# Matematyka — zadanie 1

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-r1-1p-152/zad/1
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)
- rok: 2015
- poziom: rozszerzona
- typ: closed
- działy: Równania i nierówności

## Treść

Na rysunku przedstawiony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność \(|2x - 8| \leq 10\). Stąd wynika, że

/matma-quiz/images/cke/MMA-R1_1P-152/z1.png

przedstawiony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność 2 x - 8 \(\leq\) 10 . -1 _k x Stąd wynika, że A. k = 2 B . k = 4 C. k = 5 D. k = 9 Zadanie 2. (0-1) x - 2 dla x \(\leq\) 0 Dana jest funkcja f określona wzorem f ( x ) = x + 3 - 4 dla x > 0 Równanie f ( x ) = 1 ma dokładnie

A. \(k=2\)
B. \(k=4\)
C. \(k=5\)
D. \(k=9\)

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: D (\(k = 9\))

## Sposób 1 - Algebraiczne rozwiązanie nierówności z wartością bezwzględną

Rozwiązujemy nierówność \(|2x - 8| \leq 10\), by wyznaczyć granice zbioru zaznaczonego na osi liczbowej. Na rysunku widać, że lewa granica to \(-1\), a prawa to szukane \(k\).

Korzystamy z definicji wartości bezwzględnej: \(|A| \leq r \iff -r \leq A \leq r\):

\[|2x - 8| \leq 10\]
\[-10 \leq 2x - 8 \leq 10\]

Dodajemy \(8\) do każdej części:

\[-10 + 8 \leq 2x \leq 10 + 8\]
\[-2 \leq 2x \leq 18\]

Dzielimy każdą część przez \(2\):

\[-1 \leq x \leq 9\]

**Zbiór rozwiązań to \(\langle -1,\ 9 \rangle\).** Lewa granica to \(-1\) (zgodna z rysunkiem), prawa to \(\mathbf{k = 9}\).

## Sposób 2 - Geometryczna interpretacja (odległość na osi liczbowej)

Przepisujemy nierówność w postaci sugerującej odległość od punktu:

\[|2x - 8| \leq 10 \implies 2|x - 4| \leq 10 \implies |x - 4| \leq 5\]

Interpretacja: szukamy liczb \(x\), których **odległość od \(4\) na osi liczbowej jest co najwyżej \(5\)**.

Korzystamy ze wzoru \(|x - a| \leq r \iff \langle a - r,\ a + r \rangle\):

\[x \in \langle 4 - 5,\ 4 + 5 \rangle = \langle -1,\ 9 \rangle\]

Prawa granica to środek \(+\) promień \(= 4 + 5 = \mathbf{9}\), zatem \(\mathbf{k = 9}\). ✓

## Wzory z karty CKE

**Dział 1 (Wartość bezwzględna, s. 4)** - nierówność z wartością bezwzględną:
\[|x - a| \leq r \iff a - r \leq x \leq a + r\]
Użyliśmy tego w obu sposobach - w Sposobie 1 bezpośrednio, w Sposobie 2 po uproszczeniu do postaci \(|x - 4| \leq 5\).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A: \(k = 2\) | Uczeń myli \(k\) z połową zakresu: \(\frac{18}{2} = 9\), ale myśląc, że \(k\) to promień (\(5\)), myli się o \(2\). Błąd bez sensu algebraicznego. |
| B: \(k = 4\) | Uczeń wyznacza środek przedziału: \(\frac{-b}{2a} = \frac{8}{2} = 4\), ale to wierzchołek, nie prawa granica. |
| C: \(k = 5\) | Uczeń bierze samą prawą stronę nierówności \(10\) i dzieli przez \(2\): \(\frac{10}{2} = 5\) - pomija stałą \(-8\) w środku wartości bezwzględnej. |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Przy \(|2x - 8| \leq 10\) - nie zapomnij podzielić **całej** nierówności przez \(2\)! Wielu uczniów wyciąga \(-8\) z wartości bezwzględnej bez uprzedniego pomnożenia lub zapomina podzielić przez 2 po wyciągnięciu.

> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \(|2x - 8| = 2|x - 4|\) - wyciąganie czynnika \(2\) przed wartość bezwzględną jest dozwolone tylko gdy jest on **nieujemny** (tutaj \(2 > 0\), więc OK).

> ⚠️ **Uwaga:** Na osi liczbowej zawsze sprawdź **obie** granice - lewą i prawą. Tu lewa granica \(-1\) jest dana przez rysunek i służy jako weryfikacja poprawności rachunków.

**Poprawna odpowiedź: D**

### Sposób 1 - Definicja wartości bezwzględnej

Nierówność \(|2x-8| \leq 10\) jest równoważna podwójnej nierówności:
\[-10 \leq 2x - 8 \leq 10\]
Dodajemy 8 do wszystkich części:
\[-2 \leq 2x \leq 18\]
Dzielimy przez 2:
\[-1 \leq x \leq 9\]
Zatem zbiorem rozwiązań jest przedział \(\langle -1, 9 \rangle\). Z rysunku widać, że lewy koniec to \(-1\), więc prawy koniec \(k = 9\).

### Sposób 2 - Interpretacja geometryczna

Nierówność \(|2x-8| \leq 10\) można zapisać jako \(|x-4| \leq 5\) (dzieląc obie strony przez 2). Oznacza to, że odległość \(x\) od punktu \(4\) jest nie większa niż \(5\). Środek przedziału to \(x=4\), promień \(5\), więc końce: \(4-5=-1\) oraz \(4+5=9\). Stąd \(k=9\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A, B, C**: Wartości \(k=2, 4, 5\) są mniejsze od 9; nie spełniają nierówności na końcu przedziału. Np. dla \(x=5\): \(|2 \cdot 5 - 8|=2 \leq 10\) - to punkt wewnętrzny, nie koniec.

**Trik/Klucz:** Przy \(|ax+b| \leq c\) rozpisz jako \(-c \leq ax+b \leq c\) lub podziel przez \(a\) by dostać \(|x-x_0| \leq r\) (interpretacja jako odległość).

**Poprawna odpowiedź: C**

### Sposób 1: Rozwiązanie nierówności i interpretacja wykresu

1. **Rozwiązanie nierówności:**
Musimy rozwiązać nierówność \(2x - 8 \leq 10\).
Dodajemy 8 do obu stron:
\(2x \leq 18\)
Dzielimy obie strony przez 2:
\(x \leq 9\)
Oznacza to, że wszystkie liczby rzeczywiste spełniające nierówność są takie, które są mniejsze lub równe 9.

2. **Interpretacja wykresu:**
Wykres przedstawia zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających \(x \leq 9\). Z wykresu widzimy, że zbiór ten obejmuje liczby od -1 do k (włącznie) oraz wszystkie liczby większe niż k. Ponieważ \(x \leq 9\), to k musi być mniejsze lub równe 9.

3. **Wybór odpowiedzi:**
Z wykresu wynika, że \(k = 9\).

📖 Karta wzorów: s.4: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r

### Sposób 2: Analiza osi na wykresie

1. **Oś na wykresie:**
Oś na wykresie reprezentuje wartości x. Z wykresu widzimy, że lewa granica zbioru to -1, a prawa granica to k. Ponieważ \(x \leq 9\), to k musi być mniejsze lub równe 9.

2. **Określenie k:**
Z wykresu widać, że \(k = 9\).

3. **Wybór odpowiedzi:**
Zatem, \(k = 9\).

📖 Karta wzorów: s.4: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r

### Dlaczego nie inne odpowiedzi?

* **A. jedno rozwiązanie:** Nierówność ma nieskończenie wiele rozwiązań, a nie tylko jedno.
* **B. dwa rozwiązania:** Podobnie jak wyżej, nierówność ma nieskończenie wiele rozwiązań.
* **D. pięć rozwiązań:** Nierówność ma nieskończenie wiele rozwiązań.

W obu sposobach rozwiązania, z wykresu wynika, że \(k = 9\). Wykres pokazuje, że zbiór liczb spełniających nierówność jest przedziałem od -1 do 9 (włącznie).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** D

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-r1-1p-152/zad/1)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-r1-1p-152%2Fzad%2F1)

## Podobne zadania

- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/6) — Dana jest nierówność Wybierz /matma-quiz/images/cke/EMAP-P0-100-2505/z6.png , na którym poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywisty
- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad/6) — Dana jest nierówność Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność? Wybierz wła
- [Zadanie 17](https://matura.lol/question/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/17) — Zadanie 17. (0-1) Dana jest nierówność 2𝑥-1 2 -𝑥+ 2 3 ≥1 6 Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniaj
- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/1) — Dana jest nierówność \(\geq\) 3 Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność? 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_