# Matematyka — zadanie 6 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194/zad/6 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2019 (podstawowa) - rok: 2019 - poziom: podstawowa - typ: closed - działy: Funkcje ## Treść Zadanie 8. (0-1) Rysunek przedstawia wykres funkcji f zbudowany z 6 odcinków, przy czym punkty ( ) 2, 1 B = i ( ) 4, 1 C = należą do wykresu funkcji. Równanie ma A. dokładnie jedno rozwiązanie. B. dokładnie dwa rozwiązania. C. dokładnie trzy rozwiązania. D. nieskończenie wiele rozwiązań. ( ) ( ) 5 1 3 f x m x 1 5 m > - 5 1 m < 2 2 1 x y x my  +  1 m = - 1 m = 1 2 m = 1 2 m = - ( ) 1 f x = - x y -3 -2 -1 5 0 -1 1 2 3 1 2 3 4 -4 -2 -3 B C MMA_1P BRUDNOPIS (nie podlega ocenie) MMA_1P Rozwiązanie zadania. Rysunek przedstawia wykres funkcji f zbudowany z 6 odcinków, przy czym punkty B=(2,-1) i C=(4,1) należą do wykresu funkcji. Równanie f(x)=1 ma A. dokładnie jedno rozwiązanie. B. dokładnie dwa rozwiązania. C dokładnie trzy rozwiązania. D. nieskończenie wiele rozwiązań. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: C - dwa rozwiązania: \(x = 2\), \(x = -4\) ## Sposób 1 - Warunek zerowania się ułamka Ułamek jest równy zero **wtedy i tylko wtedy**, gdy: 1. **Licznik = 0** - to daje rozwiązania kandydujące 2. **Mianownik ≠ 0** - to eliminuje wartości, dla których wyrażenie jest niezdefiniowane **Krok 1: Wyznaczamy dziedzinę.** Mianownik nie może być zerem: \[(x-4)^2 \neq 0 \implies x \neq 4\] Dziedzina: \(x \in \mathbb{R} \setminus \{4\}\) **Krok 2: Przyrównujemy licznik do zera.** \[(x-2)(x+4) = 0\] Iloczyn jest zerem, gdy jeden z czynników jest zerem: \[x - 2 = 0 \implies x = 2\] \[x + 4 = 0 \implies x = -4\] **Krok 3: Sprawdzamy, czy kandydaci należą do dziedziny.** - \(x = 2\): \(2 \neq 4\) ✓ - należy do dziedziny - \(x = -4\): \(-4 \neq 4\) ✓ - należy do dziedziny **Oba rozwiązania są poprawne: \(x = 2\) i \(x = -4\).** ## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie Sprawdzamy oba wyniki bezpośrednio w równaniu \(\dfrac{(x-2)(x+4)}{(x-4)^2} = 0\): **Dla \(x = 2\):** \[\frac{(2-2)(2+4)}{(2-4)^2} = \frac{0 \cdot 6}{(-2)^2} = \frac{0}{4} = 0 \checkmark\] **Dla \(x = -4\):** \[\frac{(-4-2)(-4+4)}{(-4-4)^2} = \frac{(-6) \cdot 0}{(-8)^2} = \frac{0}{64} = 0 \checkmark\] **Dla \(x = 4\) (sprawdzamy, że NIE jest rozwiązaniem):** \[\frac{(4-2)(4+4)}{(4-4)^2} = \frac{2 \cdot 8}{0} = \frac{16}{0} \implies \text{wyrażenie niezdefiniowane!}\] Obydwa rozwiązania potwierdzone. Odpowiedź C. ## Wzory z karty CKE W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja ułamka algebraicznego i podstawowe działania (iloczyn czynników liniowych). ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Błąd | | A | Uczeń znalazł tylko \(x = 2\) (np. rozwiązał tylko \(x - 2 = 0\) i zapomniał o drugim czynniku licznika) | | B | Uczeń pomylił \(x + 4 = 0\) z \(x = 2\) albo błędnie "upraszczał" ułamek odczytując \(-2\) z mianownika \((x-4)^2 \to x = \pm 2\)? | | D | Uczeń wziął \(x = -2\) (błąd znaku przy \(x+4=0\)) i \(x = 4\) (zrównał mianownik do zera zamiast licznik) - **to najgroźniejsza pułapka** | ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Mianownik = 0 to **wykluczenie** z dziedziny, NIE rozwiązanie! \(x = 4\) sprawia, że ułamek jest niezdefiniowany - uczniowie mylą "wyrażenie niezdefiniowane" z "wyrażenie = 0". > ⚠️ **Uwaga:** \(x + 4 = 0\) daje \(x = -4\), nie \(x = 4\). Znak minus przy zamianie strony to klasyczny błąd rachunkowy pod presją czasu. > ⚠️ **Uwaga:** \((x-4)^2\) jest zawsze nieujemny i wynosi zero **tylko** dla \(x = 4\). Nawet jeśli wygląda "groźnie", nie generuje dodatkowych rozwiązań. **Poprawna odpowiedź: C** ### Sposób 1 - Dziedzina + licznik = 0 **Dziedzina:** \((x-4)^2 \ne 0 \iff x \ne 4\). Równanie \(\tfrac{L}{M} = 0 \iff L = 0\) (przy \(M \ne 0\)): \[(x-2)(x+4) = 0 \iff x = 2 \lor x = -4.\] Oba w dziedzinie → **dwa rozwiązania**. ### Sposób 2 - Sprawdzenie - \(x = 2\): \(\tfrac{0\cdot 6}{(-2)^2} = \tfrac{0}{4} = 0\) ✓ - \(x = -4\): \(\tfrac{(-6)\cdot 0}{(-8)^2} = \tfrac{0}{64} = 0\) ✓ ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **A.** Pominięto \(x = -4\). - **B.** Błędne pierwiastki. - **D.** \(x = 4\) łamie dziedzinę (mianownik = 0); brak \(x = -4\). **Pamiętaj:** ułamek = 0 ⟺ licznik = 0 **i** mianownik \(\ne 0\). ## Odpowiedź **Odpowiedź:** C _Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._ ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194/zad/6) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194%2Fzad%2F6) ## Podobne zadania - [Zadanie 11.3](https://matura.lol/question/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/11.3) — Zadanie 11.3. (0-2) Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Dziedziną funkcji 𝑓 jest przedział - [Zadanie 12.2](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/12.2) — Zadanie 12.2. (0-2) Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Zbiorem wartości funkcji 𝑓 jest prz - [Zadanie 29](https://matura.lol/question/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/29) — Zadanie 29. (0-2) Dana jest funkcja 𝑦= 𝑓(𝑥), której wykres przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) na rysunku obok. Funkcje 𝑔 oraz ℎ są okre - [Zadanie 20](https://matura.lol/question/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/20) — Zadanie 20. (0-2) Dana jest funkcja 𝑦= 𝑓(𝑥), której wykres przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) na rysunku obok. Ta funkcja jest określon _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_