# Matematyka — zadanie 26

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194/zad/26
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Równania i nierówności

## Treść

Rozwiąż równanie \((x^{2} - 16)(x^{3} - 1) = 0\).

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: \(x = -4\), \(x = 1\), \(x = 4\)

Równanie ma trzy pierwiastki rzeczywiste.

## Sposób 1 - Zasada zerowego iloczynu + proste rozkłady

Iloczyn dwóch wyrażeń jest zerem wtedy i tylko wtedy, gdy **co najmniej jeden czynnik jest zerem**.

\[(x^2 - 16)(x^3 - 1) = 0\]

Stąd:

\[x^2 - 16 = 0 \qquad \text{lub} \qquad x^3 - 1 = 0\]

**Przypadek 1:** \(x^2 - 16 = 0\)

\[x^2 = 16\]
\[x = \sqrt{16} \quad \text{lub} \quad x = -\sqrt{16}\]
\[\boxed{x_1 = 4, \quad x_2 = -4}\]

**Przypadek 2:** \(x^3 - 1 = 0\)

\[x^3 = 1\]
\[\boxed{x_3 = 1}\]

(Jedyna liczba rzeczywista, której sześcian wynosi 1, to 1.)

**Odpowiedź:** \(x \in \{-4,\ 1,\ 4\}\)

## Sposób 2 - Pełny rozkład na czynniki liniowe i kwadratowe

Rozkładamy każdy nawias przy użyciu wzorów skróconego mnożenia.

**Nawias pierwszy:**
\[x^2 - 16 = (x-4)(x+4)\]

**Nawias drugi** (wzór na różnicę sześcianów):
\[x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1)\]

Równanie przyjmuje postać:

\[(x-4)(x+4)(x-1)(x^2 + x + 1) = 0\]

Badamy każdy czynnik:

| Czynnik | Równanie | Rozwiązanie |
| \(x - 4\) | \(x = 4\) | \(x_1 = 4\) |
| \(x + 4\) | \(x = -4\) | \(x_2 = -4\) |
| \(x - 1\) | \(x = 1\) | \(x_3 = 1\) |
| \(x^2 + x + 1\) | \(\Delta = 1 - 4 = -3 < 0\) | brak rozwiązań rzeczywistych |

Dla trójmianu \(x^2 + x + 1\) wyróżnik:
\[\Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 < 0\]

Ujemna delta - brak pierwiastków rzeczywistych.

**Wynik:** \(x \in \{-4,\ 1,\ 4\}\) - identyczny jak w Sposobie 1. ✓

## Wzory z karty CKE

**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):**
\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\]
Użyliśmy do rozkładu \(x^2 - 16 = (x-4)(x+4)\) (z \(a = x\), \(b = 4\)).

\[a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)\]
Użyliśmy do rozkładu \(x^3 - 1 = (x-1)(x^2+x+1)\) (z \(a = x\), \(b = 1\)).

**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9):**
\[\Delta = b^2 - 4ac\]
Użyliśmy do sprawdzenia, że \(x^2 + x + 1 = 0\) nie ma rozwiązań rzeczywistych (\(\Delta < 0\)).

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \(x^3 = 1\) ma **tylko jedno** rozwiązanie rzeczywiste - \(x = 1\). Nie ma tu \(x = -1\)! Myląc \(x^3 = 1\) z \(x^2 = 1\), można błędnie dopisać \(x = -1\).

> ⚠️ **Uwaga:** Trójmian \(x^2 + x + 1\) wygląda prosto, ale ma **ujemną deltę** - nigdy nie jest zerem dla żadnej liczby rzeczywistej. Nie wolno go zignorować bez sprawdzenia!

> ⚠️ **Uwaga:** Zasada zerowego iloczynu działa tylko dla iloczynu równego **zero**. Gdyby prawa strona była np. 5, nie możemy rozdzielać czynników osobno - tu nie ma problemu, bo prawa strona to właśnie 0.

**Odpowiedź:** \(x = -4\), \(x = 1\), \(x = 4\).

### Sposób 1 - Iloczyn = 0 ⟺ jeden z czynników = 0
Iloczyn jest równy \(0\), jeśli przynajmniej jeden z czynników jest równy \(0\).

Zatem:
\[x^2 - 16 = 0 \quad \text{lub} \quad x^3 - 1 = 0.\]

**Równanie \(x^2 - 16 = 0\):**
\[x^2 = 16 \Rightarrow x = -4 \lor x = 4.\]

**Równanie \(x^3 - 1 = 0\):**
\[x^3 = 1 \Rightarrow x = 1.\]

Zatem rozwiązaniami równania \((x^2-16)(x^3-1) = 0\) są liczby:
\[x = -4, \quad x = 1, \quad x = 4.\]

### Sposób 2 - Rozkład wzorem na różnicę kwadratów i sześcianów
\(x^2 - 16 = (x-4)(x+4)\).
\(x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1)\), a \(x^2 + x + 1 > 0\) dla każdego \(x \in \mathbb{R}\) (\(\Delta = -3 < 0\)).

Równanie:
\[(x-4)(x+4)(x-1)(x^2+x+1) = 0.\]
Ponieważ \(x^2 + x + 1 > 0\), pozostają tylko trzy rozwiązania: \(x = 4, x = -4, x = 1\).

### Schemat punktowania CKE
- **1 pkt:** za zapisanie dwóch równań \(x^2 - 16 = 0\) i \(x^3 - 1 = 0\) lub wyznaczenie rozwiązań jednego z nich.
- **2 pkt:** za wyznaczenie wszystkich trzech rozwiązań: \(x = 4\), \(x = -4\), \(x = 1\).

**Pułapka:** nie pomnóż wielomianów - iloczyn = 0 to najprostsza droga!

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194/zad/26)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194%2Fzad%2F26)

## Podobne zadania

- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/4) — Zadanie 4. (3 pkt) Koncern paliwowy podnosił dwukrotnie w jednym tygodniu cenę benzyny, pierwszy raz o 10%, a drugi raz o 5%. Po obu tych podwyżkach jeden litr 
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (0-2) Rozwiąż nierówność 𝟑𝒙𝟐+ 𝟒𝒙≥𝟔𝒙+ 𝟖 Zapisz obliczenia. 10. 0-1-2 MMAP-P0_100 Rozwiąż nierówność 3x² + 4x ≥ 6x+8
- [Zadanie 26](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/26) — Zadanie 26. (0-2) Rozwiąż równanie (27𝑥3 + 1)(𝑥2 -4) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych. EMAP-P0_100
- [Zadanie 26](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/26) — Zadanie 26. (0-2) Rozwiąż nierówność 3𝑥2 + 4𝑥≥6𝑥+ 8 EMAP-P0_100

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_