# Matematyka — zadanie 33 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194/zad/33 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2019 (podstawowa) - rok: 2019 - poziom: podstawowa - typ: open - działy: Planimetria ## Treść Zadanie 33. (0-4) Środek okręgu leży w odległości 10 cm od cięciwy tego okręgu. Długość tej cięciwy jest o 22 cm większa od promienia tego okręgu. Oblicz promień tego okręgu. MMA_1P Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 33. Maks. liczba pkt 4 Uzyskana liczba pkt MMA_1P Rozwiązanie zadania. Środek okręgu leży w odległości 10 cm od cięciwy tego okręgu. Długość tej cięciwy jest o 22 cm większa od promienia tego okręgu. Oblicz promień tego okręgu. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: \(r = 26\) cm ## Sposób 1 - Twierdzenie Pitagorasa + układ równań **Oznaczenia i rysunek sytuacji:** Niech \(r\) = promień okręgu, \(l\) = długość cięciwy. Z treści zadania: - Odległość środka od cięciwy: \(d = 10\) cm - Związek cięciwy i promienia: \(l = r + 22\) **Kluczowy fakt geometryczny:** Prostopadła z środka okręgu na cięciwę dzieli ją na dwa równe odcinki. Powstaje trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \(d = 10\) i \(\frac{l}{2}\), oraz przeciwprostokątnej \(r\). Twierdzenie Pitagorasa: \[r^2 = d^2 + \left(\frac{l}{2}\right)^2\] Podstawiamy \(d = 10\) i \(l = r + 22\): \[r^2 = 100 + \frac{(r+22)^2}{4}\] Mnożymy obie strony przez \(4\): \[4r^2 = 400 + (r+22)^2\] Rozwijamy prawą stronę: \[4r^2 = 400 + r^2 + 44r + 484\] \[4r^2 - r^2 - 44r - 400 - 484 = 0\] \[3r^2 - 44r - 884 = 0\] Wyróżnik: \[\Delta = (-44)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-884) = 1936 + 10608 = 12544\] \[\sqrt{\Delta} = \sqrt{12544} = 112\] Miejsca zerowe: \[r = \frac{44 \pm 112}{6}\] \[r_1 = \frac{44 + 112}{6} = \frac{156}{6} = 26 \qquad r_2 = \frac{44 - 112}{6} = \frac{-68}{6} < 0\] Promień musi być dodatni, więc odrzucamy \(r_2\). **Promień okręgu wynosi \(r = 26\) cm.** ## Sposób 2 - Weryfikacja wyniku Sprawdzamy, czy \(r = 26\) cm spełnia oba warunki zadania. Długość cięciwy: \(l = r + 22 = 26 + 22 = 48\) cm Połowa cięciwy: \(\frac{l}{2} = 24\) cm Odległość środka od cięciwy (z twierdzenia Pitagorasa): \[d = \sqrt{r^2 - \left(\frac{l}{2}\right)^2} = \sqrt{26^2 - 24^2} = \sqrt{676 - 576} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}\] Warunek zadania: odległość = 10 cm ✓ Wynik jest poprawny. ## Wzory z karty CKE **Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - Twierdzenie Pitagorasa: \[a^2 + b^2 = c^2 \quad (\text{gdy kąt przy } C \text{ jest prosty})\] Użyliśmy go do zapisania związku między promieniem, połową cięciwy i odległością środka od cięciwy. **Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8)** - wzór na miejsca zerowe: \[\Delta = b^2 - 4ac, \qquad r = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\] Użyliśmy go do rozwiązania równania \(3r^2 - 44r - 884 = 0\). ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Prostopadła z środka na cięciwę dzieli ją na **dwie równe połowy** - do wzoru Pitagorasa wstawia się \(\frac{l}{2}\), nie \(l\). To najczęstszy błąd w tym typie zadania. > ⚠️ **Uwaga:** Równanie kwadratowe daje dwa rozwiązania - zawsze sprawdź, czy oba są geometrycznie sensowne. Promień musi być **dodatni**, więc ujemne rozwiązanie odrzucamy. > ⚠️ **Uwaga:** Przy rozwijaniu \((r+22)^2 = r^2 + 44r + 484\) pamiętaj o środkowym członie \(2 \cdot r \cdot 22 = 44r\) - tu łatwo o błąd rachunkowy. **Odpowiedź:** \(r = 26\) cm. ### Sposób 1 - Twierdzenie Pitagorasa Oznaczmy końce cięciwy \(A, B\), środek okręgu \(S\), promień \(r\), długość cięciwy \(x = |AB|\). Niech \(M\) będzie środkiem cięciwy. Odcinek \(SM\) jest prostopadły do cięciwy \(AB\), a \(|AM| = \dfrac{x}{2}\). W trójkącie prostokątnym \(AMS\): \[|AS|^2 = |AM|^2 + |MS|^2,\] \[r^2 = \left(\dfrac{x}{2}\right)^2 + 10^2.\] Z treści zadania: \(x = r + 22\). Podstawiamy: \[r^2 = \left(\dfrac{r+22}{2}\right)^2 + 100,\] \[r^2 = \dfrac{(r+22)^2}{4} + 100,\] \[4r^2 = (r+22)^2 + 400,\] \[4r^2 = r^2 + 44r + 484 + 400,\] \[3r^2 - 44r - 884 = 0.\] Wyróżnik: \[\Delta = 44^2 + 4\cdot 3\cdot 884 = 1936 + 10608 = 12544 = 112^2.\] Pierwiastki: \[r_1 = \dfrac{44 - 112}{6} = \dfrac{-68}{6} < 0 \quad (\text{odrzucamy}),\] \[r_2 = \dfrac{44 + 112}{6} = \dfrac{156}{6} = 26.\] Zatem \(r = 26\) cm. ### Sposób 2 - Równanie z \(\tfrac{3}{4}r^2\) (wg klucza CKE) \[r^2 = \dfrac{1}{4}r^2 + 11r + 121 + 100,\] \[\dfrac{3}{4}r^2 - 11r - 221 = 0.\] Mnożąc przez 4: \(3r^2 - 44r - 884 = 0\). \(\Delta = 784 = 28^2\) Sprawdzenie: \(\Delta = 121 + 663 = 784\), \(\sqrt{\Delta} = 28\). \[r_2 = \dfrac{11 + 28}{2\cdot \tfrac{3}{4}} = \dfrac{39}{\tfrac{3}{2}} = \dfrac{39\cdot 2}{3} = 26.\] ### Sprawdzenie Dla \(r = 26\): cięciwa \(x = 48\), połowa \(= 24\). \(r^2 = 676\), \(24^2 + 10^2 = 576 + 100 = 676\) ✓. ### Schemat punktowania CKE - **1 pkt:** rozważenie trójkąta prostokątnego lub zapisanie \(x = r + 22\). - **2 pkt:** zapisanie \(10^2 + \left(\tfrac{x}{2}\right)^2 = r^2\). - **3 pkt:** zapisanie równania z jedną niewiadomą. - **4 pkt:** obliczenie \(r = 26\). **Kluczowy fakt:** odcinek łączący środek okręgu ze środkiem cięciwy jest prostopadły do cięciwy. ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194/zad/33) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194%2Fzad%2F33) ## Podobne zadania - [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) W trójkącie jeden z kątów ma miarę ° 120 . Długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30. - [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/10) — W trapezie opisanym na okręgu kąty przy dłuższej podstawie mają miary \(60^{\circ}\) i \(30^{\circ}\), a długość wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządź o - [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (8 pkt) Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu 2 5 R , wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma dłu - [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość 10. Niech 𝑥 oznacza długość odcinka łączącego środki ra _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_