# Matematyka — zadanie 7

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194/zad/7
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Funkcje, funkcja kwadratowa

## Treść

Zadanie 7. (0-1)
Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej f określonej wzorem
( )
(
)
2
9
3
f x
x
są liczby
A. 0 oraz 3
B. 6 oraz 6
C. 0 oraz
6
D. 0 oraz 6
Rozwiązanie zadania. Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej f określonej wzorami f(x)=9-(3-x)² są liczby A. 0 oraz 3 B. -6 oraz 6 C. 0 oraz -6 D. 0 oraz 6

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: D

Miejsca zerowe funkcji \(f(x) = 9 - (3-x)^2\) to \(0\) oraz \(6\).

## Sposób 1 - Rozłożenie na czynniki (różnica kwadratów)

Zauważamy, że wyrażenie \(9 - (3-x)^2\) ma postać \(a^2 - b^2\), gdzie \(a = 3\) i \(b = (3-x)\).

Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów:
\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\]

Zatem:
\[f(x) = 9 - (3-x)^2 = 3^2 - (3-x)^2 = \big(3-(3-x)\big)\big(3+(3-x)\big)\]

Upraszczamy każdy nawias:
\[3-(3-x) = 3 - 3 + x = x\]
\[3+(3-x) = 3 + 3 - x = 6 - x\]

Zatem:
\[f(x) = x \cdot (6-x)\]

Miejsca zerowe - przyrównujemy do zera:
\[x \cdot (6 - x) = 0\]
\[x = 0 \quad \text{lub} \quad 6 - x = 0\]
\[x = 0 \quad \text{lub} \quad x = 6\]

**Miejsca zerowe: \(x_1 = 0\) i \(x_2 = 6\).**

## Sposób 2 - Bezpośrednie przyrównanie do zera (z rozwinięciem nawiasu)

Rozwijamy \((3-x)^2\) korzystając ze wzoru \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\):
\[(3-x)^2 = 9 - 6x + x^2\]

Podstawiamy do wzoru funkcji:
\[f(x) = 9 - (9 - 6x + x^2) = 9 - 9 + 6x - x^2 = 6x - x^2\]

Przyrównujemy do zera:
\[6x - x^2 = 0\]

Wyciągamy \(x\) przed nawias:
\[x(6 - x) = 0\]

Stąd:
\[x = 0 \quad \text{lub} \quad x = 6\]

**Wynik zgodny z Metodą 1: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 6\).**

## Wzory z karty CKE

**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - różnica kwadratów:
\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\]
Kluczowy wzór w Sposobie 1 - pozwolił od razu rozłożyć \(9 - (3-x)^2\) na iloczyn czynników liniowych bez żmudnego rozwijania.

**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - kwadrat różnicy:
\[(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\]
Użyty w Sposobie 2 do rozwinięcia \((3-x)^2\).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odpowiedź | Typowy błąd |
| **A.** \(0\) oraz \(3\) | Uczeń myli miejsce zerowe z wierzchołkiem. Wierzchołek paraboli \(f(x) = -(x-3)^2 + 9\) ma odciętą \(x = 3\), ale to **nie** jest miejsce zerowe - tam \(f(3) = 9 \neq 0\). |
| **B.** \(-6\) oraz \(6\) | Uczeń rozwiązuje \((3-x)^2 = 9\) poprawnie (dostaje \(3-x = \pm 3\)), ale potem błędnie liczy: \(3 - x = -3 \Rightarrow x = 6\) ✓, natomiast \(3-x = 3 \Rightarrow x = 0\) - zamiast tego wpisuje \(x = -6\) (nie wykonuje odejmowania od 3, lecz zmienia znak). |
| **C.** \(0\) oraz \(-6\) | Uczeń poprawnie находит \(x_1 = 0\), ale dla drugiego rozwiązania zamiast \(6 - x = 0 \Rightarrow x = 6\) zapisuje \(x = -6\) - myli kierunek (zapomina, że \(6-x=0\) daje \(x=+6\), nie \(-6\)). |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić miejsca zerowego z wierzchołkiem paraboli! Tutaj wierzchołek jest w punkcie \((3, 9)\) - widać to z postaci kanonicznej \(f(x) = -(x-3)^2 + 9\). Wierzchołek to maximum funkcji, nie miejsce zerowe.

> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozwiązywaniu \((3-x)^2 = 9\) pamiętaj o **dwóch** przypadkach: \(3 - x = 3\) oraz \(3 - x = -3\). Pominięcie jednego z nich daje tylko jedno miejsce zerowe.

> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdzaj podstawiając! Dla \(x = 0\): \(f(0) = 9 - 9 = 0\) ✓. Dla \(x = 6\): \(f(6) = 9 - (3-6)^2 = 9 - 9 = 0\) ✓. Szybka weryfikacja eliminuje błędy rachunkowe.

**Poprawna odpowiedź: D**

### Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia \(a^2 - b^2\)
\[f(x) = 3^2 - (3-x)^2 = (3-(3-x))(3+(3-x)) = x(6-x).\]
\(f(x) = 0 \iff x = 0 \lor x = 6\).

### Sposób 2 - Rozwinięcie
\(f(x) = 9 - (9 - 6x + x^2) = 6x - x^2 = x(6-x)\).
Miejsca zerowe: \(x = 0\) lub \(x = 6\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(0, 3\)** - błędnie rozwiązano \((3-x)^2 = 9\) tylko dla \(3-x = 3\).
- **B. \(-6, 6\)** - pomylono postać iloczynową.
- **C. \(0, -6\)** - błąd znaku.

**Sprawdzenie:** \(f(0) = 9 - 9 = 0\) ✓, \(f(6) = 9 - 9 = 0\) ✓.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** D

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194/zad/7)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194%2Fzad%2F7)

## Podobne zadania

- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2003-styczen-probna-podstawowa/zad/4) — Zadanie 4. (4 pkt) Równanie postaci 9 160 9 5 ⋅ F C ( ) C , ustala zależność między temperaturą, wyrażoną w stopniach Celsjusza oraz Fahrenheita ( ) F a) Oblicz
- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa/zad/6) — Zadanie 6. (3 pkt) Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie rzeczywistej iloczyn tej liczby przez liczbę o 3 od niej mniejszą. a. Podaj wzór funkcji f b. Zbada
- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad/6) — Zadanie 6. (3 pkt) Jeżeli x 1= 2, x 2 = 3 i x 3= -1 są miejscami zerowymi wielomianu d cx bx ax x W 2 3 ) ( , gdzie 0 ≠ a oraz 2 ) 4 ( W , to współczynnik a moż
- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (0-2) W chwili początkowej (𝑡= 0) filiżanka z gorącą kawą znajduje się w pokoju, a temperatura tej kawy jest równa 80 °C. Temperatura w pokoju (tempe

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_