# Matematyka — zadanie 12

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-r1-1p-152/zad/12
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)
- rok: 2015
- poziom: rozszerzona
- typ: open
- działy: Optymalizacja i rachunek różniczkowy, równania i nierówności

## Treść

Zadanie 12. (0-4)
Funkcja f określona jest wzorem
1
2
)
(
2
3
x
x
x
f
dla każdej liczby rzeczywistej x.
Wyznacz równania tych stycznych do wykresu funkcji
,f które są równoległe do prostej
o równaniu
4
y
x

MMA_1R
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
12.
Maks. liczba pkt
4
Uzyskana liczba pkt

MMA_1R
Wyznacz równania prostych stycznych do okręgu o równaniu x^2 + y^2 + 4x - 6y - 3 = 0 i zarazem prostopadłych do prostej x + 2y - 6 = 0.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: A

Wyznaczone styczne to:
\[y = 4x - 7 \quad \text{oraz} \quad y = 4x + \frac{67}{27}\]

## Sposób 1 - Pochodna i równanie stycznej

**Krok 1: Warunek równoległości**

Prosta \(y = 4x\) ma współczynnik kierunkowy \(a = 4\).

Styczna do wykresu \(f\) jest równoległa do tej prostej wtedy i tylko wtedy, gdy nachylenie stycznej (czyli wartość pochodnej) wynosi \(4\):
\[f'(x_0) = 4\]

**Krok 2: Obliczamy pochodną**

\[f(x) = x^3 - 2x^2 + 1\]
\[f'(x) = 3x^2 - 4x\]

**Krok 3: Rozwiązujemy równanie \(f'(x) = 4\)**

\[3x^2 - 4x = 4\]
\[3x^2 - 4x - 4 = 0\]

Wyróżnik:
\[\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64\]
\[\sqrt{\Delta} = 8\]

Pierwiastki:
\[x_1 = \frac{4 + 8}{6} = \frac{12}{6} = 2\]
\[x_2 = \frac{4 - 8}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}\]

**Krok 4: Wyznaczamy punkty styczne**

Dla \(x_1 = 2\):
\[f(2) = 8 - 8 + 1 = 1 \quad \Rightarrow \quad \text{punkt } (2,\, 1)\]

Dla \(x_2 = -\frac{2}{3}\):
\[f\!\left(-\tfrac{2}{3}\right) = \left(-\tfrac{2}{3}\right)^3 - 2\left(-\tfrac{2}{3}\right)^2 + 1 = -\frac{8}{27} - \frac{8}{9} + 1 = -\frac{8}{27} - \frac{24}{27} + \frac{27}{27} = -\frac{5}{27}\]

**Krok 5: Zapisujemy równania stycznych**

Wzór ogólny: \(y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)\)

Dla \(x_0 = 2\):
\[y = 4(x - 2) + 1 = 4x - 8 + 1\]
\[\boxed{y = 4x - 7}\]

Dla \(x_0 = -\frac{2}{3}\):
\[y = 4\!\left(x + \tfrac{2}{3}\right) + \left(-\tfrac{5}{27}\right) = 4x + \frac{8}{3} - \frac{5}{27} = 4x + \frac{72}{27} - \frac{5}{27}\]
\[\boxed{y = 4x + \frac{67}{27}}\]

## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie

Sprawdzamy, że znalezione proste faktycznie stykają się z wykresem \(f\).

**Styczna \(y = 4x - 7\)** - punkt styku przy \(x = 2\)? Porównujemy \(f(x) = 4x - 7\):

\[x^3 - 2x^2 + 1 = 4x - 7\]
\[x^3 - 2x^2 - 4x + 8 = 0\]
\[x^2(x - 2) - 4(x - 2) = 0\]
\[(x-2)(x^2 - 4) = 0\]
\[(x-2)^2(x+2) = 0\]

Pierwiastek \(x = 2\) jest podwójny - to właśnie oznacza styczność (nie secans, lecz styczna). ✓

**Styczna \(y = 4x + \frac{67}{27}\)** - punkt styku przy \(x = -\frac{2}{3}\)? Porównujemy:

\[x^3 - 2x^2 + 1 = 4x + \frac{67}{27}\]
\[x^3 - 2x^2 - 4x + 1 - \frac{67}{27} = 0\]
\[x^3 - 2x^2 - 4x - \frac{40}{27} = 0\]

Sprawdzamy \(x = -\frac{2}{3}\):
\[-\frac{8}{27} - \frac{8}{9} + \frac{8}{3} - \frac{40}{27} = -\frac{8}{27} - \frac{24}{27} + \frac{72}{27} - \frac{40}{27} = 0\] ✓

Dzielimy wielomian przez \(\left(x + \frac{2}{3}\right)^2\) - pierwiastek podwójny potwierdza styczność. ✓

## Wzory z karty CKE

**Dział 16 (Pochodna funkcji, s. 32-33)** - pochodna potęgi i suma:
\[(x^r)' = r \cdot x^{r-1}\]
Użyliśmy do obliczenia \(f'(x) = 3x^2 - 4x\).

**Dział 16 (s. 33)** - równanie stycznej:
\[y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)\]
Kluczowy wzór - zastosowany w Kroku 5 dla obu punktów stycznych.

**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8)** - wzór kwadratowy:
\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad \Delta = b^2 - 4ac\]
Użyliśmy do rozwiązania równania \(3x^2 - 4x - 4 = 0\) w Kroku 3.

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Warunek równoległości to \(f'(x_0) = 4\), **nie** \(f'(x_0) = 0\). Mamy szukać stycznych o danym nachyleniu, nie poziomych stycznych!

> ⚠️ **Uwaga:** Równanie \(3x^2 - 4x = 4\) **trzeba** przekształcić do postaci \(3x^2 - 4x - 4 = 0\), przenosząc \(4\) na lewą stronę - częsty błąd to liczenie delty dla \(3x^2 - 4x\) bez przesunięcia czwórki.

> ⚠️ **Uwaga:** Są **dwie** styczne - łatwo zatrzymać się po znalezieniu \(x_1 = 2\) i pominąć \(x_2 = -\frac{2}{3}\). Zawsze sprawdzaj wszystkie pierwiastki równania \(f'(x) = a\).

**Wynik:** Styczne: \(y=4x-5\) oraz \(y=4x+\dfrac{67}{27}\)

### Sposób 1 - Pochodna i warunek równoległości

Styczna do wykresu \(f\) w punkcie \(x_0\) ma współczynnik kierunkowy \(f'(x_0)\). Prosta \(y=4x\) ma współczynnik \(4\), więc szukamy \(x_0\) takich, że \(f'(x_0)=4\).

\[f'(x)=3x^{2}-4x\]
\[3x^{2}-4x=4\]
\[3x^{2}-4x-4=0\]
\[\Delta=16+48=64, \sqrt{\Delta}=8\]
\[x_0=\dfrac{4 \pm 8}{6}\]
Stąd \(x_0=2\) lub \(x_0=-\dfrac{2}{3}\).

**Dla \(x_0=2\):** \(f(2)=8-8+1=1\). Równanie stycznej: \(y-1=4(x-2)\), czyli \(y=4x-7\).

Sprawdzenie: \(f(2)=1\), \(y(2)=4 \cdot 2-7=1\). OK.

**Dla \(x_0=-\dfrac{2}{3}\):** \(f(-\frac{2}{3})=-\frac{8}{27}-2 \cdot \frac{4}{9}+1=-\frac{8}{27}-\frac{8}{9}+1=-\frac{8}{27}-\frac{24}{27}+\frac{27}{27}=-\frac{5}{27}\). Równanie: \(y+\frac{5}{27}=4(x+\frac{2}{3})\), \(y=4x+\frac{8}{3}-\frac{5}{27}=4x+\frac{72-5}{27}=4x+\frac{67}{27}\).

### Sposób 2 - Zapis kanoniczny stycznej

Rówanie stycznej w punkcie \((x_0, f(x_0))\): \(y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\). Rozwiązujemy \(f'(x_0)=4\) i otrzymujemy \(x_0 \in \{2, -\frac{2}{3}\}\). Dalej jak w sposobie 1.

### Uwagi o punktacji
- 1 pkt: obliczenie pochodnej \(f'(x)=3x^{2}-4x\).
- 2 pkt: rozwiązanie równania \(f'(x)=4\).
- 3 pkt: wyznaczenie punktów styczności.
- 4 pkt: zapisanie równań obu stycznych.

**Trik/Klucz:** Styczna równoległa do \(y=mx+n\) ma współczynnik \(m\). Wyznacz \(x_0\) z \(f'(x_0)=m\), potem \(y-f(x_0)=m(x-x_0)\).

**Poprawna odpowiedź: A**

### Sposób 1: Użycie wzoru na silnię
Rozważmy wzór: n!=1·2·3 n. To jest definicja silni. Zatem, silnia n (oznaczana jako n!) jest równa 1·2·3 n.

\[n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cdot n\]
📖 Karta wzorów: Silnia n!=1·2 n, strona 6

### Sposób 2: Rozpisanie silni
Możemy również rozwinąć silnię, aby pokazać, że jest to iloczyn wszystkich liczb naturalnych od 1 do n. Silnia n to n razy n-1 razy n-2 1.

\[n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \cdot 1\]
📖 Karta wzorów: Silnia n!=1·2 n, strona 6

### Dlaczego nie inne odpowiedzi?
**B.** "log(xy)=logx+logy" - To jest wzór na logarytm iloczynu, ale nie jest to definicja silni.
**C.** "Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r" - To są wzory dotyczące wartości bezwzględnej i nierówności, a nie definicja silni.
**D.** "Potęgi: a^r·a^s=a^(r+s), (a^r)^s=a^(rs), √(a²)=|a|" - To są wzory dotyczące potęg, a nie definicja silni.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-r1-1p-152/zad/12)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-r1-1p-152%2Fzad%2F12)

## Podobne zadania

- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/4) — Zadanie 4. (0-3) Funkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 -4𝑥2 + 9𝑥 dla każdego 𝑥∈ℝ. Punkt 𝑃= (𝑥0 , 18) należy do wykresu funkcji 𝑓. Oblicz 𝒙𝟎 oraz wyznacz ró
- [Zadanie 16](https://matura.lol/question/matematyka-2021-operon-probna-rozszerzona/zad/16) — Suma długości krawędzi graniastosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi 12 3 . Wyznacz największą z możliwych objętość tego graniastosłupa. Wynik zapisz w najpr
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2007-operon-probna-rozszerzona/zad/11) — W jakim punkcie x (0, 2) paraboli y = -x^2 + 4 należy poprowadzić styczną, aby trójkąt ograniczony tą styczną i dodatnimi półosiami osi współrzędnych miał najmn
- [Zadanie 7](https://matura.lol/question/matematyka-2024-operon-probna-rozszerzona/zad/7) — Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których krótsza podstawa i każde z ramion ma długość 5 cm . długość dłuższej podstawy dla trapezu o największym 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_