# Matematyka — zadanie 32 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194/zad/32 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2019 (podstawowa) - rok: 2019 - poziom: podstawowa - typ: open - działy: Ciągi, ciagi ## Treść Zadanie 32. (0-4) W ciągu arytmetycznym ( ) 1 2 39 40 , , , , a a a a suma wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równa 1340, a suma wyrazów ciągu o numerach nieparzystych jest równa 1400. Wyznacz ostatni wyraz tego ciągu arytmetycznego. MMA_1P Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 32. Maks. liczba pkt 4 Uzyskana liczba pkt MMA_1P Rozwiązanie zadania. W ciągu arytmetycznym (a_1,a_2,…,a_39,a_40) suma wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równa 1340, a suma wyrazów ciągu o numerach nieparzystych jest równa 1400. Wyznacz ostatni wyraz tego ciągu arytmetycznego. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: \(a_{40} = 10\) ## Sposób 1 - Układ równań z sum parzystych i nieparzystych **Oznaczenia:** pierwszy wyraz \(a_1\), różnica \(d\). Ciąg ma 40 wyrazów, więc wyrazów o numerach parzystych jest **20**, o numerach nieparzystych też **20**. **Wyrażamy sumy przez \(a_1\) i \(d\):** Wyrazy nieparzyste: \(a_1,\ a_3,\ a_5,\ \ldots,\ a_{39}\) - to ciąg arytmetyczny z pierwszym wyrazem \(a_1\) i różnicą \(2d\): \[S_{\text{niep}} = \sum_{k=1}^{20} a_{2k-1} = \sum_{k=1}^{20}\bigl(a_1 + (2k-2)d\bigr) = 20a_1 + 2d\cdot\frac{19\cdot 20}{2} = 20a_1 + 380d\] Wyrazy parzyste: \(a_2,\ a_4,\ \ldots,\ a_{40}\) - ciąg arytmetyczny z pierwszym wyrazem \(a_1 + d\) i różnicą \(2d\): \[S_{\text{par}} = \sum_{k=1}^{20} a_{2k} = \sum_{k=1}^{20}\bigl(a_1 + (2k-1)d\bigr) = 20a_1 + d\cdot\sum_{k=1}^{20}(2k-1) = 20a_1 + 400d\] (korzystamy z faktu, że \(\sum_{k=1}^{20}(2k-1) = 1+3+5+\ldots+39 = 20^2 = 400\)) **Układ równań:** \[\begin{cases} 20a_1 + 380d = 1400 \\ 20a_1 + 400d = 1340 \end{cases}\] Odejmujemy pierwsze od drugiego: \[20d = 1340 - 1400 = -60 \implies \boxed{d = -3}\] Podstawiamy do pierwszego równania: \[20a_1 + 380 \cdot (-3) = 1400\] \[20a_1 = 1400 + 1140 = 2540 \implies \boxed{a_1 = 127}\] **Ostatni wyraz:** \[a_{40} = a_1 + 39d = 127 + 39 \cdot (-3) = 127 - 117 = \boxed{10}\] ## Sposób 2 - Sprytna obserwacja + suma całego ciągu **Krok 1: wyznacz różnicę \(d\) z par \((a_{2k}, a_{2k-1})\)** Każde \(a_{2k} - a_{2k-1} = d\). Jest dokładnie 20 takich par (dla \(k = 1, 2, \ldots, 20\)), więc: \[S_{\text{par}} - S_{\text{niep}} = 20d\] \[20d = 1340 - 1400 = -60 \implies d = -3\] **Krok 2: wyznacz \(a_1 + a_{40}\) z sumy całego ciągu** \[S_{40} = S_{\text{niep}} + S_{\text{par}} = 1400 + 1340 = 2740\] Ze wzoru na sumę ciągu arytmetycznego: \[S_{40} = \frac{a_1 + a_{40}}{2} \cdot 40 = 20(a_1 + a_{40}) = 2740\] \[a_1 + a_{40} = 137\] **Krok 3: wyznacz \(a_{40}\)** Wiemy, że \(a_{40} = a_1 + 39d\), więc: \[a_1 + (a_1 + 39d) = 137\] \[2a_1 + 39\cdot(-3) = 137\] \[2a_1 = 137 + 117 = 254 \implies a_1 = 127\] \[a_{40} = 137 - 127 = \boxed{10}\] ## Wzory z karty CKE **Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego: \[a_n = a_1 + (n-1)r\] Użyty do wyrażenia \(a_{40} = a_1 + 39d\). **Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na sumę \(n\) wyrazów: \[S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\] Użyty w Sposobie 2 do wyznaczenia \(a_1 + a_{40}\) z sumy całego ciągu. ## Typowe pułapki i uwaga > ⚠️ **Uwaga:** Wyrazów parzystych i nieparzystych jest **po 20**, nie 19 i 21! Ciąg ma 40 wyrazów, więc symetria jest idealna - tu łatwo się pomylić przy zliczaniu. > ⚠️ **Uwaga:** \(S_{\text{par}} < S_{\text{niep}}\), choć wyrazy parzyste mają wyższe numery - to znaczy, że różnica \(d\) jest **ujemna** (ciąg maleje). Jeśli intuicyjnie oczekujesz \(d > 0\), sprawdź obliczenia. > ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 1 łatwo pomylić \(\sum_{k=1}^{20}(2k-1) = 400\) z \(\sum_{k=1}^{20}(2k-2) = 380\). Skup się na tym, która suma dotyczy parzystych, a która nieparzystych - różnią się o dokładnie \(20d\). **Odpowiedź:** \(a_{40} = 10\). ### Sposób 1 - Układ równań dla sum Niech \(r\) będzie różnicą ciągu \((a_n)\), a \(a_1\) - pierwszym wyrazem. **Wyrazy parzyste** \((a_2, a_4, \ldots, a_{40})\) tworzą ciąg arytmetyczny: pierwszy wyraz \(a_1 + r\), różnica \(2r\), \(20\) wyrazów. Suma: \[\dfrac{2(a_1+r) + 19\cdot 2r}{2}\cdot 20 = (a_1 + r + 19r)\cdot 20 = (a_1 + 20r)\cdot 20 = 1340.\] Stąd \(a_1 + 20r = 67\). **Wyrazy nieparzyste** \((a_1, a_3, \ldots, a_{39})\): pierwszy \(a_1\), różnica \(2r\), \(20\) wyrazów. Suma: \[(a_1 + 19r)\cdot 20 = 1400 \Rightarrow a_1 + 19r = 70.\] **Układ równań:** \[\begin{cases} a_1 + 20r = 67 \\ a_1 + 19r = 70 \end{cases}\] Odejmujemy: \(r = 67 - 70 = -3\). Podstawiamy: \(a_1 + 19\cdot(-3) = 70 \Rightarrow a_1 = 70 + 57 = 127\). Ostatni wyraz: \[a_{40} = a_1 + 39r = 127 + 39\cdot(-3) = 127 - 117 = 10.\] ### Sposób 2 - Różnica sum Suma wyrazów parzystych \(S_p\) i nieparzystych \(S_n\): \[S_n - S_p = (a_1 - a_2) + (a_3 - a_4) + \ldots + (a_{39} - a_{40}) = -20r.\] \(1400 - 1340 = 60 = -20r \Rightarrow r = -3\). Suma wszystkich wyrazów: \(S_{40} = 1340 + 1400 = 2740\): \[S_{40} = \dfrac{a_1 + a_{40}}{2}\cdot 40 = 2740 \Rightarrow a_1 + a_{40} = 137.\] Z \(a_{40} = a_1 + 39r = a_1 - 117\): \(2a_1 - 117 = 137 \Rightarrow a_1 = 127\), \(a_{40} = 10\). ### Schemat punktowania CKE - **1 pkt:** zapisanie jednego równania z dwiema niewiadomymi. - **2 pkt:** zapisanie dwóch nierównoważnych równań. - **3 pkt:** obliczenie \(a_1 = 127, r = -3\). - **4 pkt:** obliczenie \(a_{40} = 10\). **Trik:** \(S_n - S_p = -20r\) to najszybsza droga do wyznaczenia \(r\). ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194/zad/32) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194%2Fzad%2F32) ## Podobne zadania - [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad/9) — Zadanie 9. (6 pkt) Rodzeństwo w wieku 8 i 10 lat otrzymało razem w spadku 84100 zł. Kwotę tę złożono w banku, który stosuje kapitalizację roczną przy rocznej st - [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-5) W trzywyrazowym ciągu geometrycznym ( ) 1 2 3 , , a a a spełniona jest równość 1 2 3 21 4 a a a Wyrazy 1 2 3 , , a a a są - odpowiednio - czwa - [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2023-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-4) Określamy kwadraty 𝐾1 , 𝐾2 , 𝐾3 , … następująco: 𝐾1 jest kwadratem o boku długości 𝑎 𝐾2 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na inny - [Zadanie 33](https://matura.lol/question/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/33) — Zadanie 33. (0-4) Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego ( ) na , określonego dla 1 n ≥, są dodatnie. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek 1 2 3 6 5 0 a a a . Obl _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_