# Matematyka — zadanie 27

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194/zad/27
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Równania i nierówności

## Treść

Rozwiąż nierówność \(2x^{2} - 5x + 3 \leq 0\).

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: \(x \in \left\langle 1, \frac{3}{2} \right\rangle\)

## Sposób 1 - miejsca zerowe + znak paraboli

**Krok 1: Wyznaczamy miejsca zerowe trójmianu.**

Rozwiązujemy równanie \(2x^2 - 5x + 3 = 0\).

Obliczamy deltę:
\[\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1\]

Miejsca zerowe:
\[x_1 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 1}{4} = \frac{4}{4} = 1\]
\[x_2 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\]

**Krok 2: Analizujemy znak współczynnika \(a\).**

Mamy \(a = 2 > 0\), więc parabola jest **skierowana ramionami w górę** (kształt ∪).

**Krok 3: Odczytujemy znak paraboli.**

Parabola z ramionami w górę leży **poniżej osi \(OX\)** (czyli \(f(x) \leq 0\)) **między miejscami zerowymi**.

Zatem:
\[2x^2 - 5x + 3 \leq 0 \iff x \in \left\langle 1, \frac{3}{2} \right\rangle\]

**Odpowiedź:** \(\boxed{x \in \left\langle 1, \frac{3}{2} \right\rangle}\)

## Sposób 2 - rozkład na czynniki (faktoryzacja)

Jeśli znamy miejsca zerowe, możemy zapisać trójmian w postaci iloczynowej:
\[2x^2 - 5x + 3 = 2(x - 1)\left(x - \frac{3}{2}\right) = (x-1)(2x - 3)\]

Sprawdzamy to szybko mnożąc:
\[(x-1)(2x-3) = 2x^2 - 3x - 2x + 3 = 2x^2 - 5x + 3 \checkmark\]

**Krok 2: Badamy znak iloczynu.**

Nierówność przyjmuje postać:
\[(x - 1)(2x - 3) \leq 0\]

Kluczowe punkty: \(x = 1\) oraz \(x = \frac{3}{2}\).

Analizujemy znak każdego czynnika:

| Przedział | \(x - 1\) | \(2x - 3\) | Iloczyn |
| \(x < 1\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) |
| \(x = 1\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) |
| \(1 < x < \frac{3}{2}\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) |
| \(x = \frac{3}{2}\) | \(+\) | \(0\) | \(0\) |
| \(x > \frac{3}{2}\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |

Iloczyn jest \(\leq 0\) dla \(x \in \left\langle 1, \frac{3}{2} \right\rangle\).

**Wynik zgodny ze Sposobem 1.** ✓

## Wzory z karty CKE

**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**

Wyróżnik:
\[\Delta = b^2 - 4ac\]

Miejsca zerowe (gdy \(\Delta \geq 0\)):
\[x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\]

Użyliśmy tych wzorów w Sposobie 1 do wyznaczenia \(x_1 = 1\) i \(x_2 = \frac{3}{2}\).

Postać iloczynowa (gdy \(\Delta \geq 0\)):
\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\]

Użyliśmy jej w Sposobie 2 do faktoryzacji.

**Kluczowa zasada (nie wzór, ale reguła z działu 7):** Dla \(a > 0\), trójmian \(ax^2 + bx + c \leq 0\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(x \in \langle x_1, x_2 \rangle\).

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Nawias **domknięty** \(\langle\rangle\), nie otwarty \(()\)! Warunek to \(\leq 0\) (ze znakiem równości), więc punkty \(x = 1\) i \(x = \frac{3}{2}\) **należą** do zbioru rozwiązań - w tych punktach wyrażenie wynosi dokładnie \(0\).

> ⚠️ **Uwaga:** Jeśli \(a > 0\), nierówność \(f(x) \leq 0\) ma rozwiązania **między** miejscami zerowymi. Jeśli \(a < 0\) - **na zewnątrz**. Łatwo tu pomylić kierunek i podać \((-\infty, 1\rangle \cup \langle\frac{3}{2}, +\infty)\) zamiast środka.

> ⚠️ **Uwaga:** Przelicz deltę uważnie - tu \(\Delta = 25 - 24 = 1\), bardzo łatwo pomylić z \(\Delta = 0\) i uznać, że jest tylko jedno miejsce zerowe (czyli jeden punkt, a nie przedział).

**Odpowiedź:** \(x \in \left\langle 1, \dfrac{3}{2}\right\rangle\).

### Sposób 1 - Wyróżnik i miejsca zerowe
Rozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.

**Etap 1. Wyznaczenie pierwiastków trójmianu \(2x^2 - 5x + 3\).**
Obliczamy wyróżnik:
\[\Delta = (-5)^2 - 4\cdot 2\cdot 3 = 25 - 24 = 1,\]
\[\sqrt{\Delta} = 1.\]
Stąd:
\[x_1 = \dfrac{5 - 1}{4} = 1, \quad x_2 = \dfrac{5 + 1}{4} = \dfrac{3}{2}.\]

**Etap 2. Zbiór rozwiązań.**
Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni (\(a = 2 > 0\)), więc parabola ma ramiona skierowane w górę. Nierówność \(\le 0\) jest spełniona **między** pierwiastkami (włącznie):
\[x \in \left\langle 1, \dfrac{3}{2} \right\rangle.\]

### Sposób 2 - Wzory Viète'a
Dla trójmianu \(2x^2 - 5x + 3\):
\[x_1 + x_2 = \dfrac{5}{2}, \quad x_1 \cdot x_2 = \dfrac{3}{2}.\]
Próbujemy \(x_1 = 1\), \(x_2 = \tfrac{3}{2}\): \(1 + \tfrac{3}{2} = \tfrac{5}{2}\) ✓, \(1\cdot \tfrac{3}{2} = \tfrac{3}{2}\) ✓.
Zbiór rozwiązań: \(x \in \left\langle 1, \dfrac{3}{2}\right\rangle\).

### Schemat punktowania CKE
- **1 pkt:** poprawne wyznaczenie pierwiastków lub błąd przy zapisie zbioru.
- **2 pkt:** pełne rozwiązanie z zapisaniem \(x \in \left\langle 1, \tfrac{3}{2}\right\rangle\).

**Pamiętaj:** przy \(a > 0\), \(ax^2 + bx + c \le 0\) zachodzi **między** pierwiastkami (przedział domknięty).

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194/zad/27)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194%2Fzad%2F27)

## Podobne zadania

- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/4) — Zadanie 4. (3 pkt) Koncern paliwowy podnosił dwukrotnie w jednym tygodniu cenę benzyny, pierwszy raz o 10%, a drugi raz o 5%. Po obu tych podwyżkach jeden litr 
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (0-2) Rozwiąż nierówność 𝟑𝒙𝟐+ 𝟒𝒙≥𝟔𝒙+ 𝟖 Zapisz obliczenia. 10. 0-1-2 MMAP-P0_100 Rozwiąż nierówność 3x² + 4x ≥ 6x+8
- [Zadanie 26](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/26) — Zadanie 26. (0-2) Rozwiąż równanie (27𝑥3 + 1)(𝑥2 -4) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych. EMAP-P0_100
- [Zadanie 26](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/26) — Zadanie 26. (0-2) Rozwiąż nierówność 3𝑥2 + 4𝑥≥6𝑥+ 8 EMAP-P0_100

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_