# Matematyka — zadanie 7 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1a1p-061/zad/7 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2006 (podstawowa) - rok: 2006 - poziom: podstawowa - typ: open - działy: Ciągi, ciagi ## Treść Dany jest ciąg \((a_{n})\) o wyrazie ogólnym \(a_{n} = \frac{5 - 3n}{2}\), \(n = 1, 2, 3, \ldots\). a) Sprawdź na podstawie definicji, czy ciąg \((a_{n})\) jest ciągiem arytmetycznym. b) Oblicz, dla jakiej wartości \(x\) liczby \(a_{4}\), \(x^{2} + 2\), \(a_{12}\) są kolejnymi wyrazami tego samego ciągu geometrycznego. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: **a)** Tak, ciąg \((a_n)\) jest arytmetyczny z różnicą \(r = -\dfrac{3}{7}\) **b)** \(x = 0\) ## Sposób 1 - Bezpośrednie zastosowanie definicji (część a) i własności ciągu geometrycznego (część b) ### Część a) Ciąg jest arytmetyczny, gdy różnica **każdych dwóch kolejnych wyrazów jest stała**, tzn. gdy \(a_{n+1} - a_n = \text{const}\) dla każdego \(n\). Obliczamy wyraz o indeksie \(n+1\): \[a_{n+1} = \frac{5 - 3(n+1)}{7} = \frac{5 - 3n - 3}{7} = \frac{2 - 3n}{7}\] Liczymy różnicę: \[a_{n+1} - a_n = \frac{2-3n}{7} - \frac{5-3n}{7} = \frac{(2-3n)-(5-3n)}{7} = \frac{2-3n-5+3n}{7} = \frac{-3}{7}\] **Różnica \(a_{n+1} - a_n = -\dfrac{3}{7}\) jest stała i nie zależy od \(n\)**, więc z definicji ciąg \((a_n)\) jest arytmetyczny o różnicy \(r = -\dfrac{3}{7}\). \(\square\) ### Część b) **Krok 1: Oblicz \(a_4\) i \(a_{11}\).** \[a_4 = \frac{5 - 3 \cdot 4}{7} = \frac{5-12}{7} = \frac{-7}{7} = -1\] \[a_{11} = \frac{5 - 3 \cdot 11}{7} = \frac{5-33}{7} = \frac{-28}{7} = -4\] **Krok 2: Zastosuj warunek ciągu geometrycznego.** Trzy liczby \(p, q, s\) są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego wtedy i tylko wtedy, gdy: \[q^2 = p \cdot s\] (kwadrat środkowego wyrazu = iloczyn skrajnych) Zatem: \[(x^2+2)^2 = a_4 \cdot a_{11} = (-1) \cdot (-4) = 4\] **Krok 3: Rozwiąż równanie.** \[(x^2+2)^2 = 4\] \[x^2+2 = \pm 2\] **Przypadek I:** \(x^2 + 2 = 2 \implies x^2 = 0 \implies \mathbf{x = 0}\) **Przypadek II:** \(x^2 + 2 = -2 \implies x^2 = -4\) - **brak rozwiązań rzeczywistych** (kwadrat nie może być ujemny) **Krok 4: Sprawdź, czy \(x = 0\) daje poprawny ciąg geometryczny.** Przy \(x = 0\): \(x^2+2 = 2\), więc wyrazy to \(-1,\ 2,\ -4\). Ilorazy: \(\dfrac{2}{-1} = -2\) oraz \(\dfrac{-4}{2} = -2\). Iloraz stały \(q = -2\) ✓ **Odpowiedź: \(x = 0\).** ## Sposób 2 - Weryfikacja przez wzór na wyraz ciągu geometrycznego ### Część a) - weryfikacja na kilku wyrazach (nie zastępuje pełnego dowodu!) \[a_1 = \frac{5-3}{7} = \frac{2}{7}, \quad a_2 = \frac{5-6}{7} = -\frac{1}{7}, \quad a_3 = \frac{5-9}{7} = -\frac{4}{7}\] Różnice: \[a_2 - a_1 = -\frac{1}{7} - \frac{2}{7} = -\frac{3}{7}, \qquad a_3 - a_2 = -\frac{4}{7} - \left(-\frac{1}{7}\right) = -\frac{3}{7}\] Różnica stała. Jednak **to tylko przykład** - pełny dowód wymaga sprawdzenia dla ogólnego \(n\) (jak w Sposobie 1). ### Część b) - przez iloraz ciągu Zakładamy, że \(a_4,\ x^2+2,\ a_{11}\) to ciąg geometryczny o ilorazie \(q\). Wtedy: \[x^2+2 = a_4 \cdot q = -q\] \[a_{11} = a_4 \cdot q^2 = -q^2 \implies -4 = -q^2 \implies q^2 = 4 \implies q = \pm 2\] - Gdy \(q = -2\): \(x^2+2 = (-1)(-2) = 2 \implies x^2=0 \implies x=0\) ✓ - Gdy \(q = 2\): \(x^2+2 = (-1)(2) = -2 \implies x^2=-4\) - brak rozwiązań ✗ **Wynik: \(x = 0\).** ✓ ## Wzory z karty CKE **Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** **Definicja ciągu arytmetycznego** (warunek stałej różnicy): \[a_{n+1} - a_n = r = \text{const}\] Użyliśmy w części a) - sprawdzamy, czy różnica kolejnych wyrazów jest stała. **Warunek ciągu geometrycznego** (wynikający ze wzoru \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\)): \[(a_n)^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1}\] Użyliśmy w części b) - kwadrat środkowego wyrazu równa się iloczynowi skrajnych: \[(x^2+2)^2 = a_4 \cdot a_{11}\] ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** W definicji ciągu arytmetycznego nie wystarczy sprawdzić różnicy dla \(n=1\) lub kilku konkretnych wartości - trzeba pokazać, że \(a_{n+1} - a_n\) jest stała **dla dowolnego \(n\)** (ogólny dowód algebraiczny). > ⚠️ **Uwaga:** W części b) łatwo zapomnieć o przypadku \(x^2+2 = -2\) - zawsze rozwiązuj **obydwa** przypadki z \(\pm\) i dopiero sprawdzaj, które mają rozwiązania rzeczywiste. > ⚠️ **Uwaga:** Wyraz środkowy ciągu geometrycznego może być ujemny! Tu \(q = -2\) i \(x^2+2 = 2 > 0\) - wszystko się zgadza, ale nie odrzucaj automatycznie ujemnych ilorazów. **Poprawna odpowiedź:** a) ciąg jest arytmetyczny z różnicą \(r = -\dfrac{3}{7}\); b) \(x = 0\). ### Sposób 1 - Definicja ciągu arytmetycznego i geometrycznego **a) Sprawdzenie, czy \((a_n)\) jest arytmetyczny:** Ciąg jest arytmetyczny \(\iff\) różnica \(a_{n+1} - a_n\) jest stała dla każdego \(n \in \mathbb{N}_+\). Obliczamy \(a_{n+1}\): \[a_{n+1} = \dfrac{5 - 3(n+1)}{7} = \dfrac{5 - 3n - 3}{7} = \dfrac{2 - 3n}{7}.\] Różnica: \[a_{n+1} - a_n = \dfrac{2 - 3n}{7} - \dfrac{5 - 3n}{7} = \dfrac{(2 - 3n) - (5 - 3n)}{7} = \dfrac{-3}{7} = -\dfrac{3}{7}.\] Różnica nie zależy od \(n\), zatem **ciąg \((a_n)\) jest arytmetyczny** z różnicą \(r = -\dfrac{3}{7}\). **b) Wartość \(x\) dla kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego:** Obliczamy \(a_4\) i \(a_{11}\): \[a_4 = \dfrac{5 - 3\cdot 4}{7} = \dfrac{5 - 12}{7} = -\dfrac{7}{7} = -1,\] \[a_{11} = \dfrac{5 - 3\cdot 11}{7} = \dfrac{5 - 33}{7} = -\dfrac{28}{7} = -4.\] Warunek na ciąg geometryczny (środkowy wyraz jest średnią geometryczną): \[(x^{2}+2)^{2} = a_4 \cdot a_{11}.\] **Uwaga:** wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego muszą być tego samego znaku (bo iloraz jest stały). Tu \(a_4 = -1 < 0\) i \(a_{11} = -4 < 0\), natomiast \(x^{2}+2 > 0\) dla każdego \(x\in\mathbb{R}\). Znaki są różne - należy sprawdzić, czy to się zgadza. Dla ciągu geometrycznego z ilorazem \(q\): \(a_4, a_4 q, a_4 q^{2}\); żeby wszystkie były tego samego znaku, \(q^{2} > 0\) (zawsze prawda), ale \(a_4 q\) ma znak \(a_4\cdot q\). Aby środkowy wyraz \((x^{2}+2)\) był dodatni, iloraz \(q\) musi być ujemny; wtedy \(a_4 q > 0\) (skoro \(a_4 < 0\)). Trzeci wyraz \(a_4 q^{2}\) jest wtedy ujemny (bo \(a_4 < 0, q^{2} > 0\)) - zgadza się z \(a_{11} = -4\). OK, przypadek dopuszczalny. Stosujemy warunek: \[(x^{2}+2)^{2} = (-1)\cdot(-4) = 4.\] \(x^{2}+2 > 0\), więc: \[x^{2}+2 = 2 \Rightarrow x^{2} = 0 \Rightarrow x = 0.\] (Drugie równanie \(x^{2}+2 = -2\) jest sprzeczne z \(x^{2}+2 \ge 2\).) **Odpowiedź:** \(x = 0\). ### Weryfikacja dla \(x = 0\) Trzy liczby: \(-1\), \(0^{2}+2 = 2\), \(-4\). Czy to ciąg geometryczny? Iloraz: \[q_1 = \dfrac{2}{-1} = -2, \quad q_2 = \dfrac{-4}{2} = -2.\] Iloraz stały \(q = -2\) ✓ - jest to ciąg geometryczny. ### Sposób 2 - Alternatywna forma warunku Warunek geometryczny w formie iloczynu: \[\dfrac{x^{2}+2}{a_4} = \dfrac{a_{11}}{x^{2}+2} \iff (x^{2}+2)^{2} = a_4\cdot a_{11}.\] Dalej jak w sposobie 1. ### Uwaga dydaktyczna Warunek „środkowy wyraz = średnia geometryczna" stosujemy w formie \((b)^{2} = a\cdot c\) - w tej formie obejmuje on także ciągi o ujemnym ilorazie (znak pierwiastka ustala się na podstawie znaku środkowego wyrazu). ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1a1p-061/zad/7) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1a1p-061%2Fzad%2F7) ## Podobne zadania - [Zadanie 7](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/7) — Dany jest ciąg \((a_{n})\) o wyrazie ogólnym \(a_{n} = \frac{5 - 3n}{2}\), \(n = 1, 2, 3, \ldots\). a) Sprawdź na podstawie definicji, czy ciąg \((a_{n})\) jest - [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2013-operon-probna-rozszerzona/zad/6) — ąc, że ciąg (a_n) jest ciągiem arytmetycznym oraz wyraz ogólny ciągu (b_n) określony jest wzorem b_n = 5^ a_n , wykaż, że ciąg (b_n) jest ciągiem geometrycznym. _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_