# Matematyka — zadanie 28

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194/zad/28
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Równania i nierówności

## Treść

Zadanie 28. (0-2)
Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej x prawdziwa jest nierówność
1
1
≥
x
x
x

MMA_1P
Rozwiązanie zadania. Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej x prawdziwa jest nierówność x + 1+x / x ≥ 1.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: Nierówność prawdziwa dla każdego \(x > 0\)

To zadanie dowodowe - należy wykazać, że lewa strona jest zawsze \(\geq 1\). Kluczowy pomysł: nierówność jest równoważna temu, że pewien pełny kwadrat jest nieujemny.

## Sposób 1 - Sprowadzenie lewej strony do jednego ułamka i badanie znaku

**Badamy znak wyrażenia \(L - 1\)**, gdzie \(L = x + \dfrac{1-x}{x}\).

Obliczamy \(L - 1\):

\[
x + \frac{1-x}{x} - 1 = \frac{x \cdot x + (1-x) - 1 \cdot x}{x} = \frac{x^2 + 1 - x - x}{x} = \frac{x^2 - 2x + 1}{x}
\]

Rozpoznajemy licznik jako pełny kwadrat:

\[
L - 1 = \frac{(x-1)^2}{x}
\]

Teraz oceniamy znak:
- **Licznik**: \((x-1)^2 \geq 0\) dla każdego \(x \in \mathbb{R}\) (kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny)
- **Mianownik**: \(x > 0\) (założenie zadania)

Zatem:

\[
L - 1 = \frac{(x-1)^2}{x} \geq 0
\]

co oznacza \(L \geq 1\), czyli:

\[
\boxed{x + \frac{1-x}{x} \geq 1 \quad \text{dla każdego } x > 0}
\]

**Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \((x-1)^2 = 0\), czyli \(x = 1\).**

## Sposób 2 - Mnożenie obu stron przez \(x > 0\)

Ponieważ \(x > 0\), możemy mnożyć obie strony nierówności przez \(x\) **nie zmieniając kierunku nierówności**.

Nierówność wyjściowa:

\[
x + \frac{1-x}{x} \geq 1
\]

Mnożymy obie strony przez \(x > 0\):

\[
x \cdot x + (1-x) \geq 1 \cdot x
\]

\[
x^2 + 1 - x \geq x
\]

Przenosimy wszystko na lewą stronę:

\[
x^2 - 2x + 1 \geq 0
\]

\[
(x-1)^2 \geq 0
\]

Ostatnia nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej \(x\), w szczególności dla \(x > 0\).

Ponieważ wszystkie przekształcenia były równoważne (mnożenie przez \(x > 0\) jest równoważnością), wyjściowa nierówność jest udowodniona. \(\square\)

## Wzory z karty CKE

**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**:
\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\]
Użyliśmy tego, aby rozpoznać \(x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2\) - to serce całego dowodu.

W tym zadaniu nie używamy innych wzorów z karty - wystarczy algebra i własność kwadratu.

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Nigdy nie wolno mnożyć obu stron nierówności przez wyrażenie, jeśli nie wiesz, czy jest ono dodatnie czy ujemne. Tu \(x > 0\) jest **dane w treści** - dlatego mnożenie przez \(x\) jest legalne.

> ⚠️ **Uwaga:** Sprowadzając do wspólnego mianownika, łatwo się pomylić w znaku przy \(-(1-x) = x-1\). Warto pisać krok po kroku i nie skracać "w głowie".

> ⚠️ **Uwaga:** Samo napisanie „\((x-1)^2 \geq 0\), więc nierówność prawdziwa" **nie wystarczy** - musisz pokazać, że nierówność wyjściowa jest **równoważna** (lub wynika z) tej ostatniej. Zaznacz wyraźnie, że mnożenie przez \(x > 0\) jest operacją odwracalną.

**Dowód.**

### Sposób 1 - Przekształcenia równoważne
Przekształcamy równoważnie nierówność \(x + \dfrac{1-x}{x} \ge 1\).

Z założenia \(x > 0\), więc możemy pomnożyć obie strony przez \(x\) (zachowując kierunek nierówności):
\[x^2 + 1 - x \ge x,\]
\[x^2 - 2x + 1 \ge 0,\]
\[(x - 1)^2 \ge 0.\]

Po lewej stronie jest wyrażenie nieujemne (kwadrat liczby rzeczywistej), więc nierówność jest prawdziwa dla każdego \(x > 0\). \(\blacksquare\)

### Sposób 2 - Sprowadzenie do wspólnego mianownika
Lewa strona:
\[x + \dfrac{1-x}{x} = \dfrac{x^2 + 1 - x}{x} = \dfrac{x^2 - x + 1}{x}.\]

Nierówność \(\dfrac{x^2 - x + 1}{x} \ge 1\) dla \(x > 0\) jest równoważna:
\[x^2 - x + 1 \ge x,\]
\[x^2 - 2x + 1 \ge 0,\]
\[(x-1)^2 \ge 0.\]
Kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc nierówność jest prawdziwa. \(\blacksquare\)

### Sposób 3 - Bezpośrednio \(x + \tfrac{1}{x} \ge 2\)
Rozbijamy: \(x + \dfrac{1-x}{x} = x + \dfrac{1}{x} - 1\).
Nierówność staje się: \(x + \dfrac{1}{x} - 1 \ge 1\), czyli \(x + \dfrac{1}{x} \ge 2\).
Dla \(x > 0\) z nierówności AM-GM: \(x + \dfrac{1}{x} \ge 2\sqrt{x\cdot \tfrac{1}{x}} = 2\). \(\blacksquare\)

### Schemat punktowania CKE
- **1 pkt:** zapisanie nierówności równoważnej z \(0\) po jednej stronie lub \(x + \tfrac{1}{x} - 1 \ge 1\).
- **2 pkt:** pełne rozumowanie (np. z \((x-1)^2 \ge 0\) i wnioskiem).

**Kluczowe przekształcenie:** \((x-1)^2 \ge 0\) to kwadrat wyrażenia rzeczywistego - zawsze nieujemne.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194/zad/28)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194%2Fzad%2F28)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) Dane jest równanie: ( ) 0 4 1 5 2 2 m m x m x Zbadaj, dla jakich wartości parametru m stosunek sumy pierwiastków rzeczywistych równania do 
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (10 pkt) Rozwiąż nierówność ( ) 9 ,0 2 8 1 4 1 2 1 > x x x x , gdzie lewa strona tej nierówności jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego. 9 Ar
- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/9) — Dane są zbiory liczb rzeczywistych: \(A = \left\{ x : \frac{3}{x} \leq 1 \right\}\) i \(B = \left\{ x : |x+1| < 3 \right\}\). a) Zaznacz te zbiory na osi liczbo
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-6) Wyznacz wszystkie wartości parametru 𝒎, dla których równanie (𝟑-𝒎) ⋅𝒙𝟐+ (𝒎+ 𝟏) ⋅𝒙-(𝒎+ 𝟏)𝟐= 𝟎 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste 𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 speł

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_