# Matematyka — zadanie 4

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194/zad/4
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Funkcje

## Treść

Zadanie 8. (0-1)
Rysunek przedstawia wykres funkcji f zbudowany z 6 odcinków, przy czym punkty
(
)
2, 1
B =
i
(
)
4, 1
C =
należą do wykresu funkcji.
Równanie
ma
A. dokładnie jedno rozwiązanie.
B. dokładnie dwa rozwiązania.
C. dokładnie trzy rozwiązania.
D. nieskończenie wiele rozwiązań.
( ) (
)
5 1
3
f x
m
x
1
5
m > -
5
1
m <
2
2
1
x
y
x
my

+

1
m = -
1
m =
1
2
m =
1
2
m = -
( )
1
f x = -
x
y
-3
-2 -1
5
0
-1
1
2
3
1
2
3
4
-4
-2
-3
B
C

MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

MMA_1P
Rozwiązanie zadania. Rysunek przedstawia wykres funkcji f zbudowany z 6 odcinków, przy czym punkty B=(2,-1) i C=(4,1) należą do wykresu funkcji. Równanie f(x)=1 ma A. dokładnie jedno rozwiązanie. B. dokładnie dwa rozwiązania. C dokładnie trzy rozwiązania. D. nieskończenie wiele rozwiązań.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: C

Dwa rozwiązania: \(x = -\dfrac{1}{5}\) i \(x = 1\).

## Sposób 1 - wyłączenie wspólnego czynnika

Kluczowa obserwacja: po prawej stronie równania stoi **ten sam czynnik** \((5x + 1)\), co w nawiasie po lewej. Można wyłączyć go przed nawias.

\[x(5x + 1) = 5x + 1\]

Przenosimy wszystko na lewą stronę:

\[x(5x + 1) - (5x + 1) = 0\]

Wyłączamy \((5x + 1)\) przed nawias:

\[(5x + 1)(x - 1) = 0\]

Iloczyn jest równy zero, gdy **jeden z czynników jest zerem**:

\[5x + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{1}{5}\]
\[x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1\]

**Równanie ma dwa rozwiązania:** \(x = -\dfrac{1}{5}\) i \(x = 1\).

## Sposób 2 - sprowadzenie do trójmianu kwadratowego

Rozwijamy lewą stronę:

\[x(5x + 1) = 5x + 1\]
\[5x^2 + x = 5x + 1\]
\[5x^2 + x - 5x - 1 = 0\]
\[5x^2 - 4x - 1 = 0\]

Wyznaczamy wyróżnik:

\[\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36\]

\[x_1 = \frac{4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{4 - 6}{10} = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5}\]

\[x_2 = \frac{4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{4 + 6}{10} = \frac{10}{10} = 1\]

**Ten sam wynik:** \(x = -\dfrac{1}{5}\) i \(x = 1\).

## Wzory z karty CKE

**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzór na miejsca zerowe:
\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad \Delta = b^2 - 4ac\]
Użyliśmy w Sposobie 2 do rozwiązania równania \(5x^2 - 4x - 1 = 0\).

W tym zadaniu **Sposób 1 jest szybszy i nie wymaga wzorów z karty** - wystarczy spostrzeżenie o wspólnym czynniku.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| A | Uczeń znajdzie tylko \(x = 1\), bo podzieli obie strony przez \((5x+1)\) - to **niedozwolone** (tracimy rozwiązanie \(5x + 1 = 0\)) |
| B | Uczeń wpisuje \(x = -1\) zamiast \(x = -\frac{1}{5}\) - myli wynik \(5x = -1\) z \(x = -1\) |
| D | Uczeń odwraca znak: zamiast \(-\frac{1}{5}\) wpisuje \(+\frac{1}{5}\), a zamiast \(+1\) wpisuje \(-1\) |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Nigdy nie dziel obu stron równania przez wyrażenie zawierające niewiadomą (tu: przez \(5x+1\))! Grozi to utratą rozwiązania. Zawsze przenoś wszystko na jedną stronę i rozkładaj na czynniki.

> ⚠️ **Uwaga:** Z \(5x = -1\) wynika \(x = -\frac{1}{5}\), a nie \(x = -5\) ani \(x = -1\). Dziel przez współczynnik przy \(x\), czyli przez 5.

> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź zawsze, ile rozwiązań ma równanie kwadratowe - sama delta mówi, że \(\Delta = 36 > 0\), więc muszą być **dwa** różne pierwiastki. Odpowiedź A (jedno rozwiązanie) jest wykluczona.

**Poprawna odpowiedź: C**

### Sposób 1 - Wyciągnięcie wspólnego czynnika
\[x(5x+1) - (5x+1) = 0 \iff (5x+1)(x-1) = 0.\]
Iloczyn równy \(0\) ⟺ \(5x+1 = 0\) lub \(x-1 = 0\).
Stąd \(x = -\dfrac{1}{5}\) lub \(x = 1\) - **dwa rozwiązania**.

### Sposób 2 - Sprawdzenie
- \(x = 1\): \(L = 1\cdot 6 = 6\), \(P = 6\) ✓
- \(x = -\tfrac{1}{5}\): \(L = -\tfrac{1}{5}\cdot 0 = 0\), \(P = 0\) ✓

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A.** Zapomniano o drugim rozwiązaniu \(x = -\tfrac{1}{5}\).
- **B, D.** Błędne rozwiązania - \(x = -1\) nie spełnia równania: \(L = -1\cdot(-4) = 4\), \(P = -4\).

**Uwaga - ważny błąd:** NIE WOLNO dzielić przez \(5x+1\) obu stron, bo gubimy rozwiązanie \(x = -\tfrac{1}{5}\)!

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** C

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194/zad/4)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194%2Fzad%2F4)

## Podobne zadania

- [Zadanie 11.3](https://matura.lol/question/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/11.3) — Zadanie 11.3. (0-2) Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Dziedziną funkcji 𝑓 jest przedział 
- [Zadanie 12.2](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/12.2) — Zadanie 12.2. (0-2) Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Zbiorem wartości funkcji 𝑓 jest prz
- [Zadanie 29](https://matura.lol/question/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/29) — Zadanie 29. (0-2) Dana jest funkcja 𝑦= 𝑓(𝑥), której wykres przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) na rysunku obok. Funkcje 𝑔 oraz ℎ są okre
- [Zadanie 20](https://matura.lol/question/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/20) — Zadanie 20. (0-2) Dana jest funkcja 𝑦= 𝑓(𝑥), której wykres przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) na rysunku obok. Ta funkcja jest określon

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_