# Matematyka — zadanie 5

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1a1p-061/zad/5
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2006 (podstawowa)
- rok: 2006
- poziom: podstawowa
- typ: open
- działy: Ciągi, ciagi

## Treść

Zauważ, że: \[1^{2} = 1\] \[2^{2} = 1 + 2 + 1\] \[3^{2} = 1 + 2 + 3 + 2 + 1\] \[4^{2} = 1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1\] Stosując wzór na sumę kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego uzasadnij, że \[n^{2} = 1 + 2 + 3 + \ldots + (n-1) + n + (n-1) + \ldots + 3 + 2 + 1.\]

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: uzasadnienie (zadanie otwarte)

Należy udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\):
\[1 + 2 + 3 + \ldots + (n-1) + n + (n-1) + \ldots + 3 + 2 + 1 = n^2\]

## Sposób 1 - Podział na dwie sumy i wzór na sumę ciągu arytmetycznego

**Rozbijamy sumę na dwie części** w miejscu, gdzie pojawia się \(n\):

\[\underbrace{1 + 2 + \ldots + (n-1) + n}_{\text{część rosnąca}} + \underbrace{(n-1) + \ldots + 2 + 1}_{\text{część malejąca}}\]

**Część 1:** Suma \(1 + 2 + \ldots + n\) to ciąg arytmetyczny o \(n\) wyrazach, pierwszym wyrazie \(a_1 = 1\) i ostatnim \(a_n = n\). Ze wzoru:
\[S_1 = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{1 + n}{2} \cdot n = \frac{n(n+1)}{2}\]

**Część 2:** Suma \(1 + 2 + \ldots + (n-1)\) to ciąg arytmetyczny o \(n-1\) wyrazach, pierwszym \(a_1 = 1\) i ostatnim \(a_{n-1} = n-1\):
\[S_2 = \frac{1 + (n-1)}{2} \cdot (n-1) = \frac{n}{2} \cdot (n-1) = \frac{n(n-1)}{2}\]

**Sumujemy obie części:**
\[S_1 + S_2 = \frac{n(n+1)}{2} + \frac{n(n-1)}{2} = \frac{n(n+1) + n(n-1)}{2} = \frac{n\bigl[(n+1)+(n-1)\bigr]}{2}\]

Upraszczamy nawias:
\[= \frac{n \cdot 2n}{2} = \frac{2n^2}{2} = \boxed{n^2}\]

Uzasadnienie jest kompletne. \(\square\)

## Sposób 2 - Grupowanie symetrycznych par

Patrzymy na całą sumę i **łączymy wyrazy symetrycznie** - pierwszy z ostatnim, drugi z przedostatnim itd.

Suma ma łącznie \(2n - 1\) wyrazów: \(1, 2, \ldots, n, \ldots, 2, 1\).

**Grupujemy po dwa** wyrazy stojące symetrycznie względem środkowego \(n\):

\[(1 + 1) + (2 + 2) + \ldots + \bigl((n-1) + (n-1)\bigr) + n\]

Każda para daje podwojoną wartość, par jest \(n-1\):

\[= 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + \ldots + 2(n-1) + n = 2\bigl(1 + 2 + \ldots + (n-1)\bigr) + n\]

Sumę w nawiasie obliczamy ze wzoru na sumę ciągu arytmetycznego:
\[1 + 2 + \ldots + (n-1) = \frac{(n-1) \cdot n}{2}\]

Zatem:
\[2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} + n = n(n-1) + n = n^2 - n + n = \boxed{n^2}\]

\(\square\)

## Wzory z karty CKE

**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na sumę \(n\) wyrazów ciągu arytmetycznego:
\[S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\]
Użyliśmy go w obu sposobach do obliczenia sum \(1 + 2 + \ldots + n\) oraz \(1 + 2 + \ldots + (n-1)\).

Na karcie wzorów maturzysta znajdzie ten wzór od razu - to standardowy wzór na sumę ciągu arytmetycznego z podanym pierwszym i ostatnim wyrazem.

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Suma \(1 + 2 + \ldots + n\) ma **\(n\) wyrazów** (od 1 do \(n\)), a suma \(1 + 2 + \ldots + (n-1)\) ma \(n-1\) wyrazów - łatwo tu pomylić liczbę wyrazów i dostać błędny wzór.

> ⚠️ **Uwaga:** W tym zadaniu słowo „uzasadnij" oznacza, że samo sprawdzenie dla \(n = 1, 2, 3, 4\) **nie wystarczy** - trzeba przeprowadzić dowód ogólny działający dla każdego \(n\). Wykaż to algebraicznie, tak jak w Sposobach 1 i 2.

> ⚠️ **Uwaga:** Przy upraszczaniu \(\frac{n(n+1) + n(n-1)}{2}\) wyciągamy \(n\) przed nawias, a nie osobno redukujemy. Błąd: \((n+1)+(n-1) = 2n\), więc całość to \(\frac{n \cdot 2n}{2} = n^2\) - nie \(\frac{2n^2 + 2}{2}\) ani podobne pomyłki znakowe.

**Teza:** Dla każdego \(n\in\mathbb{N}_+\):
\[n^{2} = 1+2+3+\ldots+(n-1)+n+(n-1)+\ldots+3+2+1.\]

### Sposób 1 - Rozbicie sumy na dwie części (wzór Gaussa)

Rozbijamy prawą stronę na dwie sumy ciągów arytmetycznych:
\[S = \underbrace{1+2+\ldots+n}_{S_1} + \underbrace{(n-1)+(n-2)+\ldots+1}_{S_2}.\]

**Suma \(S_1\)** - ciąg arytmetyczny \(a_1 = 1\), \(a_n = n\), \(n\) wyrazów:
\[S_1 = \dfrac{(1 + n)\cdot n}{2} = \dfrac{n(n+1)}{2}.\]

**Suma \(S_2\)** - ciąg arytmetyczny \(a_1 = 1\), \(a_{n-1} = n-1\), \((n-1)\) wyrazów:
\[S_2 = \dfrac{(1 + (n-1))\cdot(n-1)}{2} = \dfrac{n(n-1)}{2}.\]

**Suma całkowita:**
\[S = S_1 + S_2 = \dfrac{n(n+1)}{2} + \dfrac{n(n-1)}{2} = \dfrac{n(n+1) + n(n-1)}{2} = \dfrac{n\bigl[(n+1) + (n-1)\bigr]}{2} = \dfrac{n\cdot 2n}{2} = n^{2}.\]

Co należało wykazać. \(\blacksquare\)

### Sposób 2 - Związek z sumą \(S_{n-1}\)

Oznaczmy \(S_k = 1+2+\ldots+k = \dfrac{k(k+1)}{2}\). Wtedy:
\[1+2+\ldots+n+(n-1)+\ldots+1 = S_n + S_{n-1}.\]
\[S_n + S_{n-1} = \dfrac{n(n+1)}{2} + \dfrac{(n-1)n}{2} = \dfrac{n\bigl[(n+1)+(n-1)\bigr]}{2} = \dfrac{n\cdot 2n}{2} = n^{2}.\]

### Sposób 3 - Interpretacja geometryczna (kwadrat z „schodków")

Kwadrat \(n\times n\) można ułożyć z kolorowych pasków:
- pierwszy pasek - 1 kratka,
- drugi pasek - 2 kratki (schodek w kierunku przekątnej),
- najdłuższy - \(n\) kratek,
- potem maleją: \(n-1, \ldots, 1\).

Sumaryczna liczba kratek: \(1+2+\ldots+n+(n-1)+\ldots+1 = n^{2}\), bo liczba kratek w kwadracie \(n\times n\) wynosi \(n^{2}\). To dostarcza niezależnego dowodu wizualnego.

### Sprawdzenie dla \(n = 4\)
\[1+2+3+4+3+2+1 = 16 = 4^{2}.\] ✓

### Uwaga dydaktyczna
Kluczowa jest obserwacja, że środkowy wyraz \(n\) występuje tylko raz. Alternatywnie można zapisać:
\[n^{2} = 2\cdot(1+2+\ldots+(n-1)) + n = 2\cdot\dfrac{(n-1)n}{2} + n = n(n-1) + n = n^{2}.\] ✓

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1a1p-061/zad/5)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1a1p-061%2Fzad%2F5)

## Podobne zadania

- [Zadanie 27](https://matura.lol/question/matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa-2/zad/27) — Zadanie 27. (2 pkt) Wykaż, że liczby są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy 11

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_