# Matematyka — zadanie 11

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-r1-1p-152/zad/11
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)
- rok: 2015
- poziom: rozszerzona
- typ: open
- działy: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka, prawdopodobieństwo

## Treść

Zadanie 11. (0-4)
W pierwszej urnie umieszczono 3 kule białe i 5 kul czarnych, a w drugiej urnie 7 kul białych
i 2 kule czarne. Losujemy jedną kulę z pierwszej urny, przekładamy ją do urny drugiej
i dodatkowo dokładamy do urny drugiej jeszcze dwie kule tego samego koloru, co
wylosowana kula. Następnie losujemy dwie kule z urny drugiej. Oblicz prawdopodobieństwo
zdarzenia polegającego na tym, że obie kule wylosowane z drugiej urny będą białe.
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
10.
11.
Maks. liczba pkt
4
4
Uzyskana liczba pkt

MMA_1R

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: \(\dfrac{5}{11}\)

## Sposób 1 - Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym

**Rozkładamy zdarzenie na dwa przypadki** - zależnie od koloru kuli wylosowanej z urny pierwszej.

**Dane wyjściowe:**
- Urna 1: \(3\) białe, \(5\) czarnych → łącznie \(8\) kul
- Urna 2: \(7\) białych, \(2\) czarne → łącznie \(9\) kul

Po wylosowaniu kuli z urny 1 i przełożeniu jej + dodaniu jeszcze \(2\) kul tego samego koloru - urna 2 zawsze będzie miała \(9 + 3 = 12\) kul.

**Przypadek 1: wylosowano białą kulę z urny 1**

\[P(B_1) = \frac{3}{8}\]

Urna 2 po operacji: \(7 + 1 + 2 = 10\) białych, \(2\) czarne → \(12\) kul.

\[P(\text{obie białe} \mid B_1) = \frac{\binom{10}{2}}{\binom{12}{2}} = \frac{45}{66} = \frac{15}{22}\]

**Przypadek 2: wylosowano czarną kulę z urny 1**

\[P(C_1) = \frac{5}{8}\]

Urna 2 po operacji: \(7\) białych, \(2 + 1 + 2 = 5\) czarnych → \(12\) kul.

\[P(\text{obie białe} \mid C_1) = \frac{\binom{7}{2}}{\binom{12}{2}} = \frac{21}{66} = \frac{7}{22}\]

**Zastosowanie twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym:**

Zdarzenie \(A\) = „obie wylosowane kule z urny 2 są białe":

\[P(A) = P(B_1) \cdot P(A \mid B_1) + P(C_1) \cdot P(A \mid C_1)\]

\[P(A) = \frac{3}{8} \cdot \frac{15}{22} + \frac{5}{8} \cdot \frac{7}{22}\]

\[P(A) = \frac{45}{176} + \frac{35}{176} = \frac{80}{176} = \boxed{\frac{5}{11}}\]

## Sposób 2 - Bezpośrednie zliczanie (ilorazy kombinacyjne krok po kroku)

Rozpisujemy wszystkie etapy dokładniej, pilnując jednostek.

**Przestrzeń zdarzeń** jest dwuetapowa - rozbijamy na dwie gałęzie:

**Gałąź 1 (wyciągnięto białą):** \(P = \frac{3}{8}\)

Urna 2 ma \(10B\), \(2C\), razem \(12\). Sposób wyboru \(2\) białych:
\[\binom{10}{2} = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45, \qquad \binom{12}{2} = \frac{12 \cdot 11}{2} = 66\]

Wkład do sumy:
\[\frac{3}{8} \cdot \frac{45}{66} = \frac{135}{528}\]

**Gałąź 2 (wyciągnięto czarną):** \(P = \frac{5}{8}\)

Urna 2 ma \(7B\), \(5C\), razem \(12\). Sposób wyboru \(2\) białych:
\[\binom{7}{2} = \frac{7 \cdot 6}{2} = 21, \qquad \binom{12}{2} = 66\]

Wkład do sumy:
\[\frac{5}{8} \cdot \frac{21}{66} = \frac{105}{528}\]

**Suma:**
\[P(A) = \frac{135}{528} + \frac{105}{528} = \frac{240}{528} = \frac{5}{11}\]

Wynik zgodny z Metodą 1. ✓

## Wzory z karty CKE

**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)**

Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym (gdy zdarzenia \(B_1, B_2\) tworzą podział przestrzeni):
\[P(A) = P(A \mid B_1) \cdot P(B_1) + P(A \mid B_2) \cdot P(B_2)\]
Użyte w obu sposobach - to fundament całego rozwiązania.

Prawdopodobieństwo klasyczne:
\[P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}\]
Użyte przy obliczaniu \(P(\text{obie białe} \mid \ldots)\) - liczyliśmy sprzyjające i wszystkie kombinacje.

**Dział 4 (Silnia. Współczynnik dwumianowy, s. 6)**

Symbol Newtona:
\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]
Użyte do zliczenia sposobów wylosowania \(2\) kul z \(12\) (lub \(10\), lub \(7\)).

## Typowe pułapki

> ⚠️ **Uwaga:** Urna 2 rośnie o **3 kule**, nie o 1! Wylosowana kula **zostaje** w urnie 2, a do tego dochodzą jeszcze **2 dodatkowe**. Po przełożeniu mamy zawsze \(9 + 3 = 12\) kul w urnie 2 - nie \(10\).

> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \(\binom{10}{2}/\binom{12}{2}\) łatwo zapomnieć, że losujemy **bez zwracania** (bez kolejności). Nie mnożymy \(\frac{10}{12} \cdot \frac{9}{11}\) - choć tu daje ten sam wynik, to wzór kombinacyjny jest czytelniejszy i bezpieczniejszy.

> ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy policzyć jednego przypadku (np. tylko gdy wyciągnięto białą). Musimy **zsumować oba przypadki** ważone ich prawdopodobieństwami - bez tego dostaniemy błędny wynik.

**Wynik:** \(P(A)=\dfrac{9}{20}\)

### Sposób 1 - Prawdopodobieństwo całkowite

Zdarzenia: \(B_1\) - wylosowano białą z urny 1; \(C_1\) - wylosowano czarną.
\[P(B_1)=\dfrac{3}{8}, \quad P(C_1)=\dfrac{5}{8}\]

**Przypadek \(B_1\):** Do urny 2 dodajemy \(1+2=3\) kule białe. Urna 2 ma: \(7+3=10\) białych, \(2\) czarne, łącznie \(12\) kul. Prawdopodobieństwo wylosowania dwóch białych (bez zwracania):
\[P(BB|B_1)=\dfrac{10}{12} \cdot \dfrac{9}{11}=\dfrac{90}{132}=\dfrac{15}{22}\]
Alternatywnie z \(\binom{n}{k}\): \(\dfrac{\binom{10}{2}}{\binom{12}{2}}=\dfrac{45}{66}=\dfrac{15}{22}\).

**Przypadek \(C_1\):** Do urny 2 dodajemy \(1+2=3\) kule czarne. Urna 2 ma: \(7\) białych, \(2+3=5\) czarnych, łącznie \(12\) kul.
\[P(BB|C_1)=\dfrac{\binom{7}{2}}{\binom{12}{2}}=\dfrac{21}{66}=\dfrac{7}{22}\]

Z tw. prawdopodobieństwa całkowitego:
\[P(BB)=P(B_1)P(BB|B_1)+P(C_1)P(BB|C_1)\]
\[=\dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{15}{22}+\dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{7}{22}\]
\[=\dfrac{45}{176}+\dfrac{35}{176}=\dfrac{80}{176}=\dfrac{5}{11}\]

Ponowne sprawdzenie: \(\frac{80}{176}=\frac{10}{22}=\frac{5}{11}\). **Wynik:** \(P=\dfrac{5}{11}\).

### Sposób 2 - Drzewo zdarzeń

Drzewo z dwiema gałęziami (biała/czarna z urny 1), każda rozgałęziająca się na wybór dwóch kul z urny 2. Mnożenie prawdopodobieństw wzdłuż gałęzi i sumowanie: identyczny wynik \(\dfrac{5}{11}\).

### Uwagi o punktacji
- 1 pkt: poprawne rozróżnienie dwóch przypadków.
- 2 pkt: obliczenie \(P(BB|B_1)\) i \(P(BB|C_1)\).
- 3 pkt: zastosowanie wzoru na prawdopodobieństwo całkowite.
- 4 pkt: obliczenie \(P=\dfrac{5}{11}\).

**Trik/Klucz:** Gdy liczba kul się zmienia po pierwszym kroku, zastosuj prawdopodobieństwo całkowite: suma \(P(\text{warunek}) \cdot P(\text{wynik}|\text{warunek})\).

**Poprawna odpowiedź: A**

### Sposób 1: Metoda prawdopodobieństwa warunkowego

1. **Obliczenie prawdopodobieństwa wylosowania pierwszej białej kuli:** W pierwszej urnie jest 3 białe i 5 czarnych kul, łącznie 8. Prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli wynosi \(P(B_1) = \frac{3}{8}\).
2. **Obliczenie prawdopodobieństwa wylosowania drugiej białej kuli, gdy wylosowano już jedną białą kulę:** Po wylosowaniu jednej białej kuli z pierwszej urny, w drugiej urnie mamy 8 kul (7 białych i 2 czarne). Prawdopodobieństwo wylosowania kolejnej białej kuli wynosi \(P(B_2 | B_1) = \frac{7}{8}\).
3. **Obliczenie całkowitego prawdopodobieństwa:** Prawdopodobieństwo, że obie kule będą białe, to iloczyn prawdopodobieństw: \(P(B_1 \cap B_2) = P(B_1) \cdot P(B_2 | B_1) = \frac{3}{8} \cdot \frac{7}{8} = \frac{21}{64}\).

📖 Karta wzorów: Prawdop, s.29, strona 3

### Sposób 2: Metoda z uwzględnieniem wszystkich możliwych konfiguracji

1. **Obliczenie liczby wszystkich możliwych wyników:** Najpierw losujemy jedną kulę z pierwszej urny. Mamy 8 możliwości. Następnie losujemy jedną kulę z drugiej urny, do której dodajemy kulę z pierwszej urny. W drugiej urnie jest 8 kul, więc mamy 8 możliwości. Zatem liczba wszystkich możliwych wyników to 8 * 8 = 64.
2. **Obliczenie liczby korzystnych wyników:** Chcemy, aby obie kule były białe.
* Najpierw losujemy białą kulę z pierwszej urny (3 możliwości).
* Następnie losujemy białą kulę z drugiej urny (7 możliwości).
* Zatem liczba korzystnych wyników to 3 * 7 = 21.
3. **Obliczenie prawdopodobieństwa:** Prawdopodobieństwo, że obie kule będą białe, to iloraz liczby korzystnych wyników na liczbę wszystkich możliwych wyników: \(P = \frac{21}{64}\).

📖 Karta wzorów: Prawdop, s.29, strona 3

### Dlaczego nie inne odpowiedzi?

* **B:** Ta odpowiedź sugeruje obliczenie prawdopodobieństwa wylosowania białej kuli z drugiej urny, co jest nieprawidłowe, ponieważ musimy uwzględnić dodanie kuli do drugiej urny.
* **C:** Ta odpowiedź nie uwzględnia warunku dodania kuli tego samego koloru do drugiej urny, co jest kluczowe dla zadania.
* **D:** Ta odpowiedź jest niepoprawna, ponieważ nie uwzględnia warunku dodania kuli tego samego koloru do drugiej urny.

**Krótko o błędach innych odpowiedzi:** Błędy w innych odpowiedziach wynikają z pominięcia warunku dodawania kuli tego samego koloru do drugiej urny, co znacząco wpływa na obliczenie prawdopodobieństwa. Niektóre odpowiedzi nie uwzględniają również poprawnego sposobu obliczania prawdopodobieństwa warunkowego.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-r1-1p-152/zad/11)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-r1-1p-152%2Fzad%2F11)

## Podobne zadania

- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (6 pkt) W pudełku znajdują się żetony. Wśród nich jest 6 żetonów o nominale 5 zł oraz n żetonów o nominale 10 zł. Losujemy z pudełka dwa żetony. Pra
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-4) W pewnym telewizyjnym programie bierze udział trzech sportowców i pewna liczba aktorów. W trakcie tego programu uczestnicy siadają na fotelach
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-4) W pierwszej urnie umieszczono 3 kule białe i 5 kul czarnych, a w drugiej urnie 7 kul białych i 2 kule czarne. Losujemy jedną kulę z pierwszej 
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2014-maj-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (4 pkt) Z urny zawierającej 10 kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od 1 do 10 losujemy jednocześnie trzy kule. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_