# Matematyka — zadanie 34

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194/zad/34
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: open
- działy: Stereometria

## Treść

Długość krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS jest równa 12. 2

/matma-quiz/images/cke/MMA-P1_1P-194/z34.png

. Krawędź boczna tworzy z wysokością tego ostrosłupa \(kąt\alpha\) taki, że \(tg\alpha\) = 5 Oblicz objętość tego ostrosłupa. S \(\alpha\) 12 D C O A B \(MMA_{1}P\) Odpowiedź: | Nr zadania --- --- | 5 | |

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: \(V = \dfrac{512\sqrt{5}}{3}\)

## Sposób 1 - Trygonometria + objętość ostrosłupa

**Dane:** krawędź boczna \(SA = 12\), kąt między krawędzią boczną a wysokością: \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{2}{\sqrt{5}}\).

**Krok 1 - Wyznaczenie wysokości \(h\) i promienia opisanego na podstawie**

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wierzchołek \(S\), środek podstawy \(O\) i wierzchołek \(A\) tworzą trójkąt prostokątny z kątem prostym przy \(O\):

\[SA = 12, \quad SO = h, \quad OA = \text{połowa przekątnej podstawy}\]

Kąt \(\alpha\) jest przy wierzchołku \(S\) (między krawędzią boczną a wysokością), więc:

\[\operatorname{tg}\alpha = \frac{OA}{SO} = \frac{OA}{h} = \frac{2}{\sqrt{5}}\]

Stąd: \(OA = \dfrac{2h}{\sqrt{5}}\)

**Krok 2 - Zastosowanie tw. Pitagorasa w trójkącie SAO**

\[SA^2 = SO^2 + OA^2\]
\[144 = h^2 + \left(\frac{2h}{\sqrt{5}}\right)^2 = h^2 + \frac{4h^2}{5} = h^2\left(1 + \frac{4}{5}\right) = \frac{9h^2}{5}\]
\[h^2 = \frac{144 \cdot 5}{9} = 80 \implies \mathbf{h = 4\sqrt{5}}\]

**Krok 3 - Długość boku podstawy**

\[OA = \frac{2h}{\sqrt{5}} = \frac{2 \cdot 4\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 8\]

\(OA\) to połowa przekątnej kwadratu o boku \(a\):

\[\frac{a\sqrt{2}}{2} = 8 \implies a = \frac{16}{\sqrt{2}} = 8\sqrt{2}\]

**Krok 4 - Pole podstawy i objętość**

\[P_p = a^2 = (8\sqrt{2})^2 = 128\]

\[V = \frac{1}{3} \cdot P_p \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 128 \cdot 4\sqrt{5} = \boxed{\dfrac{512\sqrt{5}}{3}}\]

## Sposób 2 - Przez sin i cos (z tożsamości trygonometrycznej)

**Wyznaczamy \(\sin\alpha\) i \(\cos\alpha\) ze znajomości \(\operatorname{tg}\alpha\)**

Mamy \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{2}{\sqrt{5}}\). Konstruujemy trójkąt pomocniczy: przyprostokątne \(2\) i \(\sqrt{5}\), przeciwprostokątna:

\[\text{hypot} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + 2^2} = \sqrt{5 + 4} = 3\]

Zatem:
\[\sin\alpha = \frac{2}{3}, \quad \cos\alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}\]

**Wysokość z funkcji trygonometrycznej:**

W trójkącie SAO: \(\cos\alpha = \dfrac{SO}{SA} = \dfrac{h}{12}\), więc:

\[h = 12\cos\alpha = 12 \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} = 4\sqrt{5}\]

**Połowa przekątnej:**

\[OA = 12\sin\alpha = 12 \cdot \frac{2}{3} = 8\]

**Bok podstawy:** \(a = \dfrac{2 \cdot OA}{\sqrt{2}} = \dfrac{16}{\sqrt{2}} = 8\sqrt{2}\), więc \(P_p = 128\).

**Weryfikacja krawędzi:** \(\sqrt{h^2 + OA^2} = \sqrt{80 + 64} = \sqrt{144} = 12\) ✓

\[V = \frac{1}{3} \cdot 128 \cdot 4\sqrt{5} = \dfrac{512\sqrt{5}}{3}\]

## Wzory z karty CKE

**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - objętość ostrosłupa:
\[V = \frac{1}{3} P_p \cdot h\]
Użyte w kroku 4 obu sposobów.

**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - definicja tangens w trójkącie prostokątnym:
\[\operatorname{tg}\alpha = \frac{\text{przeciwprostokątna kąta}}{\text{przyległa do kąta}} = \frac{OA}{h}\]
Użyte do ustalenia zależności między \(h\) a \(OA\).

**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - jedynka trygonometryczna:
\[\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\]
Użyte w Sposobie 2 do wyznaczenia \(\sin\alpha\) i \(\cos\alpha\).

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** \(OA\) to **połowa przekątnej** kwadratu, nie połowa boku! Przekątna kwadratu o boku \(a\) to \(a\sqrt{2}\), więc \(OA = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}\). Stąd \(a = \dfrac{2 \cdot OA}{\sqrt{2}}\). Pominięcie \(\sqrt{2}\) to najczęstszy błąd - skutkuje złym polem podstawy.

> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \(\alpha\) jest między krawędzią boczną a **wysokością** (nie podstawą!). Jeśli pomylisz kąt z kątem przy podstawie, \(\operatorname{tg}\alpha\) zamieniają się miejscami - wtedy \(OA\) i \(h\) wychodzą odwrotnie i wynik jest błędny.

> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij o czynniku \(\dfrac{1}{3}\) w objętości ostrosłupa - to częsty błąd przy przepisywaniu wzoru na walec (\(V = P_p \cdot h\)) do ostrosłupa.

**Odpowiedź:** \(V = \dfrac{512\sqrt{5}}{3}\).

### Sposób 1 - Trójkąt \(AOS\) prostokątny
Oznaczamy krawędź podstawy \(|AB| = a\) i wysokość \(|SO| = H\).

Przekątna podstawy \(|AC| = a\sqrt{2}\), więc \(|AO| = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}\).

W trójkącie prostokątnym \(AOS\) (kąt prosty przy \(O\)):
\[\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{|AO|}{|SO|} = \dfrac{\tfrac{a\sqrt{2}}{2}}{H} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2H}.\]
Z warunku \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{2}{\sqrt{5}}\):
\[\dfrac{a\sqrt{2}}{2H} = \dfrac{2}{\sqrt{5}} \Rightarrow a = \dfrac{4H}{\sqrt{10}}.\]

Z twierdzenia Pitagorasa w \(AOS\):
\[H^2 + \left(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 12^2,\]
\[H^2 + \dfrac{a^2}{2} = 144.\]

Podstawiamy \(a^2 = \dfrac{16H^2}{10} = \dfrac{8H^2}{5}\):
\[H^2 + \dfrac{4H^2}{5} = 144,\]
\[\dfrac{9H^2}{5} = 144,\]
\[H^2 = 80 \Rightarrow H = 4\sqrt{5}.\]

Stąd \(a = \dfrac{4\cdot 4\sqrt{5}}{\sqrt{10}} = \dfrac{16\sqrt{5}}{\sqrt{10}} = \dfrac{16}{\sqrt{2}} = 8\sqrt{2}\).

Objętość:
\[V = \dfrac{1}{3}a^2 H = \dfrac{1}{3}(8\sqrt{2})^2\cdot 4\sqrt{5} = \dfrac{1}{3}\cdot 128\cdot 4\sqrt{5} = \dfrac{512\sqrt{5}}{3}.\]

### Sposób 2 - Trygonometryczny (\(\sin\alpha, \cos\alpha\))
Z \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{2}{\sqrt{5}}\): \(\sin\alpha = \dfrac{2}{3}\), \(\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{5}}{3}\) (bo \(\sin^2 + \cos^2 = 1\)).

W trójkącie prostokątnym \(AOS\):
\[\sin\alpha = \dfrac{|AO|}{|SA|} = \dfrac{\tfrac{a\sqrt{2}}{2}}{12} = \dfrac{a\sqrt{2}}{24},\]
\[\cos\alpha = \dfrac{H}{12}.\]

Stąd:
\[\dfrac{a\sqrt{2}}{24} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow a = \dfrac{16}{\sqrt{2}} = 8\sqrt{2},\]
\[\dfrac{H}{12} = \dfrac{\sqrt{5}}{3} \Rightarrow H = 4\sqrt{5}.\]

\[V = \dfrac{1}{3}(8\sqrt{2})^2\cdot 4\sqrt{5} = \dfrac{1}{3}\cdot 128\cdot 4\sqrt{5} = \dfrac{512\sqrt{5}}{3}.\]

### Sposób 3 - Oznaczenia proporcjonalne
Niech \(|AO| = 2x\), \(|SO| = \sqrt{5}x\) (spełnia \(\operatorname{tg}\alpha = \tfrac{2x}{\sqrt{5}x} = \tfrac{2}{\sqrt{5}}\)).
Twierdzenie Pitagorasa: \((2x)^2 + (\sqrt{5}x)^2 = 12^2\), czyli \(4x^2 + 5x^2 = 144\), \(9x^2 = 144\), \(x = 4\).
Stąd \(|SO| = H = 4\sqrt{5}\), \(|AC| = 4x = 16\), \(a = \dfrac{|AC|}{\sqrt{2}} = \dfrac{16}{\sqrt{2}} = 8\sqrt{2}\).

\[V = \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{|AC|^2}{2}\cdot H = \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{256}{2}\cdot 4\sqrt{5} = \dfrac{1}{6}\cdot 256\cdot 4\sqrt{5} = \dfrac{512\sqrt{5}}{3}.\]

### Schemat punktowania CKE
- **1 pkt:** zapis zależności między \(a\) i \(H\) (np. \(\tfrac{a\sqrt{2}}{2H} = \tfrac{2}{\sqrt{5}}\)) lub twierdzenia Pitagorasa.
- **2 pkt:** dwa równania z niewiadomymi \(a\) i \(H\).
- **3 pkt:** wyznaczenie \(H = 4\sqrt{5}\) lub \(a = 8\sqrt{2}\) lub \(|AC| = 16\).
- **4 pkt:** obliczenie zarówno \(H\) jak i \(a\).
- **5 pkt:** obliczenie objętości \(V = \tfrac{512\sqrt{5}}{3}\).

**Trik:** w trójkącie prostokątnym z \(\operatorname{tg}\alpha = \tfrac{2}{\sqrt{5}}\) można wziąć \(|AO| = 2k\), \(|SO| = \sqrt{5}k\) - natychmiastowe rozwiązanie.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194/zad/34)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194%2Fzad%2F34)

## Podobne zadania

- [Zadanie 36](https://matura.lol/question/matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad/36) — Zadanie 36. (0-5) Podstawą graniastosłupa prostego 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 jest trójkąt równoramienny 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|, |𝐴𝐵| = 8. Wysokość trójkąta 𝐴𝐵𝐶, poprowadzona z 
- [Zadanie 34](https://matura.lol/question/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/34) — Zadanie 34. (0-5) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS, którego krawędź boczna ma długość 6 (zobacz rysunek). Ściana boczna tego ostrosłupa jest nac
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (5 pkt) Dany jest graniastosłup czworokątny prosty ABCDEFGH o podstawach ABCD i EFGH oraz krawędziach bocznych AE, BF, CG, DH. Podstawa ABCD granias
- [Zadanie 27](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/27) — Zadanie 27. (0-4) Odcinek 𝐴𝐷 jest wysokością walca, a odcinek 𝐴𝐵 jest średnicą podstawy walca. Odcinek 𝐵𝐷 ma długość 4√3. Miara kąta 𝐴𝐵𝐷 jest równa 30° (zobacz 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_