# Matematyka — zadanie 4

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1a1p-061/zad/4
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2006 (podstawowa)
- rok: 2006
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 4
- działy: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka, odchylenie standardowe, wariancja, średnia, statystyka

## Treść

Zadanie 4. (4 pkt)
W pewnej firmie pracownicy zostali zaszeregowani do trzech grup uposażeń. Liczbę
pracowników i płace (w euro) w poszczególnych grupach przedstawia diagram słupkowy:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
400
480
540
Płaca miesięczna [w euro]
Liczba pracowników
a) Wyznacz średnią płacę miesięczną w tej firmie.
b) Oblicz wariancję i odchylenie standardowe miesięcznej płacy w tej firmie. Odchylenie
standardowe podaj z dokładnością do 0,1.

6
Arkusz I

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź:

**a)** Średnia płaca: \(\bar{x} = 438\) euro

**b)** Wariancja: \(\sigma^2 = 2436\), odchylenie standardowe: \(\sigma \approx 49{,}4\) euro

## Sposób 1 - wzory na średnią ważoną i wariancję ważoną

**Dane z diagramu słupkowego:**

| Płaca \(a_i\) | Liczba pracowników \(w_i\) |
| \(400\) euro | \(12\) |
| \(480\) euro | \(6\) |
| \(540\) euro | \(2\) |

Łączna liczba pracowników: \(n = 12 + 6 + 2 = 20\)

### a) Średnia płaca

Korzystamy ze wzoru na **średnią ważoną** (każda płaca "waży" tyle, ile pracowników ją pobiera):

\[\bar{x} = \frac{w_1 a_1 + w_2 a_2 + w_3 a_3}{w_1 + w_2 + w_3}\]

\[\bar{x} = \frac{12 \cdot 400 + 6 \cdot 480 + 2 \cdot 540}{20} = \frac{4800 + 2880 + 1080}{20} = \frac{8760}{20}\]

\[\boxed{\bar{x} = 438 \text{ euro}}\]

### b) Wariancja i odchylenie standardowe

**Krok 1:** Obliczamy odchylenia każdej płacy od średniej:

\[a_1 - \bar{x} = 400 - 438 = -38\]
\[a_2 - \bar{x} = 480 - 438 = 42\]
\[a_3 - \bar{x} = 540 - 438 = 102\]

**Krok 2:** Podnosimy do kwadratu (odchylenie zawsze nieujemne):

\[(400 - 438)^2 = (-38)^2 = 1444\]
\[(480 - 438)^2 = 42^2 = 1764\]
\[(540 - 438)^2 = 102^2 = 10404\]

**Krok 3:** Ważymy każdy kwadrat przez liczbę pracowników i sumujemy:

\[12 \cdot 1444 + 6 \cdot 1764 + 2 \cdot 10404 = 17328 + 10584 + 20808 = 48720\]

**Krok 4:** Dzielimy przez łączną liczbę pracowników:

\[\sigma^2 = \frac{48720}{20} = \boxed{2436}\]

**Krok 5:** Odchylenie standardowe to pierwiastek z wariancji:

\[\sigma = \sqrt{2436} \approx \boxed{49{,}4 \text{ euro}}\]

*(sprawdzenie: \(49{,}4^2 = 2440{,}36\), \(49{,}35^2 \approx 2435{,}4\) - wartość \(49{,}4\) jest poprawna z dokładnością do \(0{,}1\))*

## Sposób 2 - lista pełna (rozwinięcie do 20 obserwacji) + weryfikacja

Zamiast wzoru ważonego, wypisujemy dosłownie wszystkich 20 pracowników i stosujemy podstawowy wzór na wariancję.

**Średnia:** lista \(20\) wartości to dwanaście \(400\), sześć \(480\), dwa \(540\):

\[\bar{x} = \frac{12 \cdot 400 + 6 \cdot 480 + 2 \cdot 540}{20} = 438 \text{ euro} \quad \checkmark\]

**Wariancja** (wzór podstawowy):

\[\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{20}(a_i - \bar{x})^2}{20}\]

W liczniku mamy:
- \(12\) składników \((400 - 438)^2 = 1444\): razem \(17328\)
- \(6\) składników \((480 - 438)^2 = 1764\): razem \(10584\)
- \(2\) składniki \((540 - 438)^2 = 10404\): razem \(20808\)

Suma: \(17328 + 10584 + 20808 = 48720\)

\[\sigma^2 = \frac{48720}{20} = 2436, \quad \sigma = \sqrt{2436} \approx 49{,}4 \text{ euro} \quad \checkmark\]

Oba podejścia dają identyczny wynik - wzór ważony jest po prostu skróconym zapisem tego samego obliczenia.

## Wzory z karty CKE

**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)**

Średnia ważona:
\[\bar{s} = \frac{w_1 a_1 + w_2 a_2 + \ldots + w_n a_n}{w_1 + w_2 + \ldots + w_n}\]
Użyliśmy w części a) - każda płaca miała wagę równą liczbie pracowników w grupie.

Wariancja:
\[\sigma^2 = \frac{(a_1 - \bar{a})^2 + (a_2 - \bar{a})^2 + \ldots + (a_n - \bar{a})^2}{n}\]
Użyliśmy w części b) - w wersji ważonej (Sposób 1) lub po rozwinięciu do 20 obserwacji (Sposób 2).

Odchylenie standardowe:
\[\sigma = \sqrt{\sigma^2}\]

## Typowe pułapki i uwaga

> ⚠️ **Uwaga:** W wariancji dzielimy przez **całkowitą liczbę pracowników** (\(n = 20\)), a nie przez liczbę grup (\(3\)). To częsty błąd - pojawia się, gdy ktoś traktuje każdą grupę jako jedną obserwację.

> ⚠️ **Uwaga:** Odchylenia od średniej mogą być ujemne (np. \(400 - 438 = -38\)), ale po podniesieniu do kwadratu zawsze wychodzą nieujemne. Nigdy nie bierz wartości bezwzględnej przed podniesieniem do kwadratu - kwadrat to robi automatycznie.

> ⚠️ **Uwaga:** Do obliczenia \(\sigma^2 = 2436\) nie używamy zaokrągleń. Dopiero na końcu, przy \(\sigma = \sqrt{2436}\), zaokrąglamy do \(0{,}1\). Zaokrąglenie średniej przed obliczeniem wariancji dałoby błędny wynik.

**Poprawna odpowiedź:** a) średnia \(\bar{x} = 438\) euro; b) wariancja \(\sigma^{2} = 2436\), odchylenie standardowe \(\sigma \approx 49{,}4\) euro.

### Sposób 1 - Definicje średniej ważonej i wariancji

**Dane:** \(n_1 = 12\) przy \(x_1 = 400\); \(n_2 = 6\) przy \(x_2 = 480\); \(n_3 = 2\) przy \(x_3 = 540\).

**Liczba pracowników:** \(N = 12 + 6 + 2 = 20\).

**a) Średnia ważona:**
\[\bar{x} = \dfrac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + n_3 x_3}{N} = \dfrac{12\cdot 400 + 6\cdot 480 + 2\cdot 540}{20}.\]
\[\bar{x} = \dfrac{4800 + 2880 + 1080}{20} = \dfrac{8760}{20} = 438 \text{ euro}.\]

**b) Wariancja (średnia kwadratów odchyleń):**
Odchylenia od średniej:
\[x_1 - \bar{x} = 400 - 438 = -38,\]
\[x_2 - \bar{x} = 480 - 438 = 42,\]
\[x_3 - \bar{x} = 540 - 438 = 102.\]

Kwadraty odchyleń:
\[(-38)^{2} = 1444, \quad 42^{2} = 1764, \quad 102^{2} = 10404.\]

Wariancja ważona:
\[\sigma^{2} = \dfrac{n_1(x_1-\bar{x})^{2} + n_2(x_2-\bar{x})^{2} + n_3(x_3-\bar{x})^{2}}{N}.\]
\[\sigma^{2} = \dfrac{12\cdot 1444 + 6\cdot 1764 + 2\cdot 10404}{20}.\]
\[\sigma^{2} = \dfrac{17328 + 10584 + 20808}{20} = \dfrac{48720}{20} = 2436.\]

**Odchylenie standardowe:**
\[\sigma = \sqrt{2436} \approx 49{,}3559\ldots \approx 49{,}4 \text{ (euro)}.\]

### Sposób 2 - Wzór skrócony na wariancję
\[\sigma^{2} = \overline{x^{2}} - \bar{x}^{2},\]
gdzie \(\overline{x^{2}} = \dfrac{\sum n_i x_i^{2}}{N}\).

Obliczamy:
\[\sum n_i x_i^{2} = 12\cdot 400^{2} + 6\cdot 480^{2} + 2\cdot 540^{2}\]
\[= 12\cdot 160000 + 6\cdot 230400 + 2\cdot 291600\]
\[= 1920000 + 1382400 + 583200 = 3885600.\]

\[\overline{x^{2}} = \dfrac{3885600}{20} = 194280.\]
\[\bar{x}^{2} = 438^{2} = 191844.\]
\[\sigma^{2} = 194280 - 191844 = 2436.\]
\[\sigma = \sqrt{2436} \approx 49{,}4.\]

### Weryfikacja pierwiastka
\(49^{2} = 2401\); \(50^{2} = 2500\); \(49{,}4^{2} = 2440{,}36\); \(49{,}3^{2} = 2430{,}49\). Z zaokrągleniem do 0,1 otrzymujemy \(\sigma \approx 49{,}4\) ✓.

### Interpretacja
Średnia 438 euro, odchylenie 49,4 euro - większość pracowników zarabia w przedziale \([388{,}6;\ 487{,}4]\) euro, czyli w ramach jednego odchylenia standardowego od średniej.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1a1p-061/zad/4)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1a1p-061%2Fzad%2F4)

## Podobne zadania

- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/4) — Zadanie 4. (4 pkt) W pewnej firmie pracownicy zostali zaszeregowani do trzech grup uposażeń. Liczbę pracowników i płace (w euro) w poszczególnych grupach przeds

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_