# Matematyka — zadanie 10 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-r1-1p-152/zad/10 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona) - rok: 2015 - poziom: rozszerzona - typ: open - działy: Planimetria ## Treść Zadanie 10. (0-4) Długości boków czworokąta ABCD są równe: 2 AB = , 3 BC = , 4 CD = , 5 DA = Na czworokącie ABCD opisano okrąg. Oblicz długość przekątnej AC tego czworokąta. Odpowiedź: MMA_1R O trapezie ABCD wiadomo, że można w niego wpisać okrąg, a ponadto długości jego boków AB, BC, CD, AD - w podanej kolejności - tworzą ciąg geometryczny. Uzasadnij, że trapez ABCD jest rombem. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: C Poprawna długość przekątnej wynosi \(AC = \sqrt{\dfrac{253}{13}}\). ## Sposób 1 - Twierdzenie cosinusów + własność czworokąta wpisanego w okrąg **Kluczowa własność:** Skoro na czworokącie \(ABCD\) opisano okrąg, to \(ABCD\) jest **czworokątem cyklicznym** (wpisanym w okrąg). Dla takiego czworokąta suma kątów naprzeciwległych wynosi \(180°\): \[\angle ABC + \angle CDA = 180°\] Oznaczmy \(\angle ABC = \beta\) i \(\angle CDA = \delta\). Mamy więc \(\delta = 180° - \beta\), skąd: \[\cos\delta = \cos(180° - \beta) = -\cos\beta\] **Krok 1: Twierdzenie cosinusów w △ABC** (boki \(AB = 2\), \(BC = 3\), kąt \(\beta\) przy \(B\)): \[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos\beta = 4 + 9 - 12\cos\beta = 13 - 12\cos\beta\] **Krok 2: Twierdzenie cosinusów w △ACD** (boki \(CD = 4\), \(DA = 5\), kąt \(\delta\) przy \(D\)): \[AC^2 = CD^2 + DA^2 - 2 \cdot CD \cdot DA \cdot \cos\delta = 16 + 25 - 40\cos\delta = 41 + 40\cos\beta\] **Krok 3: Przyrównuję obie ekspresje na \(AC^2\):** \[13 - 12\cos\beta = 41 + 40\cos\beta\] \[-28 = 52\cos\beta\] \[\cos\beta = -\frac{28}{52} = -\frac{7}{13}\] **Krok 4: Obliczam \(AC^2\):** \[AC^2 = 13 - 12\cdot\left(-\frac{7}{13}\right) = 13 + \frac{84}{13} = \frac{169 + 84}{13} = \frac{253}{13}\] **Weryfikacja drugą ścieżką:** \[AC^2 = 41 + 40\cdot\left(-\frac{7}{13}\right) = 41 - \frac{280}{13} = \frac{533 - 280}{13} = \frac{253}{13} \checkmark\] \[\boxed{AC = \sqrt{\frac{253}{13}}}\] ## Sposób 2 - Weryfikacja twierdzeniem Ptolemeusza Dla czworokąta wpisanego w okrąg zachodzi **twierdzenie Ptolemeusza**: \[AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot DA\] Prawa strona: \(2 \cdot 4 + 3 \cdot 5 = 8 + 15 = 23\), więc \(AC \cdot BD = 23\). Wyznaczam \(BD\) analogicznie - tym razem przez kąty \(\angle DAB = \alpha\) i \(\angle BCD = \gamma = 180° - \alpha\): Trójkąt \(ABD\) (boki \(DA = 5\), \(AB = 2\), kąt \(\alpha\)): \[BD^2 = 25 + 4 - 20\cos\alpha = 29 - 20\cos\alpha\] Trójkąt \(BCD\) (boki \(BC = 3\), \(CD = 4\), kąt \(\gamma\), więc \(\cos\gamma = -\cos\alpha\)): \[BD^2 = 9 + 16 + 24\cos\alpha = 25 + 24\cos\alpha\] Przyrównuję: \[29 - 20\cos\alpha = 25 + 24\cos\alpha \implies \cos\alpha = \frac{4}{44} = \frac{1}{11}\] \[BD^2 = 25 + \frac{24}{11} = \frac{299}{11} \implies BD = \sqrt{\frac{299}{11}}\] **Sprawdzam Ptolemeusza:** \[AC \cdot BD = \sqrt{\frac{253}{13}} \cdot \sqrt{\frac{299}{11}} = \sqrt{\frac{253 \cdot 299}{143}}\] Liczę: \(253 \cdot 299 = 75\,647\) oraz \(\dfrac{75\,647}{143} = 529 = 23^2\) Zatem \(AC \cdot BD = 23\) - **zgodne z twierdzeniem Ptolemeusza** \(\checkmark\) ## Wzory z karty CKE **Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - twierdzenie cosinusów: \[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha\] Użyte dwukrotnie: w △\(ABC\) i w △\(ACD\), aby wyrazić \(AC^2\) przez kąty naprzeciwległe. **Dział 10 (Planimetria, s. 20)** - własność czworokąta wpisanego w okrąg: \[\alpha + \gamma = \beta + \delta = 180°\] Kluczowa własność - pozwala powiązać dwa różne wyrażenia na \(AC^2\) i wyeliminować niewiadomą kąt \(\beta\). ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Błąd | Skutek | Pułapka | | Użycie \(\cos\delta = +\cos\beta\) zamiast \(-\cos\beta\) | Otrzymujemy \(28\cos\beta = -28\), \(\cos\beta = -1\) - absurd (\(\beta = 180°\)) | Pomyłka we wzorze redukcyjnym: \(\cos(180° - x) = -\cos x\), nie \(+\cos x\) | | Pominięcie własności czworokąta cyklicznego | Dwa równania z dwiema nieznanymi \(AC\) i \(\beta\) - brak jednoznacznego rozwiązania | Bez warunku \(\beta + \delta = 180°\) zadanie jest niewyznaczalne | | Twierdzenie Pitagorasa zamiast cosinusów | Wynik poprawny tylko dla kąta prostego, którego tutaj nie ma | Przekątna \(AC\) nie tworzy trójkąta prostokątnego z żadnymi dwoma bokami | ## Typowe pułapki i uwaga > ⚠️ **Uwaga:** "Opisano okrąg na czworokącie" = okrąg przechodzi przez wszystkie 4 wierzchołki (czworokąt wpisany w okrąg). Nie mylić z okręgiem **wpisanym**, który dotyka boków! Własność \(\beta + \delta = 180°\) dotyczy wyłącznie czworokąta wpisanego. > ⚠️ **Uwaga:** Wzór \(\cos(180° - x) = -\cos x\) - znak minus jest absolutnie kluczowy. Bez niego oba równania na \(AC^2\) nie dadzą się rozwiązać lub dadzą wynik sprzeczny. > ⚠️ **Uwaga:** W △\(ABC\) kąt \(\beta\) to kąt przy wierzchołku \(B\), czyli naprzeciwko szukanej przekątnej \(AC\). Sprawdź zawsze, czy stosujesz twierdzenie cosinusów z właściwym kątem! **Wynik:** \(|AC|=\sqrt{\dfrac{286}{7}}=\dfrac{\sqrt{2002}}{7}\) ### Sposób 1 - Twierdzenie cosinusów i własność czworokąta wpisanego W czworokącie \(ABCD\) wpisanym w okrąg kąty \(\angle B\) i \(\angle D\) są przeciwległe, więc \(\angle B+\angle D=180^{\circ}\), czyli \(\cos D=-\cos B\). W trójkącie \(ABC\) (tw. cosinusów, karta wzorów dział 7): \[|AC|^{2}=|AB|^{2}+|BC|^{2}-2|AB||BC|\cos B = 4+9-12\cos B = 13-12\cos B\] W trójkącie \(ACD\): \[|AC|^{2}=|CD|^{2}+|DA|^{2}-2|CD||DA|\cos D = 16+25-40\cos D = 41-40\cos D\] Ponieważ \(\cos D=-\cos B\): \[13-12\cos B = 41+40\cos B\] \[-52\cos B = 28\] \[\cos B = -\dfrac{28}{52} = -\dfrac{7}{13}\] Zatem: \[|AC|^{2}=13-12 \cdot \left(-\dfrac{7}{13}\right)=13+\dfrac{84}{13}=\dfrac{169+84}{13}=\dfrac{253}{13}\] \[|AC|=\sqrt{\dfrac{253}{13}}=\dfrac{\sqrt{253 \cdot 13}}{13}=\dfrac{\sqrt{3289}}{13}\] Sprawdzenie: \(\sqrt{253/13} \approx \sqrt{19{,}46} \approx 4{,}41\). **Wynik CKE:** \(|AC|=\sqrt{\dfrac{253}{13}}\). ### Sposób 2 - Twierdzenie Ptolemeusza Dla czworokąta wpisanego \(ABCD\): \(|AC| \cdot |BD|=|AB| \cdot |CD|+|BC| \cdot |DA|=2 \cdot 4+3 \cdot 5=23\). To daje relację między przekątnymi, ale potrzebna jest druga. Stosując tw. cosinusów w trójkątach \(ABD\) i \(BCD\) na przekątnej \(BD\) (analogicznie jak wyżej), uzyskuje się układ równań z \(|AC|\) i \(|BD|\). Rozwiązanie: \(|AC|=\sqrt{\dfrac{253}{13}}\), \(|BD|=\dfrac{23}{|AC|}=\dfrac{23 \cdot \sqrt{13}}{\sqrt{253}}=\sqrt{\dfrac{529 \cdot 13}{253}}=\sqrt{\dfrac{6877}{253}}\). ### Uwagi o punktacji - 1 pkt: zastosowanie tw. cosinusów w obu trójkątach. - 2 pkt: wykorzystanie \(\cos D = -\cos B\). - 3 pkt: poprawne obliczenie \(\cos B\). - 4 pkt: obliczenie \(|AC|=\sqrt{\dfrac{253}{13}}\). **Trik/Klucz:** W czworokącie wpisanym kąty przeciwległe sumują się do \(180^{\circ}\), więc cosinusy są przeciwne. Tw. cosinusów + ta obserwacja = równanie na przekątną. **Poprawna odpowiedź: C** ### Sposób 1: Twierdzenie Pytagoras w trójkącie prostokątnym Ten czworokąt jest w rzeczywistości rombem, ponieważ wszystkie jego boki są równe. Możemy obliczyć długość przekątnej AC, korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ABC: \[AB^2 + BC^2 = AC^2\] \[2^2 + 3^2 = AC^2\] \[4 + 9 = AC^2\] \[AC^2 = 13\] \[AC = \sqrt{13}\] 📖 Karta wzorów: s.4: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r, strona 4 ### Sposób 2: Wykorzystanie twierdzenia cosinusów Możemy również obliczyć długość przekątnej AC, korzystając z twierdzenia cosinusów w trójkącie ABC: \[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)\] Ponieważ nie znamy kąta ABC, możemy założyć, że czworokąt jest wpisany w okrąg, co oznacza, że suma jego kątów wynosi 360 stopni. Jednakże, z dostępnych danych, nie możemy bezpośrednio obliczyć kąta ABC. Zatem, korzystając z twierdzenia cosinusów jest to metoda bardziej skomplikowana i mniej bezpośrednia. W tym przypadku, metoda z twierdzeniem Pitagorasa jest znacznie prostsza i bardziej efektywna. 📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras: a²+b²=c², tw.cosinusów a²=b²+c²-2bc·cosα, strona 15-16 ### Dlaczego nie inne odpowiedzi? * **A:** Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r - ta sekcja karty wzorów nie jest związana z obliczaniem długości przekątnej. * **B:** Potęgi: a^r·a^s=a^(r+s), (a^r)^s=a^(rs), √(a²)=|a| - ta sekcja karty wzorów dotyczy potęg, a nie obliczania długości przekątnej. * **D:** Długości boków: |AB|=2, |BC|=3, |CD|=4, |DA|=5 - ta sekcja karty wzorów zawiera informacje o długościach boków, ale nie służy do obliczania przekątnej. W tym przypadku, ponieważ czworokąt jest wpisany w okrąg, a boki są równe, najprostszym i najszybszym rozwiązaniem jest zastosowanie twierdzenia Pitagorasa. ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-r1-1p-152/zad/10) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-r1-1p-152%2Fzad%2F10) ## Podobne zadania - [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w które można wpisać okrąg, spełniające warunek: suma długości dłuższej podstawy a i wysokości t - [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-4) Długości boków czworokąta ABCD są równe: 2 AB = , 3 BC = , 4 CD = , 5 DA = Na czworokącie ABCD opisano okrąg. Oblicz długość przekątnej AC teg - [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2026-styczen-smwp-probna-rozszerzona/zad/5) — W czworokąt ABCD o obwodzie 30 wpisano okrąg. Przekątna |AC| ma długość 2 3 i tworzy kąt ACB o mierze 60^ . Bok |BC| tego czworokąta jest dwukrotnie dłuższy od _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_