# Matematyka — zadanie 8

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1a1p-061/zad/8
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2006 (podstawowa)
- rok: 2006
- poziom: podstawowa
- typ: open
- działy: Stereometria

## Treść

Zadanie 8. (6 pkt)
Wysokość walca jest o 6 większa od średnicy jego podstawy, a pole jego powierzchni
całkowitej jest równe 378 .
π Oblicz objętość walca.

10
Arkusz I

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: \(V = 980\pi\)

## Sposób 1 - Układ równań z jedną niewiadomą

**Oznaczamy zmienne.** Niech \(r\) będzie promieniem podstawy walca.

Wtedy:
- średnica podstawy \(= 2r\)
- wysokość walca \(h = 2r + 6\) (bo wysokość jest o 6 większa od średnicy)

**Zapisujemy warunek na pole powierzchni całkowitej walca:**

\[P_c = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 378\pi\]

Dzielimy obie strony przez \(\pi\):

\[2r^2 + 2rh = 378\]

Podstawiamy \(h = 2r + 6\):

\[2r^2 + 2r(2r + 6) = 378\]

\[2r^2 + 4r^2 + 12r = 378\]

\[6r^2 + 12r = 378\]

Dzielimy przez \(6\):

\[r^2 + 2r - 63 = 0\]

**Liczymy wyróżnik:**

\[\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-63) = 4 + 252 = 256\]

\[\sqrt{\Delta} = \sqrt{256} = 16\]

**Pierwiastki równania:**

\[r_1 = \frac{-2 + 16}{2} = \frac{14}{2} = 7, \qquad r_2 = \frac{-2 - 16}{2} = \frac{-18}{2} = -9\]

Promień musi być dodatni, więc odrzucamy \(r_2 = -9\).

**Zatem:**

\[r = 7, \qquad h = 2 \cdot 7 + 6 = 20\]

**Objętość walca:**

\[V = \pi r^2 h = \pi \cdot 7^2 \cdot 20 = \pi \cdot 49 \cdot 20 = \boxed{980\pi}\]

## Sposób 2 - Weryfikacja przez sprawdzenie pola powierzchni

Sprawdzamy, czy wyznaczone \(r = 7\) i \(h = 20\) spełniają warunki zadania.

**Warunek 1:** Czy wysokość jest o \(6\) większa od średnicy?

\[h = 20, \qquad 2r = 14\]

\[20 - 14 = 6 \checkmark\]

**Warunek 2:** Czy pole powierzchni całkowitej wynosi \(378\pi\)?

\[P_c = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi \cdot 49 + 2\pi \cdot 7 \cdot 20\]

\[P_c = 98\pi + 280\pi = 378\pi \checkmark\]

Oba warunki spełnione. Objętość:

\[V = \pi r^2 h = 49\pi \cdot 20 = 980\pi \checkmark\]

## Wzory z karty CKE

**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)**

Pole powierzchni całkowitej walca:
\[P_c = 2\pi r(r + h)\]

Objętość walca:
\[V = \pi r^2 h\]

Użyliśmy wzoru na \(P_c\), żeby zbudować równanie kwadratowe względem \(r\), a potem wzoru na \(V\) do obliczenia odpowiedzi.

**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**

\[\Delta = b^2 - 4ac, \qquad x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\]

Użyliśmy do rozwiązania równania \(r^2 + 2r - 63 = 0\).

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Wysokość jest o 6 większa od **średnicy**, nie od **promienia**! Łatwo pomylić i napisać \(h = r + 6\) zamiast \(h = 2r + 6\) - to da zupełnie inny wynik.

> ⚠️ **Uwaga:** Po rozwiązaniu równania kwadratowego wychodzą dwa pierwiastki - zawsze sprawdź, czy mają sens geometryczny. Promień \(r = -9\) jest ujemny, więc trzeba go odrzucić.

> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij podzielić równania przez \(\pi\) na początku (lub nie zapominaj, że \(\pi\) skraca się z obu stron) - niepotrzebne rachunki z \(\pi\) w środku prowadzą do błędów arytmetycznych.

**Poprawna odpowiedź:** \(V = 980\pi\).

### Sposób 1 - Równanie kwadratowe w \(r\)

Oznaczenia: \(r\) - promień podstawy walca, \(h\) - wysokość. Wtedy średnica podstawy \(= 2r\).

**Warunki zadania:**
1. Wysokość o 6 większa od średnicy: \(h = 2r + 6\).
2. Pole powierzchni całkowitej: \(P_c = 2\pi r^{2} + 2\pi r h = 378\pi\).

**Podstawienie i uproszczenie:**
\[2\pi r^{2} + 2\pi r(2r + 6) = 378\pi \quad |\div 2\pi\]
\[r^{2} + r(2r+6) = 189\]
\[r^{2} + 2r^{2} + 6r = 189\]
\[3r^{2} + 6r - 189 = 0 \quad |\div 3\]
\[r^{2} + 2r - 63 = 0.\]

**Wyróżnik:**
\[\Delta = 2^{2} - 4\cdot 1\cdot(-63) = 4 + 252 = 256, \quad \sqrt{\Delta} = 16.\]

**Pierwiastki:**
\[r_1 = \dfrac{-2 - 16}{2} = -9 < 0 \text{ (odrzucam)}, \quad r_2 = \dfrac{-2 + 16}{2} = 7.\]

Zatem \(r = 7\), \(h = 2\cdot 7 + 6 = 20\).

**Objętość:**
\[V = \pi r^{2} h = \pi\cdot 49\cdot 20 = 980\pi.\]

### Sposób 2 - Równanie kwadratowe w \(h\)
Z warunku \(h = 2r + 6\): \(r = \dfrac{h-6}{2}\).

Podstawiamy do \(P_c\):
\[2\pi\left(\dfrac{h-6}{2}\right)^{2} + 2\pi\cdot\dfrac{h-6}{2}\cdot h = 378\pi \quad |\div \pi\]
\[\dfrac{(h-6)^{2}}{2} + (h-6)h = 378\]
\[\dfrac{h^{2} - 12h + 36}{2} + h^{2} - 6h = 378 \quad |\cdot 2\]
\[h^{2} - 12h + 36 + 2h^{2} - 12h = 756\]
\[3h^{2} - 24h + 36 = 756\]
\[3h^{2} - 24h - 720 = 0 \quad |\div 3\]
\[h^{2} - 8h - 240 = 0.\]

\(\Delta = 64 + 960 = 1024\), \(\sqrt{\Delta} = 32\):
\[h = \dfrac{8 + 32}{2} = 20 \text{ (lub } h = -12 \text{ odrzucam)}.\]

\(r = \dfrac{20-6}{2} = 7\); \(V = \pi\cdot 49\cdot 20 = 980\pi\).

### Weryfikacja
- \(h = 2r + 6\): \(20 = 14 + 6\) ✓.
- \(P_c = 2\pi\cdot 49 + 2\pi\cdot 7\cdot 20 = 98\pi + 280\pi = 378\pi\) ✓.

### Uwaga dydaktyczna
Typowy schemat: (1) zapis zależności wymiarów, (2) wykorzystanie pola całkowitego → równanie kwadratowe, (3) odrzucenie pierwiastka ujemnego, (4) obliczenie objętości. Ważne: nie zapomnieć o wzorze \(P_c = 2\pi r^{2} + 2\pi rh\) (dwie podstawy + powierzchnia boczna).

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1a1p-061/zad/8)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1a1p-061%2Fzad%2F8)

## Podobne zadania

- [Zadanie 8](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/8) — Zadanie 8. (6 pkt) Wysokość walca jest o 6 większa od średnicy jego podstawy, a pole jego powierzchni całkowitej jest równe 378 . π Oblicz objętość walca. 10 Ar
- [Zadanie 36](https://matura.lol/question/matematyka-2024-maj-matura-stara-podstawowa/zad/36) — Zadanie 36. (0-5) W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym o objętości równej 108 stosunek długości krawędzi podstawy do wysokości graniastosłupa jest równy 1
- [Zadanie 34](https://matura.lol/question/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/34) — Zadanie 34. (5 pkt) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS, którego krawędź boczna ma długość 6 (zobacz rysunek). Ściana boczna tego ostrosłupa jest n
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (0-5) Podstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt o polu równym 432, a stosunek długości boków tego prostokąta jest równy . Przekątne podstawy ABCD prz

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_