# Matematyka — zadanie 3 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1a1p-061/zad/3 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2006 (podstawowa) - rok: 2006 - poziom: podstawowa - typ: open - działy: Funkcje ## Treść Dana jest funkcja \(f : R \to R\) określona wzorem \(f(x) = ax + 4\). a) Wyznacz wartość \(a\), dla której miejscem zerowym funkcji \(f\) jest liczba \(-1\). b) Wyznacz wartość \(a\), dla której prosta będąca wykresem funkcji \(f\) jest nachylona do osi \(OX\) pod kątem \(60^{\circ}\). c) Wyznacz wartość \(a\), dla której równanie \(ax + 4 = 2a + 4\) ma nieskończenie wiele rozwiązań. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: **a)** \(a = 4\)  |  **b)** \(a = \sqrt{3}\)  |  **c)** \(a = 0\) ## Sposób 1 - bezpośrednie podstawienie i definicje ### Część a) - miejsce zerowe Miejsce zerowe funkcji to taki argument \(x_0\), dla którego \(f(x_0) = 0\). Wiemy, że \(x_0 = -1\), więc podstawiamy: \[f(-1) = 0\] \[a \cdot (-1) + 4 = 0\] \[-a + 4 = 0\] \[\boxed{a = 4}\] **Sprawdzenie:** \(f(x) = 4x + 4\), więc \(f(-1) = 4 \cdot (-1) + 4 = 0\). ✓ ### Część b) - kąt nachylenia do osi OX Wzór funkcji \(f(x) = ax + 4\) to prosta w postaci kierunkowej \(y = ax + b\), gdzie \(a\) jest **współczynnikiem kierunkowym**. Związek współczynnika kierunkowego z kątem nachylenia \(\alpha\): \[a = \operatorname{tg}\alpha\] Dla \(\alpha = 60°\): \[a = \operatorname{tg} 60° = \sqrt{3}\] \[\boxed{a = \sqrt{3}}\] ### Część c) - nieskończenie wiele rozwiązań Upraszczamy równanie \(ax + 4 = 2a + 4\): \[ax + 4 = 2a + 4\] \[ax = 2a\] \[ax - 2a = 0\] \[a(x - 2) = 0\] Teraz analizujemy przypadki: - Jeśli \(a \neq 0\): jedyne rozwiązanie to \(x = 2\) - **jedno rozwiązanie**. - Jeśli \(a = 0\): równanie staje się \(0 \cdot (x-2) = 0\), czyli \(0 = 0\) - **prawda dla każdego** \(x\). Zatem równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań wtedy i tylko wtedy, gdy: \[\boxed{a = 0}\] ## Sposób 2 - interpretacja graficzna / weryfikacja ### Część a) - weryfikacja Dla \(a = 4\) funkcja to \(f(x) = 4x + 4\). Miejsce zerowe: \(4x + 4 = 0 \Rightarrow x = -1\). ✓ ### Część b) - interpretacja graficzna Prosta \(y = ax + b\) przecina oś \(OX\) pod kątem \(\alpha\), gdzie \(\operatorname{tg}\alpha = a\). Wyobraź sobie prostą nachyloną pod \(60°\) - jest bardziej stroma niż \(45°\) (gdzie \(\operatorname{tg}45° = 1\)), i rzeczywiście \(\sqrt{3} \approx 1{,}73 > 1\). ✓ ### Część c) - interpretacja graficzna Gdy \(a = 0\), funkcja \(f(x) = 0 \cdot x + 4 = 4\) to pozioma prosta. Równanie \(ax + 4 = 2a + 4\) przy \(a = 0\) to \(4 = 4\) - prawda dla każdego \(x\), bo prosta pozioma jest "wszędzie taka sama". ✓ ## Wzory z karty CKE **Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - wartości funkcji trygonometrycznych: \[\operatorname{tg} 60° = \sqrt{3}\] Użyte w części **b)** do wyznaczenia współczynnika kierunkowego prostej. **Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie kierunkowe prostej: \[y = ax + b, \quad \text{gdzie } a = \operatorname{tg}\alpha\] Podstawowe narzędzie w częściach **b)** i **c)**. ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga (część a):** Miejsce zerowe to \(f(x_0) = 0\), a nie \(f(0) = x_0\)! Częsty błąd: podstawienie \(x = 0\) zamiast \(f(-1) = 0\). > ⚠️ **Uwaga (część b):** \(\operatorname{tg} 60° = \sqrt{3}\), nie \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)! Wartość \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) to \(\sin 60°\) lub \(\cos 30°\) - łatwo pomylić z tabeli. > ⚠️ **Uwaga (część c):** Jeśli \(a \neq 0\), równanie \(a(x-2) = 0\) ma **dokładnie jedno** rozwiązanie \(x = 2\) - nie "brak rozwiązań". Nieskończenie wiele rozwiązań daje tylko \(a = 0\), bo wtedy równanie jest tożsamościowo prawdziwe. Sprawdzaj zawsze **oba przypadki**. **Poprawna odpowiedź:** a) \(a = 4\); b) \(a = \sqrt{3}\); c) \(a = 0\). ### Sposób 1 - Klasyczne podejście dla funkcji liniowej **a) Miejsce zerowe to \(-1\):** Miejscem zerowym jest taki \(x\), że \(f(x) = 0\): \[f(-1) = a\cdot(-1) + 4 = 0 \Rightarrow -a + 4 = 0 \Rightarrow a = 4.\] Sprawdzenie: \(f(x) = 4x + 4\); \(f(-1) = -4 + 4 = 0\) ✓. **b) Kąt nachylenia \(60^{\circ}\):** Współczynnik kierunkowy \(a\) prostej \(y = ax + b\) jest tangensem kąta nachylenia do osi \(OX\): \[a = \tan\alpha.\] Dla \(\alpha = 60^{\circ}\): \[a = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}.\] **c) Równanie \(ax + 4 = 2a + 4\) ma nieskończenie wiele rozwiązań:** Przekształcamy: \[ax + 4 = 2a + 4 \Rightarrow ax = 2a \Rightarrow ax - 2a = 0 \Rightarrow a(x - 2) = 0.\] Równanie \(a(x-2) = 0\) jest spełnione dla każdego \(x\in\mathbb{R}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(a = 0\) (wtedy lewa strona to \(0 = 0\) - tożsamość). Jeśli \(a \ne 0\), równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie \(x = 2\). Stąd: \(a = 0\). ### Sposób 2 - Interpretacja geometryczna - **a)** Prosta \(y = ax + 4\) przechodzi przez \((-1, 0)\); punktowe warunki dają \(0 = -a + 4\). - **b)** Kąt nachylenia prostej: \(\tan\alpha = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = a\). Dla \(60^{\circ}\): \(a = \sqrt{3}\). - **c)** Równanie \(ax + 4 = 2a + 4\) opisuje punkt przecięcia prostej \(y = ax + 4\) z poziomą prostą \(y = 2a + 4\). Nieskończenie wiele rozwiązań = proste się pokrywają = obie są poziome ⇒ \(a = 0\). Wtedy \(y = 4\) pokrywa się z \(y = 4\) (bo \(2\cdot 0 + 4 = 4\)) - tożsamość. ### Weryfikacja dydaktyczna Typowy błąd w (c): stwierdzenie \(a = 0\) bez argumentu o tożsamości. Trzeba jednoznacznie pokazać, że \(0\cdot x + 4 = 0 + 4\), czyli \(4 = 4\) dla każdego \(x\). ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1a1p-061/zad/3) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1a1p-061%2Fzad%2F3) ## Podobne zadania - [Zadanie 3](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/3) — Dana jest funkcja \(f : R \to R\) określona wzorem \(f(x) = ax + 4\). a) Wyznacz wartość \(a\), dla której miejscem zerowym funkcji \(f\) jest liczba \(-1\). b) - [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2024-maj-matura-stara-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (0-2) Osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 jest prosta o równaniu 𝑥= -2. Jednym z miejsc zerowych funkcji 𝑓 jest liczba 1. Ob - [Zadanie 31](https://matura.lol/question/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/31) — Zadanie 31. (0-2) Funkcja kwadratowa 𝑓 ma dokładnie jedno miejsce zerowe równe 2. Ponadto 𝑓(0) = 8. Wyznacz wzór funkcji 𝑓. EMAP-P0_100 Funkcja kwadratowa f ma - [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2025-marzec-politechnika-lodzka-probna-rozszerzona/zad/6) — Funkcja f(x) = 9x + 16 jest określona dla każdej liczby rzeczywistej x [ - 16 9 ; + ) . P = (x_0, 5) należy do wykresu funkcji f . x_0 oraz wyznacz równanie sty _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_