, alb - [Zadanie 27](https://matura.lol/question/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/27) — Zadanie 27. (0-1) Pole powierzchni całkowitej walca 𝒞1 jest równe 12𝜋, a objętość tego walca jest równa 4𝜋. Walec 𝒞2 jest podobny do walca 𝒞1 w skali 𝑘= 2. Oceń _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_