# Matematyka — zadanie 24

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194/zad/24
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Kombinatoryka

## Treść

Zadanie 24. (0-1)
Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych parzystych, w których występują wyłącznie
cyfry 1, 2, 3, jest
A. 54
B. 81
C. 8
D. 27
Rozwiązanie zadania. Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych parzystych, w których występują wyłącznie cyfry 1,2,3, jest A. 54 B. 81 C. 8 D. 27

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: D (\(27\))

## Sposób 1 - Analiza cyfra po cyfrze

**Co wiemy o liczbie?**
- Czterocyfrowa → ma postać \(\overline{abcd}\), gdzie \(a \neq 0\)
- Cyfry wyłącznie z \(\{1, 2, 3\}\)
- Parzysta → ostatnia cyfra parzysta

**Kluczowa obserwacja:** Spośród cyfr \(\{1, 2, 3\}\) jedyną parzystą jest \(\mathbf{2}\). Zatem ostatnia cyfra musi być \(2\).

Liczymy niezależnie możliwości dla każdej pozycji:

| Pozycja | Dopuszczalne cyfry | Liczba możliwości |
| Tysiące (\(a\)) | \(1, 2, 3\) | \(3\) |
| Setki (\(b\)) | \(1, 2, 3\) | \(3\) |
| Dziesiątki (\(c\)) | \(1, 2, 3\) | \(3\) |
| Jedności (\(d\)) | tylko \(2\) | \(1\) |

Na każdej pozycji wybór jest **niezależny**, więc stosujemy regułę mnożenia:

\[3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 1 = 27\]

**Odpowiedź: \(27\)**

## Sposób 2 - Wariacje z powtórzeniami + filtrowanie

Najpierw policzmy wszystkie liczby czterocyfrowe z cyfr \(\{1, 2, 3\}\) (bez warunku parzystości):

Każda z 4 pozycji ma 3 możliwości, więc jest ich \(3^4 = 81\).

Teraz filtrujemy. Ostatnia cyfra to \(1\), \(2\) lub \(3\) - trzy równo liczne przypadki:
- kończące się na \(1\): \(\frac{81}{3} = 27\)
- kończące się na \(2\): \(\frac{81}{3} = 27\) ← **parzyste**
- kończące się na \(3\): \(\frac{81}{3} = 27\)

Parzyste są tylko te kończące się na \(2\), czyli \(\frac{1}{3}\) wszystkich:

\[\frac{81}{3} = 27\]

**Wynik zgodny: \(27\)**

## Wzory z karty CKE

**Dział 13 (Kombinatoryka, s. 28)** - wariacje z powtórzeniami:
\[n^k\]
gdzie \(n\) = liczba elementów do wyboru, \(k\) = liczba pozycji.

Tutaj: \(3^3 = 27\) (trzy wolne pozycje, po 3 możliwości każda) - użyte w Sposobie 1.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A. \(54\) | Przyjęcie, że parzyste są cyfry \(2\) **i** \(4\) - ale \(4 \notin \{1,2,3\}\). Ktoś liczy \(2 \cdot 27 = 54\) zakładając 2 parzyste cyfry. |
| B. \(81\) | Policzenie \(3^4 = 81\) - wszystkich liczb czterocyfrowych z cyfr \(\{1,2,3\}\), **bez uwzględnienia warunku parzystości**. |
| C. \(8\) | Myłka \(2^3 = 8\) - ktoś uznał, że skoro ostatnia cyfra to \(2\), to na pozostałych pozycjach są tylko 2 możliwości (np. \(\{1, 3\}\)), co jest błędne. |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź, które cyfry ze zbioru \(\{1, 2, 3\}\) są parzyste - tylko \(2\). To jedyne ograniczenie dla ostatniej pozycji.

> ⚠️ **Uwaga:** Liczba czterocyfrowa zaczyna się od cyfry \(\geq 1\) - ale tu wszystkie cyfry to \(1, 2, 3\), więc żadna nie jest zerem. Warunek czterocyfrowej spełniony automatycznie.

> ⚠️ **Uwaga:** Cyfry mogą się **powtarzać** (zadanie nie mówi „różnych"). Liczby takie jak \(1112\), \(2222\), \(3312\) są dozwolone - stąd niezależność pozycji i mnożenie.

**Poprawna odpowiedź: D**

### Sposób 1 - Reguła mnożenia
Liczba czterocyfrowa: \(\overline{abcd}\), gdzie każda z cyfr \(\in \{1, 2, 3\}\).
- Cyfra jedności \(d\) musi być parzysta, więc \(d = 2\) (jedyna parzysta).
- Cyfry \(a, b, c\) mogą być dowolne z \(\{1, 2, 3\}\) - po \(3\) możliwości każda.

Liczba takich liczb: \(3\cdot 3\cdot 3\cdot 1 = 27\).

### Sposób 2 - Przykłady
\(1112, 1122, 1132, 1212, \ldots, 3332\) - wszystkie kończą się na 2.
Wybory dla trzech pierwszych cyfr: \(3^3 = 27\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(54\)** - pomnożono przez 2 zbędnie.
- **B. \(81 = 3^4\)** - wszystkie czterocyfrowe z cyfr \(\{1,2,3\}\), bez warunku parzystości.
- **C. \(8 = 2^3\)** - tylko parzyste na każdej pozycji.

**Pamiętaj:** parzystość zależy tylko od cyfry jedności.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** D

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194/zad/24)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194%2Fzad%2F24)

## Podobne zadania

- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/13) — Zadanie 13. (0-4) Oblicz, ile jest wszystkich siedmiocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie trzy cyfry 1 i dokładnie dwi
- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2011-maj-matura-rozszerzona/zad/9) — Zadanie 9. (4 pkt) Oblicz, ile jest liczb ośmiocyfrowych, w zapisie których nie występuje zero, natomiast występują dwie dwójki i występują trzy trójki. Odpowie
- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/6) — Zadanie 6. (0-3) Rozważamy wszystkie dziewięciocyfrowe kody, które spełniają jednocześnie następujące warunki: na pierwszym miejscu kodu znajduje się cyfra 2 cy
- [Zadanie 2](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/2) — Zadanie 2. (0-3) Wśród 𝑛 osób są Ania i jej dwaj znajomi. Wszystkie te 𝑛 osób ustawiamy w kolejkę jedna za drugą. Liczba wszystkich takich ustawień jest 12 razy

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_