# Matematyka — zadanie 13

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-r1-1p-152/zad/13
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)
- rok: 2015
- poziom: rozszerzona
- typ: open
- działy: Równania i nierówności, parametr

## Treść

Zadanie 13. (0-5)
Dany jest trójmian kwadratowy
(
)
(
)
4
2
2
1
)
(
2
m
x
m
x
m
x
f
. Wyznacz wszystkie
wartości parametru m, dla których trójmian f ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste
1x ,
2x ,
spełniające warunek
2
2
4
4
1
2
1
2
x
x
x
x

MMA_1R
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
13.
Maks. liczba pkt
5
Uzyskana liczba pkt

MMA_1R
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie (m^2-m)x^2-x+1 = 0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x_1, x_2 takie, że 1 / x_1 + x_2 <= m / 3 <= 1 / x_1 + 1 / x_2.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: \(m = \dfrac{12 + \sqrt{109}}{5}\)

Jest to zadanie otwarte - wyznaczamy konkretną wartość parametru.

## Sposób 1 - Wzory Viète'a + faktoryzacja warunku

**Krok 1 - Warunki wstępne**

Aby \(f\) był trójmianem kwadratowym z dwoma różnymi pierwiastkami rzeczywistymi, muszą zachodzić:
- \(m + 1 \neq 0\), czyli \(m \neq -1\)
- \(\Delta > 0\)

Obliczamy wyróżnik dla \(f(x) = (m+1)x^2 + 2(m-2)x + (4-m)\):
\[
\Delta = [2(m-2)]^2 - 4(m+1)(4-m) = 4(m-2)^2 - 4(m+1)(4-m)
\]
\[
= 4\left[(m^2 - 4m + 4) - (-m^2 + 3m + 4)\right] = 4(2m^2 - 7m) = 4m(2m-7)
\]

\(\Delta > 0 \iff m(2m-7) > 0 \iff \mathbf{m < 0 \text{ lub } m > \tfrac{7}{2}}\)

**Krok 2 - Faktoryzacja warunku**

Warunek: \(x_1^2 - x_2^2 = x_1^4 - x_2^4\)

Przenosimy wszystko na lewą stronę i faktoryzujemy (pamiętamy, że \(x_1^4 - x_2^4 = (x_1^2 - x_2^2)(x_1^2 + x_2^2)\)):
\[
x_1^2 - x_2^2 - (x_1^2 - x_2^2)(x_1^2 + x_2^2) = 0
\]
\[
(x_1^2 - x_2^2)\bigl(1 - x_1^2 - x_2^2\bigr) = 0
\]

Zatem albo \(x_1^2 = x_2^2\), albo \(x_1^2 + x_2^2 = 1\).

Ponieważ \(x_1 \neq x_2\), warunek \(x_1^2 = x_2^2\) oznacza \(x_1 = -x_2\), czyli \(x_1 + x_2 = 0\).

**Krok 3 - Przypadek I: \(x_1 + x_2 = 0\)**

Ze wzorów Viète'a:
\[
x_1 + x_2 = -\frac{2(m-2)}{m+1} = 0 \implies m = 2
\]

Sprawdzamy: \(\Delta(2) = 4 \cdot 2 \cdot (4-7) = -24 < 0\).

Trójmian nie ma dwóch różnych pierwiastków rzeczywistych. **Przypadek I - brak rozwiązań.**

**Krok 4 - Przypadek II: \(x_1^2 + x_2^2 = 1\)**

Korzystamy z tożsamości \(x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2\). Ze wzorów Viète'a:
\[
x_1 + x_2 = \frac{-2(m-2)}{m+1}, \quad x_1 x_2 = \frac{4-m}{m+1}
\]

Podstawiamy:
\[
\frac{4(m-2)^2}{(m+1)^2} - \frac{2(4-m)}{m+1} = 1
\]

Mnożymy przez \((m+1)^2\):
\[
4(m-2)^2 - 2(4-m)(m+1) = (m+1)^2
\]

Rozwijamy każdy człon:
\[
4(m^2 - 4m + 4) = 4m^2 - 16m + 16
\]
\[
2(4-m)(m+1) = 2(-m^2 + 3m + 4) = -2m^2 + 6m + 8
\]
\[
(m+1)^2 = m^2 + 2m + 1
\]

Równanie:
\[
4m^2 - 16m + 16 - (-2m^2 + 6m + 8) = m^2 + 2m + 1
\]
\[
6m^2 - 22m + 8 = m^2 + 2m + 1
\]
\[
5m^2 - 24m + 7 = 0
\]

Wyróżnik: \(\Delta' = 576 - 140 = 436 = 4 \cdot 109\)

\[
m_{1,2} = \frac{24 \pm 2\sqrt{109}}{10} = \frac{12 \pm \sqrt{109}}{5}
\]

**Krok 5 - Weryfikacja warunku \(\Delta > 0\)**

\(\sqrt{109} \approx 10{,}44\), zatem:
- \(m_1 = \dfrac{12 + \sqrt{109}}{5} \approx \dfrac{22{,}44}{5} \approx 4{,}49 > \tfrac{7}{2}\) \(\Rightarrow\) \(\Delta > 0\) ✓
- \(m_2 = \dfrac{12 - \sqrt{109}}{5} \approx \dfrac{1{,}56}{5} \approx 0{,}31 \in \left(0, \tfrac{7}{2}\right)\) \(\Rightarrow\) \(\Delta < 0\) ✗

**Jedyna wartość parametru:**
\[
\boxed{m = \frac{12 + \sqrt{109}}{5}}
\]

## Sposób 2 - Przekształcenie warunku do postaci \(g(x_1) = g(x_2)\)

Warunek zapiszmy jako:
\[
x_1^2 - x_1^4 = x_2^2 - x_2^4
\]

Definiujemy \(g(t) = t^2 - t^4 = t^2(1 - t^2)\). Szukamy, kiedy \(g(x_1) = g(x_2)\) przy \(x_1 \neq x_2\).

\(g(x_1) - g(x_2) = 0\) to:
\[
(x_1^2 - x_2^2) - (x_1^4 - x_2^4) = (x_1^2 - x_2^2)(1 - x_1^2 - x_2^2) = 0
\]

Doszliśmy do tych samych przypadków co w Sposób 1. Dalszy rachunek identyczny - wynik potwierdzony.

## Wzory z karty CKE

**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8)** - wyróżnik i wzory Viète'a:
\[
\Delta = b^2 - 4ac, \qquad x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a}
\]
Użyliśmy tych wzorów do obliczenia \(\Delta\) (warunek dwóch różnych pierwiastków) oraz do wyrażenia \(x_1 + x_2\) i \(x_1 x_2\) przez \(m\).

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Dzieląc warunek przez \((x_1^2 - x_2^2)\) - **nie wolno tego robić**, bo ta różnica może być zerem (i to jest właśnie Przypadek I). Zamiast dzielić, przenosimy wszystko na jedną stronę i faktoryzujemy.

> ⚠️ **Uwaga:** Po wyznaczeniu wartości \(m\) z warunku na pierwiastki, **koniecznie sprawdź** czy \(\Delta > 0\). Oba rozwiązania równania \(5m^2 - 24m + 7 = 0\) wyglądają na kandydatów, ale \(m_2 \approx 0{,}31\) daje \(\Delta < 0\) - trójmian nie ma wtedy żadnych pierwiastków rzeczywistych.

> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj o warunku \(m \neq -1\) - gdyby \(m = -1\), współczynnik przy \(x^2\) wynosiłby zero i wyrażenie nie byłoby trójmianem kwadratowym. Nasz wynik \(m \approx 4{,}49\) ten warunek spełnia.

**Wynik:** \(m \in \left(-\dfrac{5}{2}, -1\right) \cup \left(-1, \dfrac{3}{2}\right)\)

### Sposób 1 - Warunki istnienia i przekształcenie równania

**Warunek 1:** Trójmian musi być rzeczywiście kwadratowy: \(m+1 \neq 0\), czyli \(m \neq -1\).

**Warunek 2:** Dwa różne pierwiastki: \(\Delta > 0\).
\[\Delta=4(m-2)^{2}-4(m+1)(-m+4)=4[(m-2)^{2}+(m+1)(m-4)]\]
\[=4[m^{2}-4m+4+m^{2}-3m-4]=4[2m^{2}-7m]=8m(2m-7)/ \]
Przeliczmy: \((m-2)^{2}=m^{2}-4m+4\); \((m+1)(m-4)=m^{2}-3m-4\). Suma: \(2m^{2}-7m\). Więc \(\Delta=4(2m^{2}-7m)=8m(2m-7)/2 \cdot 2\) \(\Delta=8m^{2} \cdot \), przeliczmy raz jeszcze: \(\Delta=4(2m^{2}-7m)=8m^{2}-28m\).

Discrim warunek: \(\Delta=4[(m-2)^2-(m+1)(-m+4)]\). Wyraz \(-(m+1)(-m+4)=(m+1)(m-4)=m^2-3m-4\). Suma: \(m^2-4m+4+m^2-3m-4=2m^2-7m\). Zatem \(\Delta=4(2m^2-7m)=8m(2m-7) \cdot 1/2 \cdot 2\)… prościej: \(\Delta=8m^2-28m=4m(2m-7)\).

\(\Delta>0 \iff 4m(2m-7)>0 \iff m<0 \lor m>\frac{7}{2}\).

**Warunek 3:** Przekształcamy \(x_1^2-x_2^2=x_1^4-x_2^4\):
\[x_1^4-x_2^4=(x_1^2-x_2^2)(x_1^2+x_2^2)\]
\[x_1^2-x_2^2=(x_1^2-x_2^2)(x_1^2+x_2^2)\]
\[(x_1^2-x_2^2)[1-(x_1^2+x_2^2)]=0\]

Ponieważ \(x_1 \neq x_2\), to \(x_1^2-x_2^2=(x_1-x_2)(x_1+x_2)\) może być zerem gdy \(x_1=-x_2\). Rozpatrujemy dwa przypadki:

**Przypadek (a):** \(x_1+x_2=0\). Ze wzorów Viète'a: \(x_1+x_2=-\dfrac{2(m-2)}{m+1}=0 \Rightarrow m=2\). Sprawdzamy \(\Delta\): \(m=2>\frac{7}{2}\)? Nie, \(m=2<\frac{7}{2}\), ale \(m=2>0\), więc \(\Delta=4 \cdot 2 \cdot (4-7)=-24<0\) - brak pierwiastków. Odrzucamy.

**Przypadek (b):** \(x_1^2+x_2^2=1\). Z tożsamości \(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\). Z Viète'a: \(x_1+x_2=-\dfrac{2(m-2)}{m+1}\), \(x_1x_2=\dfrac{-m+4}{m+1}\).
\[(x_1+x_2)^2=\dfrac{4(m-2)^2}{(m+1)^2}\]
\[x_1^2+x_2^2=\dfrac{4(m-2)^2}{(m+1)^2}-\dfrac{2(-m+4)}{m+1}=\dfrac{4(m-2)^2-2(-m+4)(m+1)}{(m+1)^2}\]
Licznik: \(4(m^2-4m+4)-2(-m^2-m+4m+4)=4m^2-16m+16-2(-m^2+3m+4)=4m^2-16m+16+2m^2-6m-8=6m^2-22m+8\).
Zatem: \(\dfrac{6m^2-22m+8}{(m+1)^2}=1\)
\[6m^2-22m+8=(m+1)^2=m^2+2m+1\]
\[5m^2-24m+7=0\]
\[\Delta_m=576-140=436, \sqrt{\Delta_m}=\sqrt{436}=2\sqrt{109}\]
\[m=\dfrac{24 \pm 2\sqrt{109}}{10}=\dfrac{12 \pm \sqrt{109}}{5}\]

Dokładna odpowiedź CKE (standard): \(m=\dfrac{12-\sqrt{109}}{5}\) oraz \(m=\dfrac{12+\sqrt{109}}{5}\) (po sprawdzeniu warunku \(\Delta>0\) i \(m \neq -1\): \(\sqrt{109} \approx 10{,}44\), więc \(m_1 \approx 0{,}31\) - warunek \(\Delta>0\) wymaga \(m<0\) lub \(m>\frac{7}{2}\), \(m_1\) odrzucamy; \(m_2 \approx 4{,}49>\frac{7}{2}\) - akceptowalne).

**Ostateczna odpowiedź:** \(m=\dfrac{12+\sqrt{109}}{5}\).

### Sposób 2 - Układ warunków

Zapisujemy układ: \(\Delta>0\), \(m \neq -1\), \(x_1^2+x_2^2=1\). Rozwiązanie przez podstawienie i wzory Viète'a prowadzi do tego samego równania \(5m^2-24m+7=0\).

### Uwagi o punktacji
- 1 pkt: warunki istnienia pierwiastków (\(\Delta>0\), \(m \neq -1\)).
- 2 pkt: przekształcenie równania do \(x_1^2+x_2^2=1\) lub \(x_1+x_2=0\).
- 3 pkt: zastosowanie wzorów Viète'a.
- 4 pkt: rozwiązanie równania \(5m^2-24m+7=0\).
- 5 pkt: sprawdzenie warunków i podanie odpowiedzi.

**Trik/Klucz:** \(x_1^4-x_2^4=(x_1^2-x_2^2)(x_1^2+x_2^2)\); podziel obie strony i rozpatrz dwa przypadki.

**Poprawna odpowiedź: C**

### Sposób 1: Użycie wzoru na deltę (wyróżnik równania kwadratowego)
Rozważmy równanie kwadratowe postaci \(ax^2 + bx + c = 0\). Wzór na deltę (wyróżnik) to:
\[ \Delta = b^2 - 4ac \]
W tym przypadku, z zadania mamy: \(x^2 - 4x + 3 = 0\). Zatem \(a = 1\), \(b = -4\) i \(c = 3\). Obliczamy deltę:
\[ \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \]
Ponieważ \(\Delta > 0\), równanie ma dwa różne pierwiastki. Wzór na pierwiastki równania kwadratowego to:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \]
Podstawiając wartości, otrzymujemy:
\[ x_1 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]
\[ x_2 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]
Zatem pierwiastki to 1 i 3.

📖 Karta wzorów: s.7, strona 7 (Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², a²-b²=(a-b)(a+b))

### Sposób 2: Rozkład równania na czynniki
Równanie \(x^2 - 4x + 3 = 0\) można rozłożyć na czynniki:
\[ (x - 1)(x - 3) = 0 \]
Zatem, aby równanie było równe zero, musi być prawdą co najmniej jeden z czynników:
\[ x - 1 = 0 \quad \text{lub} \quad x - 3 = 0 \]
Rozwiązując te równania, otrzymujemy:
\[ x_1 = 1 \quad \text{i} \quad x_2 = 3 \]
Zatem pierwiastki to 1 i 3.

📖 Karta wzorów: s.7, strona 7 (Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², a²-b²=(a-b)(a+b))

### Dlaczego nie inne odpowiedzi?
* **A:** Odpowiedź A zawiera nieprawidłowe pierwiastki równania.
* **B:** Odpowiedź B zawiera nieprawidłowe pierwiastki równania.
* **D:** Odpowiedź D nie zawiera żadnych pierwiastków równania.

Wszystkie odpowiedzi A, B i D są błędne, ponieważ pierwiastki równania \(x^2 - 4x + 3 = 0\) to 1 i 3. Odpowiedź C jest prawidłowa, ponieważ podaje te pierwiastki.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-r1-1p-152/zad/13)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-r1-1p-152%2Fzad%2F13)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-6) Wyznacz wszystkie wartości parametru 𝑚, dla których równanie 𝑥2 -(3𝑚+ 1) ⋅𝑥+ 2𝑚2 + 𝑚+ 1 = 0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste 𝑥1 , 𝑥2 spełn
- [Zadanie 14](https://matura.lol/question/matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/14) — Zadanie 14. (0-6) Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie ( )( ) 2 3 1 2 1 0 x mx m m ma dwa różne rozwiązania 1x , 2x spełniające warunki:
- [Zadanie 3](https://matura.lol/question/matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/3) — Zadanie 3. (6 pkt) Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie ( ) 2 2 1 0 m m x x ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste 1x , 2x takie, że 1 2 1
- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2013-maj-matura-rozszerzona/zad/6) — Zadanie 6. (6 pkt) Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie   2 2 2 1 0 x m x m m      ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste 1x , 2x s

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_