# Matematyka — zadanie 5

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194/zad/5
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: open
- działy: Układy równań, parametr

## Treść

Para liczb \(x = 3\) i \(y = 1\) jest rozwiązaniem układu równań \(\begin{cases} -x + 12y = a^{2} \\ 2x + ay = 9 \end{cases}\) dla

A. \(a = \dfrac{7}{3}\)
B. \(a = -3\)
C. \(a = 3\)
D. \(a = -\dfrac{7}{3}\)

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: C

## Sposób 1 - Podstawienie do obu równań i wyznaczenie \(a\)

**Skoro \(x = 3, y = 1\) jest rozwiązaniem układu**, to po podstawieniu obu wartości do każdego równania muszą zachodzić tożsamości.

**Równanie pierwsze:**
\[-x + 12y = a^2\]
\[-(3) + 12 \cdot 1 = a^2\]
\[-3 + 12 = a^2\]
\[a^2 = 9\]

Stąd: \(a = 3\) lub \(a = -3\).

**Równanie drugie:**
\[2x + ay = 9\]
\[2 \cdot 3 + a \cdot 1 = 9\]
\[6 + a = 9\]
\[a = 3\]

**Oba równania muszą być spełnione jednocześnie.** Z pierwszego równania \(a \in \{-3, 3\}\), z drugiego jednoznacznie \(a = 3\).

Zatem \(\mathbf{a = 3}\).

## Sposób 2 - Weryfikacja: sprawdzenie układu dla \(a = 3\)

Podstawiamy \(a = 3\), \(x = 3\), \(y = 1\) do całego układu:

\[\begin{cases} -3 + 12 \cdot 1 = 3^2 \\ 2 \cdot 3 + 3 \cdot 1 = 9 \end{cases}\]

\[\begin{cases} 9 = 9 \checkmark \\ 9 = 9 \checkmark \end{cases}\]

Oba równania są prawdziwe - **wynik \(a = 3\) jest poprawny**.

Dla porównania, gdyby \(a = -3\):

Pierwsze równanie: \(-3 + 12 = (-3)^2 = 9\) ✓ - spełnione.

Drugie równanie: \(6 + (-3) \cdot 1 = 3 \neq 9\) ✗ - **niespełnione**.

Zatem \(a = -3\) odpada.

## Wzory z karty CKE

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy umiejętność podstawiania wartości do równań i rozwiązywania prostego równania liniowego oraz kwadratowego \(a^2 = 9\).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| A: \(a = \frac{7}{3}\) | Brak sensu - nie wynika z żadnego równania po podstawieniu. Możliwy błąd przy niepoprawnym działaniu na liczbach. |
| B: \(a = -3\) | Spełnia **tylko** pierwsze równanie (\(a^2 = 9\)), ale nie spełnia drugiego (\(6 + (-3) = 3 \neq 9\)). Uczeń zatrzymał się za wcześnie! |
| D: \(a = -\frac{7}{3}\) | Jw. - nie wynika z żadnego równania. Brak powiązania z zadaniem. |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Z pierwszego równania dostajemy \(a^2 = 9\), czyli **dwie możliwości**: \(a = 3\) lub \(a = -3\). Odpowiedź B (\(a = -3\)) to klasyczna pułapka - trzeba zawsze sprawdzić **oba równania**!

> ⚠️ **Uwaga:** W zadaniach z układem równań z parametrem musisz podstawić dane rozwiązanie do **każdego** równania z osobna i zebrać warunki. Jeden wynik musi pasować do wszystkich równań jednocześnie.

> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić: tu \(a\) to **parametr** (stała, którą szukamy), a nie zmienna układu. Zmiennymi są \(x\) i \(y\) - one są dane!

**Poprawna odpowiedź: C**

### Sposób 1 - Podstawienie \((3, 1)\) do obu równań
I: \(-3 + 12 = a^2 \Rightarrow a^2 = 9 \Rightarrow a = \pm 3\).
II: \(6 + a = 9 \Rightarrow a = 3\).
Oba równania spełnione tylko gdy \(a = 3\).

### Sposób 2 - Weryfikacja dla \(a = 3\)
I: \(-3 + 12 = 9 = 3^2\) ✓
II: \(6 + 3 = 9\) ✓

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(\tfrac{7}{3}\)**: II: \(6 + \tfrac{7}{3} \ne 9\).
- **B. \(-3\)**: I: \((-3)^2 = 9\) ✓, ale II: \(6 - 3 = 3 \ne 9\) ✗.
- **D. \(-\tfrac{7}{3}\)**: oba równania niespełnione.

**Pułapka:** rozwiązanie z pierwszego daje dwie wartości, trzeba sprawdzić w drugim.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194/zad/5)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194%2Fzad%2F5)

## Podobne zadania

- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2009-styczen-probna-podstawowa/zad/12) — Zadanie 12. (4 pkt) W pewnej klasie liczba dziewcząt stanowi % 60 liczby osób w tej klasie. Gdy 6 dziewcząt wyjechało na mecz siatkówki, w klasie pozostało tyle
- [Zadanie 3](https://matura.lol/question/matematyka-2008-marzec-probna-podstawowa-2/zad/3) — Zadanie 3. (4 pkt) Suma dwóch liczb jest równa 7 , a ich różnica 3 . Oblicz iloczyn tych liczb. Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Poziom podstawowy 5
- [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2018-grudzien-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/20) — Zadanie 20. (0-3) W wyborach na przewodniczącego klasy kandydowało troje uczniów: Jacek, Helena i Grzegorz. Każdy uczeń tej klasy oddał jeden ważny głos. Jacek 
- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/6) — Zadanie 6. (0-1) W parku miejskim rosną drzewa iglaste i drzewa liściaste. Wszystkich drzew łącznie jest 198. Gdyby w tym parku rosło o 18 drzew iglastych więce

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_