# Matematyka — zadanie 31

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194/zad/31
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: open
- działy: Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej, równania i nierówności

## Treść

Zadanie 31. (0-2)
Przekątne rombu ABCD przecinają się w punkcie
21, 1
2






S
. Punkty A i C leżą na
prostej o równaniu
1
5
3
2
y
x
. Wyznacz równanie prostej BD.
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
30.
31.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt

MMA_1P
Rozwiązanie zadania. Przekątne rombu ABCD przecinają się w punkcie S=(-21/2,-1). Punkty A i C leżą na prostej o równaniu y=1/3x+5/2. Wyznacz równanie prostej BD.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: \(y = -3x - \dfrac{65}{2}\)

## Sposób 1 - Własność prostopadłości przekątnych rombu

**Kluczowy fakt o rombie:** Przekątne rombu są **prostopadłe** i **bisekują się nawzajem** - punkt S jest środkiem obu przekątnych.

**Krok 1: Wyznacz nachylenie prostej AC.**

Prosta \(AC\) ma równanie \(y = \dfrac{1}{3}x + \dfrac{5}{2}\), więc jej współczynnik kierunkowy:
\[a_{AC} = \frac{1}{3}\]

**Krok 2: Sprawdź, czy S leży na prostej AC (kontrola danych).**

Podstawiamy \(x = -\dfrac{21}{2}\):
\[y = \frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{21}{2}\right) + \frac{5}{2} = -\frac{21}{6} + \frac{5}{2} = -\frac{7}{2} + \frac{5}{2} = -\frac{2}{2} = -1\]

Punkt \(S = \left(-\dfrac{21}{2},\, -1\right)\) leży na prostej AC - zgodnie z oczekiwaniem (jest środkiem AC). ✓

**Krok 3: Wyznacz nachylenie prostej BD.**

Ponieważ \(AC \perp BD\), a warunek prostopadłości to \(a_1 \cdot a_2 = -1\):
\[a_{BD} = -\frac{1}{a_{AC}} = -\frac{1}{\tfrac{1}{3}} = -3\]

**Krok 4: Napisz równanie prostej BD.**

Prosta BD przechodzi przez \(S = \left(-\dfrac{21}{2},\, -1\right)\) z nachyleniem \(-3\):
\[y - (-1) = -3\left(x - \left(-\frac{21}{2}\right)\right)\]
\[y + 1 = -3\left(x + \frac{21}{2}\right)\]
\[y + 1 = -3x - \frac{63}{2}\]
\[y = -3x - \frac{63}{2} - 1 = -3x - \frac{63}{2} - \frac{2}{2}\]

\[\boxed{y = -3x - \frac{65}{2}}\]

## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie punktu S

Upewniamy się, że wzór końcowy jest poprawny, sprawdzając dwa warunki niezależnie:

**Warunek 1:** Prosta BD ma nachylenie \(-3\), prosta AC ma nachylenie \(\dfrac{1}{3}\). Iloczyn:
\[-3 \cdot \frac{1}{3} = -1\]
Proste są prostopadłe. ✓

**Warunek 2:** Punkt \(S = \left(-\dfrac{21}{2},\, -1\right)\) leży na prostej \(y = -3x - \dfrac{65}{2}\):
\[-3 \cdot \left(-\frac{21}{2}\right) - \frac{65}{2} = \frac{63}{2} - \frac{65}{2} = -\frac{2}{2} = -1\]
Zgadza się. ✓

Oba warunki spełnione - odpowiedź jest poprawna.

## Wzory z karty CKE

**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**

1. Warunek prostopadłości prostych o równaniach kierunkowych:
\[a_1 \cdot a_2 = -1\]
Użyliśmy do wyznaczenia nachylenia BD z nachylenia AC.

2. Równanie prostej przechodzącej przez punkt \((x_0, y_0)\) o nachyleniu \(a\):
\[y - y_0 = a(x - x_0)\]
Użyliśmy w Kroku 4 do zapisania równania prostej BD.

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to obliczenie nachylenia prostej prostopadłej jako \(a_2 = a_1\) (przepisanie) lub jako \(a_2 = \frac{1}{a_1} = 3\) (bez zmiany znaku). Zawsze: \(a_2 = -\frac{1}{a_1}\).

> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź na początku, czy punkt S leży na prostej AC - jeśli nie leży, dane zadania są niespójne. Tu leży, więc wszystko gra.

> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyliczaniu wyrazu wolnego uważaj na ułamki - łatwo o błąd przy \(-\dfrac{63}{2} - 1\). Pamiętaj, że \(1 = \dfrac{2}{2}\), więc wynik to \(-\dfrac{65}{2}\), nie \(-\dfrac{63}{2} - 1 = -\dfrac{64}{2}\).

**Odpowiedź:** \(y = -3x - \dfrac{65}{2}\).

### Sposób 1 - Prostopadłość przekątnych rombu
Przekątne rombu są prostopadłe, więc prosta \(BD\) jest prostopadła do \(AC\). Prosta \(AC\) ma współczynnik kierunkowy \(a_{AC} = \tfrac{1}{3}\).

Warunek prostopadłości: \(a_{BD}\cdot a_{AC} = -1\), więc:
\[a_{BD} = -\dfrac{1}{\tfrac{1}{3}} = -3.\]

Prosta \(BD\) ma postać \(y = -3x + b\) i przechodzi przez punkt \(S = \left(-\tfrac{21}{2}, -1\right)\) (bo przekątne rombu przecinają się w punkcie wspólnym środkowym):
\[-1 = -3\cdot \left(-\dfrac{21}{2}\right) + b,\]
\[-1 = \dfrac{63}{2} + b,\]
\[b = -1 - \dfrac{63}{2} = -\dfrac{2}{2} - \dfrac{63}{2} = -\dfrac{65}{2}.\]

Zatem równanie prostej \(BD\):
\[\boxed{y = -3x - \dfrac{65}{2}.}\]

### Sposób 2 - Sprawdzenie
Dla \(x = -\tfrac{21}{2}\): \(y = -3\cdot(-\tfrac{21}{2}) - \tfrac{65}{2} = \tfrac{63}{2} - \tfrac{65}{2} = -1\) ✓. Punkt \(S\) leży na prostej.
Współczynnik kierunkowy \(-3\) spełnia \((-3)\cdot \tfrac{1}{3} = -1\) - prostopadłość ✓.

### Schemat punktowania CKE
- **1 pkt:** poprawne zapisanie współczynnika kierunkowego \(a = -3\).
- **2 pkt:** wyznaczenie pełnego równania \(y = -3x - \tfrac{65}{2}\).

**Własność rombu:** przekątne są wzajemnie prostopadłymi symetralnymi - przecinają się w środku i są prostopadłe.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194/zad/31)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194%2Fzad%2F31)

## Podobne zadania

- [Zadanie 34](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/34) — Zadanie 34. (0-5) W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (0, 1) oraz 𝐶= (6, 4) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷. Prosta 𝑘 o równaniu 𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏 pr
- [Zadanie 36](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/36) — Zadanie 36. (0-5) W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dane są punkty 𝐴= (2, 8) oraz 𝐵= (10, 2). Symetralna odcinka 𝐴𝐵 przecina oś 𝑂𝑥 układu współrzędnych w punkcie 
- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad/13) — Zadanie 13. (0-5) Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty ( ) 5, 3 A = - i ( ) 0, 6 B = , którego środek leży na prostej o równaniu 3 1 0 x y MMA_1R
- [Zadanie 24](https://matura.lol/question/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/24) — Zadanie 24. (0-4) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (-3, 0) oraz 𝐶= (5, 6) są końcami przekątnej kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷. Kwadrat 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′ jest obra

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_