# Matematyka — zadanie 1

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1a1p-061/zad/1
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2006 (podstawowa)
- rok: 2006
- poziom: podstawowa
- typ: open
- działy: Liczby rzeczywiste, liczby

## Treść

Dane są liczby: \(a = \frac{3\sqrt{3} - 4}{1 + 2\sqrt{3}}\) i \(b = \sqrt{27} \cdot \frac{\left(\frac{1}{3}\right)^{5}}{3^{-5}}\). a) Przedstaw liczbę \(a\) w postaci \(x + y\sqrt{3}\), gdzie \(x\) i \(y\) są liczbami wymiernymi. b) Zapisz liczbę \(b\) w postaci potęgi liczby 3 o wykładniku ułamkowym. c) Suma liczb \(a\) i \(b\) stanowi 80% pewnej liczby \(c\). Wyznacz liczbę \(c\).

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź:

**a)** \(a = 2 - \sqrt{3}\), czyli \(x = 2\), \(y = -1\)

**b)** \(b = 3^{\frac{1}{2}}\)

**c)** \(c = 2{,}5\)

## Sposób 1 - Mnożenie przez sprzężenie (część a) + potęgowanie (część b)

### Część a)

Chcemy pozbyć się \(\sqrt{3}\) z mianownika \(1 + 2\sqrt{3}\). Mnożymy licznik i mianownik przez **wyrażenie sprzężone** \((1 - 2\sqrt{3})\):

\[
a = \frac{3\sqrt{3}-4}{1+2\sqrt{3}} \cdot \frac{1-2\sqrt{3}}{1-2\sqrt{3}}
\]

**Mianownik** (wzór na różnicę kwadratów \((A+B)(A-B) = A^2 - B^2\)):
\[
(1+2\sqrt{3})(1-2\sqrt{3}) = 1^2 - (2\sqrt{3})^2 = 1 - 4 \cdot 3 = 1 - 12 = -11
\]

**Licznik** (mnożymy skrupulatnie, pamiętając \(\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3\)):
\[
(3\sqrt{3}-4)(1-2\sqrt{3})
= 3\sqrt{3} \cdot 1 + 3\sqrt{3} \cdot (-2\sqrt{3}) + (-4) \cdot 1 + (-4) \cdot (-2\sqrt{3})
\]
\[
= 3\sqrt{3} - 6 \cdot 3 - 4 + 8\sqrt{3}
= 3\sqrt{3} - 18 - 4 + 8\sqrt{3}
= 11\sqrt{3} - 22
\]

Zatem:
\[
a = \frac{11\sqrt{3} - 22}{-11} = \frac{11(\sqrt{3} - 2)}{-11} = -(\sqrt{3} - 2) = \mathbf{2 - \sqrt{3}}
\]

### Część b)

Zapisujemy każdy czynnik jako potęgę liczby 3:

\[
\sqrt{27} = \sqrt{3^3} = 3^{\frac{3}{2}}
\]
\[
\left(\frac{1}{9}\right)^3 = \left(\frac{1}{3^2}\right)^3 = \left(3^{-2}\right)^3 = 3^{-6}
\]

Teraz składamy:
\[
b = 3^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{3^{-6}}{3^{-5}} = 3^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{-6 - (-5)} = 3^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{-1}
\]
\[
b = 3^{\frac{3}{2} - 1} = \mathbf{3^{\frac{1}{2}}}
\]

### Część c)

Korzystamy z wyników a) i b). Zauważamy coś pięknego - **wyrazy z \(\sqrt{3}\) eliminują się**:
\[
a + b = (2 - \sqrt{3}) + 3^{\frac{1}{2}} = 2 - \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2
\]

Warunek z zadania: \(a + b\) stanowi 80% liczby \(c\), czyli:
\[
2 = 80\% \cdot c = \frac{80}{100} \cdot c = \frac{4}{5} \cdot c
\]

Stąd:
\[
c = 2 \cdot \frac{5}{4} = \frac{10}{4} = \mathbf{2{,}5}
\]

## Sposób 2 - Układ równań (alternatywa dla części a)

Zakładamy, że \(a = x + y\sqrt{3}\) dla pewnych wymiernych \(x, y\). Skoro \(a = \dfrac{3\sqrt{3}-4}{1+2\sqrt{3}}\), to:

\[
(x + y\sqrt{3})(1 + 2\sqrt{3}) = 3\sqrt{3} - 4
\]

Rozwijamy lewą stronę:
\[
x \cdot 1 + x \cdot 2\sqrt{3} + y\sqrt{3} \cdot 1 + y\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = (x + 6y) + (2x + y)\sqrt{3}
\]

Przyrównujemy **części wymierne** i **współczynniki przy \(\sqrt{3}\)** osobno:
\[
\begin{cases} x + 6y = -4 \\ 2x + y = 3 \end{cases}
\]

Z drugiego równania: \(y = 3 - 2x\). Podstawiamy do pierwszego:
\[
x + 6(3 - 2x) = -4 \implies x + 18 - 12x = -4 \implies -11x = -22 \implies x = 2
\]
\[
y = 3 - 2 \cdot 2 = -1
\]

Wynik: \(a = 2 - \sqrt{3}\) - **zgodność z Podejściem 1** ✓

## Wzory z karty CKE

**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**

Korzystamy z własności:
\[
a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}, \qquad a^r \cdot a^s = a^{r+s}, \qquad \frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}, \qquad (a^r)^s = a^{r \cdot s}
\]

Użyliśmy w części b) do zamiany \(\sqrt{27}\), \(\left(\tfrac{1}{9}\right)^3\) i \(3^{-5}\) na potęgi o tej samej podstawie 3, a następnie dodawania wykładników.

**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**

\[
(a+b)(a-b) = a^2 - b^2
\]

Użyliśmy w Sposobie 1 do obliczenia mianownika przy racjonalizowaniu \((1+2\sqrt{3})(1-2\sqrt{3}) = 1 - 12 = -11\).

## Typowe pułapki

> ⚠️ **Uwaga:** Przy racjonalizowaniu mianownika nie zapomnij pomnożyć **całego licznika** przez sprzężenie - każdy składnik! Typowy błąd to pominięcie jednego z czterech iloczynów w rozwinięciu.

> ⚠️ **Uwaga:** \(\sqrt{27} \neq 3\sqrt{3}\) to prawda, ale do tej postaci **nie możemy łatwo dodać wykładników** - trzeba zapisać jako \(3^{\frac{3}{2}}\). Bez tego upraszczanie w części b) nie wyjdzie.

> ⚠️ **Uwaga:** W części c) zdanie „\(a+b\) stanowi 80% liczby \(c\)" oznacza \(a+b = 0{,}8 \cdot c\), a **nie** \(c = 0{,}8 \cdot (a+b)\). To odwrotność - \(c\) jest większe od \(a+b\), bo \(a+b\) to tylko część \(c\).

**Poprawna odpowiedź:** a) \(a = 2 - \sqrt{3}\); b) \(b = 3^{0{,}5}\); c) \(c = 2{,}5\).

### Sposób 1 - Racjonalizacja mianownika (a), własności potęg (b), równanie liniowe (c)

**a) Uproszczenie \(a\):**
\[a = \dfrac{3\sqrt{3}-4}{1+2\sqrt{3}}.\]

Mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie \(1 - 2\sqrt{3}\):
\[a = \dfrac{(3\sqrt{3}-4)(1-2\sqrt{3})}{(1+2\sqrt{3})(1-2\sqrt{3})}.\]

Mianownik (wzór skróconego mnożenia):
\[(1+2\sqrt{3})(1-2\sqrt{3}) = 1 - (2\sqrt{3})^{2} = 1 - 12 = -11.\]

Licznik:
\[(3\sqrt{3}-4)(1-2\sqrt{3}) = 3\sqrt{3} - 6\cdot 3 - 4 + 8\sqrt{3} = 3\sqrt{3} - 18 - 4 + 8\sqrt{3} = 11\sqrt{3} - 22.\]

Stąd:
\[a = \dfrac{11\sqrt{3}-22}{-11} = -\sqrt{3} + 2 = 2 - \sqrt{3}.\]

Zatem \(x = 2\), \(y = -1\).

**b) Zapis \(b\) jako potęgi 3:**
\[b = \sqrt{27}\cdot\dfrac{\left(\frac{1}{9}\right)^{3}}{3^{-5}}.\]

Zamieniamy każdy czynnik na potęgę 3:
\[\sqrt{27} = 27^{1/2} = (3^{3})^{1/2} = 3^{3/2},\]
\[\left(\tfrac{1}{9}\right)^{3} = 9^{-3} = (3^{2})^{-3} = 3^{-6},\]
\[\dfrac{3^{-6}}{3^{-5}} = 3^{-6-(-5)} = 3^{-1}.\]

Stąd:
\[b = 3^{3/2}\cdot 3^{-1} = 3^{3/2 - 1} = 3^{1/2} = 3^{0{,}5}.\]

**c) Wyznaczenie \(c\):**
Suma \(a + b\) stanowi 80% liczby \(c\), czyli \(a + b = 0{,}8c\):
\[a + b = (2 - \sqrt{3}) + \sqrt{3} = 2.\]
\[0{,}8c = 2 \Rightarrow c = \dfrac{2}{0{,}8} = 2{,}5.\]

### Sposób 2 - Weryfikacja numeryczna
\(\sqrt{3} \approx 1{,}732\); wtedy \(a \approx 0{,}268\), \(b \approx 1{,}732\), \(a+b \approx 2\). \(\dfrac{2}{0{,}8} = 2{,}5\) ✓.

### Uwaga dydaktyczna
Kluczowe jest spostrzeżenie, że \(b = \sqrt{3}\), a \(a = 2 - \sqrt{3}\), więc pierwiastki redukują się przy sumowaniu - klasyczny chwyt w zadaniach CKE, gdzie wynik końcowy jest liczbą wymierną mimo obecności niewymiernych składników.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1a1p-061/zad/1)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1a1p-061%2Fzad%2F1)

## Podobne zadania

- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/1) — Dane są liczby: \(a = \frac{3\sqrt{3} - 4}{1 + 2\sqrt{3}}\) i \(b = \sqrt{27} \cdot \frac{\left(\frac{1}{3}\right)^{5}}{3^{-5}}\). a) Przedstaw liczbę \(a\) w p
- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (0-2) Dane są liczby rzeczywiste 𝑎 oraz 𝑏: 𝑎= 16 1 2 ⋅ log4 36-2⋅log4 3 𝑏= log2 9 ⋅log3 5 ⋅log5 8 Oblicz wartość ilorazu 𝒂 𝟐𝒃 . Wynik zapisz w postac
- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (0-2) Dane są liczby 𝑎= 4log2 45 oraz 𝑏= log3 2023 log9 2023 Oblicz 𝒂-𝒃. MMAP-R0_100 Dane są liczby a = 4^log_2 45 oraz b = log_3 2023/log_9 2023. Ob
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa/zad/11) — Zadanie 11. (1 pkt) W czasie remontu torowiska czas przejazdu pociągu wydłużył się o 25%. Prędkość przejazdu na tej trasie zmniejszyła się o A. 20% B. 25% C. 50

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_