# Matematyka — zadanie 30 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194/zad/30 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2019 (podstawowa) - rok: 2019 - poziom: podstawowa - typ: open - działy: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka, prawdopodobieństwo ## Treść Zadanie 30. (0-2) Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że wylosowana liczba ma w zapisie dziesiętnym cyfrę dziesiątek, która należy do zbioru { } 1, 3, 5, 7, 9 , i jednocześnie cyfrę jedności, która należy do zbioru { } 0, 2, 4, 6, 8 . Odpowiedź: MMA_1P Rozwiązanie zadania. Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że wylosowana liczba ma w zapisie dziesiętnym cyfrę dziesiątek, która należy do zbioru {1, 3, 5, 7, 9}, i jednocześnie cyfrę jedności, która należy do zbioru {0, 2, 4, 6, 8}. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: A Prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) wynosi \(\frac{5}{18}\). ## Sposób 1 - Wzór klasyczny (zliczanie przypadków) **Krok 1: Określamy przestrzeń zdarzeń elementarnych \(\Omega\)** Liczby naturalne dwucyfrowe to liczby od 10 do 99. Liczymy ich ilość: \[|\Omega| = 99 - 10 + 1 = 90\] **Krok 2: Zliczamy przypadki sprzyjające zdarzeniu \(A\)** Szukamy liczb, w których: - cyfra dziesiątek \(\in \{1, 3, 5, 7, 9\}\) - to **5 możliwości** - cyfra jedności \(\in \{0, 2, 4, 6, 8\}\) - to **5 możliwości** Ponieważ oba warunki są **jednoczesne i niezależne**, korzystamy z zasady mnożenia: \[|A| = 5 \cdot 5 = 25\] Przykłady takich liczb: \(10, 12, 14, \ldots, 30, 32, \ldots, 98\). **Krok 3: Obliczamy prawdopodobieństwo** \[P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{25}{90} = \frac{5}{18}\] ## Sposób 2 - Prawdopodobieństwo geometryczne / analiza cyfr Możemy myśleć o tym strukturalnie: każda liczba dwucyfrowa jest parą \((d, j)\), gdzie \(d \in \{1, 2, \ldots, 9\}\) (cyfra dziesiątek) i \(j \in \{0, 1, \ldots, 9\}\) (cyfra jedności). Wszystkich par: \(9 \cdot 10 = 90\) ✓ Prawdopodobieństwo, że cyfra dziesiątek jest nieparzysta: \[P(d \in \{1,3,5,7,9\}) = \frac{5}{9}\] Prawdopodobieństwo, że cyfra jedności jest parzysta: \[P(j \in \{0,2,4,6,8\}) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}\] Ponieważ wybór cyfry dziesiątek i jedności są **niezależne**: \[P(A) = \frac{5}{9} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{18}\] Wynik zgodny z Metodą 1. ✓ ## Wzory z karty CKE **Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne: \[P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}\] Zastosowanie: podzieliliśmy liczbę przypadków sprzyjających (25) przez liczbę wszystkich możliwych wyników (90). ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne To zadanie otwarte (obliczeniowe), ale typowe błędy prowadzą do konkretnych złych wyników: | Błędny wynik | Skąd pochodzi błąd | | \(\frac{25}{99}\) | Liczenie liczb naturalnych dwucyfrowych jako \(1\) do \(99\) (włączenie jednocyfrowych albo pominięcie \(-9\)) | | \(\frac{25}{100}\) | Przyjęcie \(|\Omega| = 100\) (od \(0\) do \(99\), czyli włączenie zera) | | \(\frac{10}{90} = \frac{1}{9}\) | Policzenie tylko \(5 + 5 = 10\) zamiast \(5 \times 5 = 25\) (sumowanie zamiast mnożenia) | | \(\frac{45}{90} = \frac{1}{2}\) | Policzenie wszystkich liczb z parzystą cyfrą jedności, bez warunku na cyfrę dziesiątek | ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Liczby dwucyfrowe to 10-99, czyli **90 liczb**, nie 99 ani 100! Łatwo pomylić, gdy liczymy "od 1 do 99". > ⚠️ **Uwaga:** Dwa niezależne warunki ("cyfra dziesiątek ORAZ cyfra jedności") łączymy **mnożeniem** \(5 \times 5 = 25\), nie dodawaniem \(5 + 5 = 10\). Dodawanie stosuje się do zdarzeń wykluczających się nawzajem. > ⚠️ **Uwaga:** Zero (\(0\)) jest cyfrą **parzystą** - należy do zbioru \(\{0, 2, 4, 6, 8\}\). Nie pomijaj go przy liczeniu cyfr jedności! **Odpowiedź:** \(P(A) = \dfrac{5}{18}\). ### Sposób 1 - Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary liczb \((a, b)\), gdzie \(a\) to cyfra dziesiątek, \(b\) - cyfra jedności: \[a \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}, \quad b \in \{0, 1, 2, \ldots, 9\}.\] Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych: \[|\Omega| = 9\cdot 10 = 90.\] Liczba zdarzeń sprzyjających \(A\): \(a \in \{1, 3, 5, 7, 9\}\) (5 możliwości), \(b \in \{0, 2, 4, 6, 8\}\) (5 możliwości): \[|A| = 5\cdot 5 = 25.\] Prawdopodobieństwo: \[P(A) = \dfrac{|A|}{|\Omega|} = \dfrac{25}{90} = \dfrac{5}{18}.\] ### Sposób 2 - Metoda drzewka (dwa etapy) **Etap 1 - cyfra dziesiątek:** - nieparzysta: \(\{1, 3, 5, 7, 9\}\) → \(P = \tfrac{5}{9}\) (z dziewięciu możliwych). **Etap 2 - cyfra jedności:** - parzysta: \(\{0, 2, 4, 6, 8\}\) → \(P = \tfrac{5}{10} = \tfrac{1}{2}\). \[P(A) = \dfrac{5}{9}\cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{18}.\] ### Sposób 3 - Metoda tabeli Tablica \(9 \times 10\) (dziesiątki \(\times\) jedności) = 90 komórek. Zaznaczamy 5 wierszy (\(a\) nieparzyste) \(\times\) 5 kolumn (\(b\) parzyste) = 25 komórek zaznaczonych. \(P(A) = \dfrac{25}{90} = \dfrac{5}{18}\). ### Schemat punktowania CKE - **1 pkt:** obliczenie \(|\Omega| = 90\) lub \(|A| = 25\) lub uchwyć strategię drzewka. - **2 pkt:** obliczenie \(P(A) = \tfrac{25}{90} = \tfrac{5}{18}\). **Kluczowe:** liczb dwucyfrowych jest 90 (od 10 do 99), a nie 100. ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194/zad/30) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194%2Fzad%2F30) ## Podobne zadania - [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/12) — Zadanie 12. (4 pkt) Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo każdego z następujących zdarzeń: a) A - w każdym rzucie wyp - [Zadanie 16](https://matura.lol/question/matematyka-2003-styczen-probna-rozszerzona/zad/16) — Zadanie 16. (4 pkt) Rzucamy pięć razy symetryczną kostką sześcienną. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego na tym, że „jedynka” wypadnie co najmniej - [Zadanie 2](https://matura.lol/question/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad/2) — Zadanie 2. (0-3) Tomek i Romek postanowili rozegrać między sobą pięć partii szachów. Prawdopodobieństwo wygrania pojedynczej partii przez Tomka jest równe 1 4 . - [Zadanie 8](https://matura.lol/question/matematyka-2023-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/8) — Zadanie 8. (0-3) W pojemniku jest siedem kul: pięć kul białych i dwie kule czarne. Z tego pojemnika losujemy jednocześnie dwie kule bez zwracania. Następnie - z _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_