# Matematyka — zadanie 9 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194/zad/9 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2019 (podstawowa) - rok: 2019 - poziom: podstawowa - typ: closed - działy: Liczby rzeczywiste ## Treść Liczbą większą od 5 jest -1 -1 2 1 A. \(\left(\dfrac{1}{25}\right)^{-\tfrac{1}{2}}\) B. \(\left(\dfrac{1}{25}\right)^{-\tfrac{1}{5}}\) C. \(125^{\tfrac{2}{3}}\) D. \(125^{\tfrac{1}{3}}\) ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: C \(125^{\frac{2}{3}} = 25\) - jedyna liczba większa od \(5\). ## Sposób 1 - obliczenie każdej opcji wprost Sprawdzamy wartość każdej odpowiedzi krok po kroku. **Odpowiedź A:** \(\left(\dfrac{1}{25}\right)^{-\frac{1}{2}}\) Ujemny wykładnik odwraca podstawę: \[\left(\frac{1}{25}\right)^{-\frac{1}{2}} = 25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5\] Wynik: \(5\) - **nie** większy od \(5\). **Odpowiedź B:** \(\left(\dfrac{1}{25}\right)^{-\frac{1}{5}}\) \[\left(\frac{1}{25}\right)^{-\frac{1}{5}} = 25^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{25}\] Szacujemy: \(\sqrt[5]{25} < \sqrt[5]{32} = 2\), więc wynik jest zdecydowanie mniejszy od \(5\). Wynik: \(\approx 1{,}9\) - **nie** większy od \(5\). **Odpowiedź C:** \(125^{\frac{2}{3}}\) Wykładnik \(\frac{2}{3}\) oznacza: pierwiastek sześcienny, potem kwadrat (lub odwrotnie): \[125^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{125}\right)^2 = 5^2 = 25\] Wynik: \(25\) - **tak**, \(25 > 5\). ✓ **Odpowiedź D:** \(125^{\frac{1}{3}}\) \[125^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{125} = 5\] Wynik: \(5\) - **nie** większy od \(5\). **Zatem jedyna liczba większa od \(5\) to \(25\), czyli odpowiedź C.** ## Sposób 2 - porównanie przez sprowadzenie do potęg liczby 5 Każdą wyrażenie sprowadzamy do postaci \(5^k\) i sprawdzamy, czy \(k > 1\). \[A: \quad 25^{\frac{1}{2}} = (5^2)^{\frac{1}{2}} = 5^{2 \cdot \frac{1}{2}} = 5^1 = 5\] \[B: \quad 25^{\frac{1}{5}} = (5^2)^{\frac{1}{5}} = 5^{\frac{2}{5}} \approx 5^{0{,}4} < 5^1\] \[C: \quad 125^{\frac{2}{3}} = (5^3)^{\frac{2}{3}} = 5^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 5^2 = 25 > 5 \quad \checkmark\] \[D: \quad 125^{\frac{1}{3}} = (5^3)^{\frac{1}{3}} = 5^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 5^1 = 5\] **Tylko w C wykładnik końcowy jest większy od \(1\), więc tylko \(5^2 = 25 > 5\).** ## Wzory z karty CKE **Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** Wzór na potęgę wymierną: \[a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m\] Użyliśmy tego w obu sposobach, przeliczając \(125^{\frac{2}{3}}\) i pozostałe wyrażenia. Wzór na ujemny wykładnik: \[a^{-n} = \frac{1}{a^n}\] Użyliśmy w odpowiedzi A i B - odwracanie ułamka przy ujemnym wykładniku. Wzór na potęgę potęgi: \[(a^r)^s = a^{r \cdot s}\] Kluczowy w Sposobie 2 - pozwolił sprowadzić wszystko do potęg liczby \(5\). ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Obliczenie | Błąd który do tego prowadzi | | A | \(\left(\frac{1}{25}\right)^{-\frac{1}{2}} = 5\) | Poprawne obliczenie - ale \(5 = 5\), więc **nie jest większa** od \(5\). Błąd: przeoczenie warunku "większa" (nie "większa lub równa") | | B | \(\left(\frac{1}{25}\right)^{-\frac{1}{5}} \approx 1{,}9\) | Mylenie \(-\frac{1}{5}\) z \(-\frac{1}{2}\), albo nieumiejętne oszacowanie \(\sqrt[5]{25}\) | | D | \(125^{\frac{1}{3}} = 5\) | Poprawne obliczenie - ale znów \(5 = 5\), **nie jest większa** od \(5\). Pułapka: wynik "ładny" (dokładnie 5), ale nierówność ostra | ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Warunek to "większa od 5", nie "większa lub równa 5". Odpowiedzi A i D dają dokładnie \(5\) - to **eliminuje** te opcje. Wiele osób zatrzymuje się po obliczeniu i nie sprawdza nierówności. > ⚠️ **Uwaga:** Przy \(a^{\frac{m}{n}}\) zawsze najpierw sprawdź, czy podstawa jest pełną potęgą - tu \(125 = 5^3\) i \(25 = 5^2\). Sprowadzenie do potęg jednej liczby bardzo upraszcza obliczenia. > ⚠️ **Uwaga:** Ujemny wykładnik przy ułamku: \(\left(\frac{1}{a}\right)^{-k} = a^k\) - odwrócenie ułamka i zamiana znaku wykładnika to jeden krok, nie dwa osobne. **Poprawna odpowiedź: C** ### Sposób 1 - Obliczenia każdej opcji - **A.** \(\left(\tfrac{1}{25}\right)^{-1/2} = 25^{1/2} = 5\) - **równa** 5, nie większa. - **B.** \(\left(\tfrac{1}{25}\right)^{-1/5} = 25^{1/5} = 5^{2/5} < 5\). - **C.** \(125^{2/3} = (5^3)^{2/3} = 5^2 = 25 > 5\) ✓ - **D.** \(125^{1/3} = \sqrt[3]{125} = 5\) - równa 5. ### Sposób 2 - Zamiana na potęgi \(5\) \(25 = 5^2\), \(125 = 5^3\). Porównujemy z \(5 = 5^1\): - A: \(5^1\), B: \(5^{2/5} \approx 5^{0{,}4}\), C: \(5^2\), D: \(5^1\). Tylko wykładnik C jest \(> 1\). ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne A i D są dokładnie równe 5 (nie większe), B jest mniejsza niż 5. **Technika:** sprowadź do wspólnej podstawy i porównaj wykładniki. ## Odpowiedź **Odpowiedź:** C _Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._ ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194/zad/9) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-194%2Fzad%2F9) ## Podobne zadania - [Zadanie 21](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/21) — Zadanie 21. (0-3) Pani Maria w 2015 roku łącznie zarobiła 43 740 zł. W każdym miesiącu od stycznia do września włącznie otrzymywała pensję tej samej wysokości. - [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (3 pkt) Niech 4 log7 a Wyznacz 49 log 2 w zależności od a. Poziom rozszerzony MMA_1R Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 1. Maks. liczba pkt 3 - [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2008-marzec-probna-podstawowa/zad/4) — Zadanie 4. (3 pkt) Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b określamy liczby aDb i a∗b w następujący sposób: aDb = liczba nie mniejsza spośród liczb a i b, a∗b = - [Zadanie 2](https://matura.lol/question/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/2) — Zadanie 2. (0-2) Pensja pana X jest o 50% wyższa od średniej krajowej, a pensja pana Y jest o 40% niższa od średniej krajowej. Dokończ zdania. Zaznacz odpowiedź _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_