# Matematyka — zadanie 6 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1a1p-061/zad/6 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2006 (podstawowa) - rok: 2006 - poziom: podstawowa - typ: open - działy: Funkcje ## Treść Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji kwadratowej \(f\). Na podstawie tego wykresu a) zapisz w postaci sumy przedziałów liczbowych zbiór rozwiązań nierówności \(f(x) \leq 3\), b) określ i zapisz największą i najmniejszą wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle 0, 3 \rangle\), c) zapisz wzór funkcji \(f\) w postaci iloczynowej. /matma-quiz/images/cke/MMA-P1A1P-061/z6.png ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: a) \(x \in (-\infty, 0\rangle \cup \langle 2, +\infty)\) b) \(\min f = 0\) (w \(x = 3\)), \(\max f = 4\) (w \(x = 1\)) c) \(f(x) = -(x+1)(x-3)\) ## Sposób 1 - wyznaczenie wzoru, potem analiza **Krok 1 - postać iloczynowa (podpunkt c)** Skoro miejsca zerowe to \(x_1 = -1\) i \(x_2 = 3\), funkcja ma postać: \[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) = a(x+1)(x-3)\] Wyznaczamy \(a\) z warunku \(f(0) = 3\): \[f(0) = a(0+1)(0-3) = -3a = 3 \implies \mathbf{a = -1}\] Zatem: \[\boxed{f(x) = -(x+1)(x-3)}\] **Krok 2 - rozwinięcie i weryfikacja wierzchołka** \[f(x) = -(x^2 - 2x - 3) = -x^2 + 2x + 3\] Tutaj \(a = -1\), \(b = 2\), \(c = 3\). Odcięta wierzchołka: \[p = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1\] Rzędna wierzchołka: \[q = f(1) = -(1)^2 + 2(1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4\] Wierzchołek \(W = (1, 4)\) - rzędna \(4\) zgodna z danymi. ✓ **Krok 3 - nierówność \(f(x) \leq 3\) (podpunkt a)** \[-(x+1)(x-3) \leq 3\] \[-x^2 + 2x + 3 \leq 3\] \[-x^2 + 2x \leq 0 \quad | \cdot (-1)\] \[x^2 - 2x \geq 0\] \[x(x-2) \geq 0\] Iloczyn \(x(x-2) \geq 0\) zachodzi gdy oba czynniki mają ten sam znak: - \(x \leq 0\) (oba ujemne lub zero) **lub** \(x \geq 2\) (oba nieujemne) \[\boxed{x \in (-\infty, 0\rangle \cup \langle 2, +\infty)}\] **Krok 4 - ekstremum na \(\langle 0, 3 \rangle\) (podpunkt b)** Parabola jest „czapką" (\(a = -1 < 0\)), wierzchołek w \(x = 1 \in \langle 0, 3\rangle\). Liczymy wartości na krańcach i w wierzchołku: \[f(0) = 3, \quad f(1) = 4, \quad f(2) = -(3)(-1) = 3, \quad f(3) = 0\] **Największa wartość**: \(f(1) = \mathbf{4}\) (wierzchołek paraboli) **Najmniejsza wartość**: \(f(3) = \mathbf{0}\) (miejsce zerowe) ## Sposób 2 - geometrycznie z wykresu + weryfikacja **Podpunkt a - graficznie** \(f(x) = 3\) to pytanie: dla jakich \(x\) wykres funkcji leży **na poziomie prostej \(y = 3\) lub poniżej niej**. Wiemy, że \(f(0) = 3\), a symetria paraboli jest względem prostej \(x = 1\) (środek \((-1+3)/2 = 1\)). Szukamy drugiego punktu, gdzie \(f(x) = 3\): - punkt symetryczny do \(x = 0\) względem \(x = 1\) to \(x = 2\). Sprawdzamy: \(f(2) = -(2+1)(2-3) = -(3)(-1) = 3\). ✓ Parabola jest „czapką", więc \(f(x) \leq 3\) **na zewnątrz** przedziału \((0, 2)\): \[x \in (-\infty, 0\rangle \cup \langle 2, +\infty)\] **Podpunkty b i c - weryfikacja podstawieniem** Wzór \(f(x) = -(x+1)(x-3)\): - \(f(-1) = 0\) ✓ (miejsce zerowe) - \(f(3) = 0\) ✓ (miejsce zerowe) - \(f(0) = -(1)(-3) = 3\) ✓ - \(f(1) = -(2)(-2) = 4\) ✓ (wierzchołek) Na \(\langle 0, 3\rangle\): funkcja rośnie od \(f(0) = 3\) do \(f(1) = 4\), potem maleje do \(f(3) = 0\). Max = 4, min = 0. ✓ ## Wzory z karty CKE **Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** Postać iloczynowa: \[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\] - użyta w c) do zapisania wzoru ze znanych miejsc zerowych. Wierzchołek paraboli: \[p = -\frac{b}{2a}, \quad q = -\frac{\Delta}{4a}\] - użyty w Sposobie 1 do weryfikacji rzędnej wierzchołka. **Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** \[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\] - pośrednio przy rozwinięciu \(-(x+1)(x-3) = -x^2 + 2x + 3\). ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Przy wyznaczaniu \(a\) z warunku \(f(0) = 3\) łatwo o błąd rachunkowy - \(f(0) = a \cdot 1 \cdot (-3) = -3a\), więc \(a = -1\), **nie** \(a = 1\)! > ⚠️ **Uwaga:** Nierówność \(x(x-2) \geq 0\) ma rozwiązanie na **zewnątrz** przedziału \([0, 2]\), nie wewnątrz. Parabola \(x^2 - 2x\) jest „miseczką" i jest ujemna między zerami. Myl ący jest znak - po przemnożeniu przez \(-1\) nierówność zmienia kierunek! > ⚠️ **Uwaga:** W podpunkcie b) szukamy ekstremum na **domkniętym** przedziale \(\langle 0, 3\rangle\). Minimum wynosi \(0\) i jest osiągane w \(x = 3\) (miejsce zerowe) - **nie** w \(x = 0\), mimo że \(f(0) = 3 > 0\)! **Poprawna odpowiedź:** a) \(x \in (-\infty,\ 0\rangle \cup \langle 2,\ +\infty)\); b) najmniejsza wartość: \(0\); największa wartość: \(4\); c) \(f(x) = -(x+1)(x-3)\). ### Sposób 1 - Odczyt z wykresu i wyznaczenie postaci iloczynowej **Odczyt z wykresu:** - Miejsca zerowe: \(x_1 = -1\), \(x_2 = 3\). - Wierzchołek paraboli (maksimum, bo ramiona w dół): \(W = (1,\ 4)\) (\(x_w = \frac{-1+3}{2} = 1\); \(y_w = 4\) odczytane z wykresu). - \(f(0) = 3\). **a) Nierówność \(f(x) \le 3\):** Z wykresu widać, że prosta \(y = 3\) przecina parabolę w punktach, gdzie \(f(x) = 3\); z podanych danych \(f(0) = 3\), więc \(x = 0\) jest jednym z rozwiązań. Drugie - z symetrii względem osi wierzchołka \(x = 1\): \[x' = 2x_w - 0 = 2\cdot 1 - 0 = 2.\] Parabola ma ramiona skierowane w dół, więc \(f(x) \le 3\) zachodzi dla \(x\) poza przedziałem \((0,\ 2)\) (uwzględniając końce, bo równość dopuszczona): \[x \in (-\infty,\ 0\rangle \cup \langle 2,\ +\infty).\] **b) Największa i najmniejsza wartość \(f\) w \(\langle 0,\ 3\rangle\):** Wierzchołek \((1, 4)\) leży w przedziale \(\langle 0,\ 3\rangle\), więc: \[\max f = f(1) = 4.\] Wartości na końcach: \(f(0) = 3\), \(f(3) = 0\) (miejsce zerowe). Ponieważ parabola jest rosnąca na \([0, 1]\) i malejąca na \([1, 3]\), wartości brzegowe to kandydaci na minimum. Mniejsza z nich to \(f(3) = 0\): \[\min f = f(3) = 0.\] **c) Wzór w postaci iloczynowej:** Dla funkcji kwadratowej z miejscami zerowymi \(x_1 = -1\), \(x_2 = 3\): \[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) = a(x+1)(x-3).\] Wyznaczamy \(a\) z warunku \(f(0) = 3\): \[3 = a\cdot(0+1)\cdot(0-3) = -3a \Rightarrow a = -1.\] Alternatywnie z wierzchołka: \(f(1) = 4\): \[4 = a(1+1)(1-3) = a\cdot 2\cdot(-2) = -4a \Rightarrow a = -1.\] ✓ Stąd: \[\boxed{f(x) = -(x+1)(x-3).}\] ### Sposób 2 - Weryfikacja przez postać ogólną Postać iloczynowa: \(f(x) = -(x+1)(x-3) = -(x^{2} - 2x - 3) = -x^{2} + 2x + 3\). Sprawdzenia: - \(f(0) = 3\) ✓, - \(f(-1) = -1 - 2 + 3 = 0\) ✓, - \(f(3) = -9 + 6 + 3 = 0\) ✓, - \(f(1) = -1 + 2 + 3 = 4\) ✓ (wierzchołek). ### Uwaga dydaktyczna W punkcie (a) kluczowa jest świadomość, że dla \(a < 0\) (ramiona w dół) nierówność \(f(x) \le k\) daje rozwiązanie poza przedziałem wyznaczonym przez punkty przecięcia wykresu z prostą \(y = k\). ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1a1p-061/zad/6) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1a1p-061%2Fzad%2F6) ## Podobne zadania - [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/1) — Zadanie 1. (4 pkt) Na poniższym rysunku przedstawiono łamaną ABCD, która jest wykresem funkcji ( ) y f x Korzystając z tego wykresu: a) zapisz w postaci przedzi - [Zadanie 11.2](https://matura.lol/question/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/11.2) — Zadanie 11.2. (0-2) Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Największa wartość funkcji 𝑓 jest równa - [Zadanie 12.1](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/12.1) — Zadanie 12.1. (0-2) Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Rozwiązaniem równania 𝑓(𝑥) = 3 jest lic - [Zadanie 12.1](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/12.1) — Zadanie 12.1. (0-2) Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Funkcja 𝑓 ma dokładnie miejsca zerowe. _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_