# Matematyka — zadanie 9 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1a1p-061/zad/9 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2006 (podstawowa) - rok: 2006 - poziom: podstawowa - typ: open - działy: Równania i nierówności ## Treść Dane są zbiory liczb rzeczywistych: \(A = \left\{ x : \frac{3}{x} \leq 1 \right\}\) i \(B = \left\{ x : |x+1| < 3 \right\}\). a) Zaznacz te zbiory na osi liczbowej. b) Przedstaw zbiory \(A \cup B\) i \(A \setminus B\) w postaci sumy przedziałów liczbowych. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: \[A = (-\infty, 0) \cup \langle 3, +\infty), \quad B = (-4, 2)\] \[A \cup B = (-\infty, 2) \cup \langle 3, +\infty), \quad A \setminus B = (-\infty, -4\rangle \cup \langle 3, +\infty)\] ## Sposób 1 - Analiza przypadków (podział na znak \(x\)) ### Krok 1: Wyznaczyć zbiór \(A\) Nierówność \(\dfrac{3}{x} \leq 1\) ma sens tylko dla \(x \neq 0\). Dzielenie przez \(x\) zmienia kierunek nierówności, gdy \(x < 0\) - dlatego **rozpatrujemy dwa przypadki**. **Przypadek I: \(x > 0\)** Mnożymy obie strony przez \(x > 0\) (kierunek nierówności bez zmian): \[3 \leq x \implies x \geq 3\] Część rozwiązania z tego przypadku: \(\langle 3, +\infty)\) **Przypadek II: \(x < 0\)** Mnożymy obie strony przez \(x < 0\) (**kierunek nierówności się odwraca!**): \[3 \geq x \implies x \leq 3\] Łącząc z założeniem \(x < 0\): każde \(x < 0\) spełnia \(x \leq 3\). Część rozwiązania: \((-\infty, 0)\) **Wynik:** \[\boxed{A = (-\infty, 0) \cup \langle 3, +\infty)}\] ### Krok 2: Wyznaczyć zbiór \(B\) Korzystamy z definicji wartości bezwzględnej: \(|x + 1| < 3 \iff -3 < x + 1 < 3\) Odejmujemy \(1\) od wszystkich części: \[-3 - 1 < x < 3 - 1 \implies -4 < x < 2\] \[\boxed{B = (-4, 2)}\] ### Krok 3: Zaznaczyć zbiory na osi liczbowej A: ←========) [=========→ 0 3 B: (=============) -4 2 - \(A\): strzałka w lewo od \(0\) (kółko puste - 0 nie należy), strzałka w prawo od \(3\) (kółko pełne - 3 należy) - \(B\): otwarty przedział od \(-4\) do \(2\) (oba krańce puste) ### Krok 4: Wyznaczyć \(A \cup B\) Suma zbiorów zawiera wszystkie punkty należące do \(A\) **lub** do \(B\). \[A \cup B = \bigl[(-\infty, 0) \cup \langle 3, +\infty)\bigr] \cup (-4, 2)\] Część \((-\infty, 0)\) i część \((-4, 2)\) pokrywają się na odcinku \((-4, 0)\). Połączone razem dają \((-\infty, 2)\): \[(-\infty, 0) \cup (-4, 2) = (-\infty, 2)\] Zatem: \[\boxed{A \cup B = (-\infty, 2) \cup \langle 3, +\infty)}\] > Uwaga: punkt \(2\) **nie należy** do sumy (nie należy ani do \(A\), ani do \(B\)), a punkt \(3\) **należy** (jest w \(A\)). ### Krok 5: Wyznaczyć \(A \setminus B\) Różnica \(A \setminus B\) = elementy należące do \(A\), które **nie należą** do \(B\). Czyli: \(A \setminus B = A \cap B'\), gdzie \(B' = (-\infty, -4\rangle \cup \langle 2, +\infty)\). Sprawdzamy osobno oba składniki \(A\): **Ze składnika \((-\infty, 0)\)** usuwamy część wspólną z \(B = (-4, 2)\): \[(-\infty, 0) \cap (-4, 2) = (-4, 0)\] Po usunięciu zostaje: \[(-\infty, 0) \setminus (-4, 0) = (-\infty, -4\rangle\] > Punkt \(-4\) **nie należy** do \(B\) (przedział otwarty), więc **należy** do \(A \setminus B\). **Ze składnika \(\langle 3, +\infty)\)** usuwamy część wspólną z \(B = (-4, 2)\): \[\langle 3, +\infty) \cap (-4, 2) = \emptyset \quad \text{(bo } 3 \geq 2\text{)}\] Ten składnik pozostaje bez zmian: \(\langle 3, +\infty)\) \[\boxed{A \setminus B = (-\infty, -4\rangle \cup \langle 3, +\infty)}\] ## Sposób 2 - Wyznaczanie \(A\) metodą znaku ilorazu Przekształcamy nierówność do postaci z zerem po prawej: \[\frac{3}{x} - 1 \leq 0 \implies \frac{3 - x}{x} \leq 0\] Iloraz \(\dfrac{3-x}{x}\) jest **nieujemny** (tj. \(\leq 0\)) gdy licznik i mianownik mają **różne znaki** lub licznik = 0. Szkielet znakowy: | Przedział | \(3 - x\) | \(x\) | Iloraz | | \(x < 0\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) ✓ | | \(0 < x < 3\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) ✗ | | \(x = 3\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) ✓ | | \(x > 3\) | \(-\) | \(+\) | \(-\) ✓ | Warunek spełniony (iloraz \(\leq 0\)) dla \(x < 0\) oraz \(x \geq 3\): \[A = (-\infty, 0) \cup \langle 3, +\infty) \quad \checkmark\] Wynik zgodny z Metodą 1. Wyznaczenie \(B\), \(A \cup B\) i \(A \setminus B\) - identyczne jak wyżej. ## Wzory z karty CKE **Dział 1 (Wartość bezwzględna, s. 4)** - nierówność z wartością bezwzględną: \[|x - a| < r \iff a - r < x < a + r\] Użyliśmy przy wyznaczaniu \(B\): \(|x + 1| < 3\) to \(|x - (-1)| < 3\), stąd \(-1 - 3 < x < -1 + 3\). W tym zadaniu nie potrzebujemy innych wzorów z karty - kluczowe jest poprawne rozwiązywanie nierówności z uwzględnieniem dziedziny. ## Typowe pułapki > ⚠️ **Uwaga:** Przy nierówności \(\dfrac{3}{x} \leq 1\) **nie wolno** od razu mnożyć obu stron przez \(x\) bez sprawdzenia znaku. Jeśli uczeń pominie to i zapisze \(3 \leq x\), dostanie tylko połowę zbioru \(A\) - zgubi całą gałąź \((-\infty, 0)\). > ⚠️ **Uwaga:** Punkt \(x = 0\) **nie należy** do \(A\) (wyrażenie \(\dfrac{3}{0}\) jest niezdefiniowane) - przedział po lewej jest otwarty przy \(0\). Łatwo o błąd przy rysowaniu na osi. > ⚠️ **Uwaga:** Przy wyznaczaniu \(A \setminus B\) sprawdź, czy krańce przedziałów należą do właściwego zbioru. Tu \(-4\) **nie należy** do \(B\) (otwarte nawiasy), więc należy do \(A \setminus B\) i przedział jest domknięty: \((-\infty, -4\rangle\), a nie otwarty \((-\infty, -4)\). **Poprawna odpowiedź:** - \(A = (-\infty, 0) \cup \langle 3, \infty)\), - \(B = (-4, 2)\), - \(A \cup B = (-\infty, 2) \cup \langle 3, +\infty)\), - \(A \setminus B = (-\infty, -4\rangle \cup \langle 3, \infty)\). ### Sposób 1 - Rozwiązanie nierówności wymiernej (zbiór \(A\)) **Założenie dziedziny:** \(x \ne 0\). Nierówność \(\dfrac{3}{x} \le 1\). Przenosimy wszystko na jedną stronę: \[\dfrac{3}{x} - 1 \le 0 \iff \dfrac{3 - x}{x} \le 0.\] Mnożymy licznik i mianownik przez \(x^{2} > 0\) (żeby uniknąć dzielenia przez zmienną), otrzymując równoważną nierówność wielomianową: \[(3 - x)\cdot x \le 0, \quad x \ne 0.\] lub równoważnie \(x(x-3) \ge 0, x\ne 0\). **Analiza znaków \(f(x) = x(x-3)\):** Miejsca zerowe: \(x = 0, x = 3\). Parabola ramionami w górę. \[f(x) \ge 0 \iff x \le 0 \text{ lub } x \ge 3.\] Uwzględniając \(x \ne 0\): \[A = (-\infty,\ 0) \cup \langle 3,\ +\infty).\] **Weryfikacja:** sprawdzamy \(x = -1\): \(\frac{3}{-1} = -3 \le 1\) ✓. Dla \(x = 4\): \(\frac{3}{4} = 0{,}75 \le 1\) ✓. Dla \(x = 1\): \(\frac{3}{1} = 3 \not\le 1\) ✗. ### Sposób 1b - Nierówność z wartością bezwzględną (zbiór \(B\)) \[|x+1| < 3 \iff -3 < x+1 < 3 \iff -4 < x < 2.\] \[B = (-4,\ 2).\] ### Sposób 1c - Operacje mnogościowe Na osi liczbowej: - \(A = (-\infty, 0) \cup \langle 3, \infty)\) - zakreskowana część lewa (otwarte 0) i prawa (domknięte 3). - \(B = (-4, 2)\) - otwarty przedział od \(-4\) do \(2\). **Suma \(A \cup B\):** - \(A\) pokrywa wszystko poniżej 0 i od 3 w prawo. - \(B\) pokrywa \((-4, 2)\) - dodaje fragment \([0, 2)\) do \(A\), bo \((-\infty, 0)\) już był w \(A\). Po dodaniu: \((-\infty, 0) \cup [0, 2) = (-\infty, 2)\) (łączymy przylegające przedziały, ponieważ \(0 \in B\)). Dla \(x \ge 3\) mamy \(A\), bez zmiany. \[A \cup B = (-\infty,\ 2) \cup \langle 3,\ +\infty).\] **Różnica \(A \setminus B\):** Usuwamy z \(A\) elementy należące do \(B = (-4, 2)\): - Z \((-\infty, 0)\) usuwamy \((-4, 0)\) (bo \((-4, 0) \subset B\)); zostaje \((-\infty, -4\rangle\) (koniec \(-4\) zostaje, bo \(-4 \notin B\)). - Z \(\langle 3, +\infty)\) nic nie usuwamy, bo \(B\) kończy się przed 2. \[A \setminus B = (-\infty,\ -4\rangle \cup \langle 3,\ +\infty).\] ### Sposób 2 - Weryfikacja punktami testowymi | punkt | \(A\)? | \(B\)? | \(A\cup B\)? | \(A\setminus B\)? | | \(-5\) | tak | nie | tak | tak | | \(-4\) | tak | nie | tak | tak | | \(-3\) | tak | tak | tak | nie | | \(0\) | nie | tak | tak | nie | | \(1\) | nie | tak | tak | nie | | \(2\) | nie | nie | nie | nie | | \(3\) | tak | nie | tak | tak | Tabela zgodna z wyznaczonymi zbiorami ✓. ### Uwaga dydaktyczna Dla nierówności \(\frac{3}{x} \le 1\) kluczowe jest NIE mnożyć obu stron przez \(x\) (bo nie znamy znaku). Standardowy chwyt: przenieść na jedną stronę + sprowadzić do wspólnego mianownika + analiza znaków ilorazu. ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1a1p-061/zad/9) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1a1p-061%2Fzad%2F9) ## Podobne zadania - [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) Dane jest równanie: ( ) 0 4 1 5 2 2 m m x m x Zbadaj, dla jakich wartości parametru m stosunek sumy pierwiastków rzeczywistych równania do - [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (10 pkt) Rozwiąż nierówność ( ) 9 ,0 2 8 1 4 1 2 1 > x x x x , gdzie lewa strona tej nierówności jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego. 9 Ar - [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/9) — Dane są zbiory liczb rzeczywistych: \(A = \left\{ x : \frac{3}{x} \leq 1 \right\}\) i \(B = \left\{ x : |x+1| < 3 \right\}\). a) Zaznacz te zbiory na osi liczbo - [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-6) Wyznacz wszystkie wartości parametru 𝒎, dla których równanie (𝟑-𝒎) ⋅𝒙𝟐+ (𝒎+ 𝟏) ⋅𝒙-(𝒎+ 𝟏)𝟐= 𝟎 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste 𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 speł _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_