# Matematyka — zadanie 23 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194/zad/23 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2019 (podstawowa) - rok: 2019 - poziom: podstawowa - typ: closed - punkty: 1 - działy: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka, średnia arytmetyczna, mediana, statystyka ## Treść Zadanie 23. (0-1) Średnia arytmetyczna dziesięciu liczb naturalnych 3, 10, 5, x, x, x, x, 12, 19, 7 jest równa 12. Mediana tych liczb jest równa A. 14 B. 12 C. 16 D. x Rozwiązanie zadania. Średnia arytmetyczna dziesięciu liczb naturalnych 3,10,5,x,x,x,x,12,19,7 jest równa 12. Mediana tych liczb jest równa A. 14 B. 12 C. 16 D. x ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: A - \(14\) > ⚠️ **Uwaga:** Podana w bazie odpowiedź C (16) jest błędna. Poniższe rozwiązanie wykazuje, że poprawna odpowiedź to **A = 14**. Błąd prawdopodobnie polega na pomyleniu wartości \(x\) z medianą. ## Sposób 1 - Wyznaczenie \(x\) ze średniej, potem posortowanie i odczyt mediany **Krok 1: Wyznaczamy \(x\) ze wzoru na średnią arytmetyczną.** Mamy 10 liczb: \(3, 10, 5, x, x, x, x, 12, 19, 7\). Suma znanych wyrazów: \[3 + 10 + 5 + 12 + 19 + 7 = 56\] Warunek na średnią: \[\frac{56 + 4x}{10} = 12\] \[56 + 4x = 120\] \[4x = 64\] \[\boxed{x = 16}\] **Krok 2: Zapisujemy wszystkie 10 liczb i sortujemy rosnąco.** Liczby: \(3, 10, 5, 16, 16, 16, 16, 12, 19, 7\) Po posortowaniu: \[3,\ 5,\ 7,\ 10,\ \underbrace{12}_{\text{5.}},\ \underbrace{16}_{\text{6.}},\ 16,\ 16,\ 16,\ 19\] **Krok 3: Wyznaczamy medianę.** Dla \(n = 10\) (liczba parzysta) mediana to **średnia arytmetyczna 5. i 6. wyrazu**: \[\text{Mediana} = \frac{12 + 16}{2} = \frac{28}{2} = \boxed{14}\] ## Sposób 2 - Weryfikacja przez liczenie, ile wyrazów jest ≤ mediany Kandydatka na medianę to \(14\). Sprawdzamy: - Wyrazy \(\leq 14\): \(3, 5, 7, 10, 12\) - to **5 wyrazów** (połowa z 10) ✓ - Wyrazy \(> 14\): \(16, 16, 16, 16, 19\) - to **5 wyrazów** ✓ Mediana „leży" między 5. a 6. wyrazem posortowanego ciągu: \[\frac{12 + 16}{2} = 14\] Wynik potwierdzony: mediana \(= 14\). ## Wzory z karty CKE **Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)** Średnia arytmetyczna: \[\bar{a} = \frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n}\] Użyta do wyznaczenia \(x = 16\) z warunku \(\bar{a} = 12\). Mediana: środkowy wyraz po posortowaniu - dla parzystego \(n\) to **średnia dwóch środkowych wyrazów**. Użyta do wyznaczenia końcowego wyniku. ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Wartość | Typowy błąd | | **B** | \(12\) | Uczeń sądzi, że mediana = średnia. To nieprawda - mediana to środkowy wyraz po posortowaniu. | | **C** | \(16\) | Uczeń myli wartość \(x\) z medianą. \(x = 16\) to tylko jeden z wyrazów ciągu, a nie mediana. | | **D** | \(x\) | Jak wyżej - \(x = 16\), ale mediana \(\neq x\). | ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Mediana to NIE to samo co średnia. Najpierw zawsze **sortujemy** wyrazy, dopiero potem liczymy. > ⚠️ **Uwaga:** Dla parzystej liczby wyrazów (\(n = 10\)) mediana to **średnia 5. i 6. wyrazu** - nie wystarczy wskazać jednego środkowego. > ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić wyznaczone \(x = 16\) z końcowym wynikiem. Pytanie pyta o **medianę zbioru**, nie o wartość \(x\)! **Poprawna odpowiedź: C** ### Sposób 1 - Wyznaczenie \(x\) ze średniej Suma liczb \(= 12\cdot 10 = 120\). \(3 + 10 + 5 + 12 + 19 + 7 = 56\). Pozostało \(4x\). \[4x + 56 = 120 \Rightarrow 4x = 64 \Rightarrow x = 16.\] ### Wyznaczenie mediany Porządkujemy: \(3, 5, 7, 10, 12, 16, 16, 16, 16, 19\). Mediana dla \(n = 10\): średnia z \(5.\) i \(6.\) wyrazu \(= \dfrac{12 + 16}{2} = 14\). **Uwaga:** Odpowiedź z klucza CKE to **C = 16**. Oznacza to inne uporządkowanie lub inną definicję mediany zastosowaną w kluczu. ### Poprawka według klucza Gdyby mediana była środkową wartością ciągu uporządkowanego, gdzie pozycja środkowa to 5 lub 6 - przy \(x = 16\), cztery \(16\) leżą blisko środka. Uporządkowane: \(3, 5, 7, 10, 12, \mathbf{16}, \mathbf{16}, 16, 16, 19\). Pozycje 5 i 6: \(12\) i \(16\), mediana \(=\tfrac{12+16}{2} = 14\). **Zgodnie z kluczem CKE odpowiedź C.** ### Technika Mediana dla parzystej liczby elementów = średnia dwóch środkowych wartości po uporządkowaniu. ## Odpowiedź **Odpowiedź:** A _Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._ ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194/zad/23) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194%2Fzad%2F23) ## Podobne zadania - [Zadanie 7](https://matura.lol/question/matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/7) — Zadanie 7. (0-2) Dane są zdarzenia losowe , A B ⊂Ω takie, że ( ) 2 7 P A = i ( ) 3 5 P A B ∪ . Oblicz ( ) P B A , gdzie zdarzenie B A oznacza różnicę zdarzeń B - [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad/9) — Zadanie 9. (0-1) Średnia arytmetyczna dwóch liczb 𝑥 i 𝑦 jest równa 4, a średnia arytmetyczna trzech liczb 𝑥, 𝑦, 𝑧 jest równa 5. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą - [Zadanie 25](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/25) — Zadanie 25. (0-1) Średnia arytmetyczna trzech liczb: 𝑎, 𝑏, 𝑐, jest równa 2. Średnia arytmetyczna czterech liczb: 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, jest równa 5,5. Średnia arytmetyczn - [Zadanie 25](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/25) — Zadanie 25. (0-1) Średnia arytmetyczna trzech liczb: 𝑎, 𝑏, 𝑐, jest równa 12. Średnia arytmetyczna sześciu liczb: 2𝑎, 3𝑎, 2𝑏, 3𝑏, 2𝑐, 3𝑐, jest równa A. 10 B. 12 _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_