# Matematyka — zadanie 8

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194/zad/8
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Funkcje

## Treść

Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(g\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W = (1, 1)\).

Zbiorem wartości funkcji \(g\) jest przedział

/matma-quiz/images/cke/MMA-P1_1P-194/z8.png

przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej g . Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (1,1) . y 4 3 2 W 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 Zbiorem wartości funkcji g jest przedział

A. \((-\infty, 0\rangle\)
B. \(\langle 0, 2\rangle\)
C. \(\langle 1, +\infty)\)
D. \((-\infty, 1\rangle\)

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: D

Zbiorem wartości funkcji \(g\) jest przedział \((-\infty, 1\rangle\).

## Sposób 1 - Wierzchołek i kierunek ramion

Funkcja kwadratowa z ramionami skierowanymi **w dół** osiąga **maksimum** w wierzchołku - i od tego maksimum wartości już tylko maleją.

**Krok 1.** Wierzchołek paraboli to \(W = (1, 1)\), więc wierzchołek leży na wysokości \(y = 1\).

**Krok 2.** Ramiona są skierowane **w dół**, co oznacza \(a < 0\), czyli parabola otwiera się ku dołowi.

**Krok 3.** Dla paraboli z ramionami w dół:
- funkcja rośnie do wierzchołka, a potem maleje,
- **maksymalna wartość** funkcji to wartość w wierzchołku: \(g(1) = 1\),
- nie ma wartości minimalnej - parabola schodzi do \(-\infty\).

**Krok 4.** Zatem zbiór wartości to:
\[\mathbb{Z}_g = (-\infty, 1\rangle\]

Wartość \(1\) jest osiągana (w wierzchołku), stąd przedział **domknięty** od prawej.

## Sposób 2 - Wyznaczenie wzoru funkcji i zbioru wartości

Skoro znamy dwa miejsca zerowe: \(x_1 = 0\) i \(x_2 = 2\), możemy zapisać funkcję w postaci iloczynowej.

**Krok 1.** Postać iloczynowa:
\[g(x) = a(x - 0)(x - 2) = a \cdot x(x-2)\]

**Krok 2.** Podstawiamy wierzchołek \(W = (1, 1)\), czyli \(g(1) = 1\):
\[a \cdot 1 \cdot (1 - 2) = 1\]
\[a \cdot (-1) = 1\]
\[a = -1\]

**Krok 3.** Wzór funkcji:
\[g(x) = -x(x-2) = -x^2 + 2x\]

Sprawdzamy \(a = -1 < 0\) - ramiona w dół. ✓

**Krok 4.** Postać kanoniczna (dla wyznaczenia wierzchołka):
\[g(x) = -(x^2 - 2x) = -[(x-1)^2 - 1] = -(x-1)^2 + 1\]

Wartość \(-(x-1)^2 \leq 0\) dla każdego \(x\), więc:
\[g(x) = -(x-1)^2 + 1 \leq 1\]

Maksimum \(g(x) = 1\) jest osiągane dla \(x = 1\), a wartości mogą być dowolnie ujemne.

**Zbiór wartości:**
\[\mathbb{Z}_g = (-\infty, 1\rangle\]

## Wzory z karty CKE

**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać kanoniczna:
\[f(x) = a(x-p)^2 + q\]
gdzie \(W = (p, q)\) to wierzchołek paraboli. Użyliśmy tego do odczytania, że maksymalna wartość funkcji wynosi \(q = 1\).

**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać iloczynowa:
\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\]
Użyliśmy tego w Sposobie 2, korzystając ze znanych miejsc zerowych \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| A \((-\infty, 0\rangle\) | Uczeń myli wartość \(y\) w wierzchołku z miejscami zerowymi - parabola przecina oś \(Ox\) w \(0\) i \(2\), ale to argumenty, nie wartości funkcji. Maksimum jest w \(y = 1\), nie \(y = 0\). |
| B \(\langle 0, 2\rangle\) | Uczeń przepisuje miejsca zerowe \((0, 2)\) jako zbiór wartości. Mylenie osi - miejsca zerowe to wartości **argumentu** \(x\), nie **wartości funkcji** \(y\). |
| C \(\langle 1, +\infty)\) | Uczeń poprawnie zauważa wierzchołek \(y = 1\), ale błędnie przyjmuje, że ramiona w **dół** oznaczają wartości rosnące od wierzchołka ku \(+\infty\). To prawda dla ramion w **górę** (minimum). |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Miejsca zerowe to wartości **argumentu** \(x\) (gdzie parabola przecina oś \(Ox\)), a nie wartości funkcji \(y\). Nie wpisuj ich jako zbiór wartości!

> ⚠️ **Uwaga:** Kierunek ramion decyduje o typie ekstremum - ramiona **w dół** (\(a < 0\)) → **maksimum** w wierzchołku → zbiór wartości to \((-\infty, q\rangle\). Ramiona **w górę** (\(a > 0\)) → **minimum** → zbiór wartości to \(\langle q, +\infty)\).

> ⚠️ **Uwaga:** Przedział jest **domknięty** od strony wierzchołka (piszemy \(\langle\) lub \(\rangle\)), bo wartość w wierzchołku jest **osiągana** przez funkcję.

**Poprawna odpowiedź: D**

### Sposób 1 - Analiza paraboli
Parabola ma wierzchołek \(W = (1, 1)\). Z rysunku ramiona są skierowane w dół (\(a < 0\)), więc \(y = 1\) to **maksimum** funkcji.

Zbiór wartości: \(y \le 1\), czyli \((-\infty, 1\rangle\).

### Sposób 2 - Postać kanoniczna
\(g(x) = a(x-1)^2 + 1\), gdzie \(a < 0\) (ramiona w dół).
Maksymalna wartość \(= 1\) (w wierzchołku), pozostałe wartości są mniejsze.
Zbiór wartości \(= (-\infty, 1\rangle\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \((-\infty, 0\rangle\)** - pomyłka z miejscem zerowym.
- **B. \(\langle 0, 2\rangle\)** - to miejsca zerowe, nie zbiór wartości.
- **C. \(\langle 1, +\infty)\)** - odwrotnie, byłoby dla ramion w górę.

**Zapamiętaj:** ramiona w dół → zbiór wartości \((-\infty, y_W\rangle\).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** D

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194/zad/8)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194%2Fzad%2F8)

## Podobne zadania

- [Zadanie 27.2](https://matura.lol/question/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/27.2) — Zadanie 27.2. (0-1) Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych. Funkcja 𝑓 jest malejąca w przedziale A. [-5, -3] B. [3, 8] C. [0, 6] D. [-3, 3]
- [Zadanie 15.2](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/15.2) — Zadanie 15.2. (0-1) Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Wykres funkcji 𝑓 przecin
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (0-1) Funkcja liniowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥+ 𝑏, gdzie 𝑎 i 𝑏 są pewnymi liczbami rzeczywistymi. Na rysunku obok przedstawiono fragment wy
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-emap-p0-100-2305/zad/10) — Zadanie 10. (0-1) Funkcja liniowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥+ 𝑏, gdzie 𝑎 i 𝑏 są pewnymi liczbami rzeczywistymi. Na rysunku obok przedstawiono fragment wy

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_