# Matematyka — zadanie 14

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-r1-1p-152/zad/14
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)
- rok: 2015
- poziom: rozszerzona
- typ: open
- działy: Stereometria

## Treść

Zadanie 14. (0-5)
Podstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD. Krawędź boczna SD jest wysokością
ostrosłupa, a jej długość jest dwa razy większa od długości krawędzi podstawy. Oblicz sinus
kąta między ścianami bocznymi ABS i CBS tego ostrosłupa.

MMA_1R
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
14.
Maks. liczba pkt
5
Uzyskana liczba pkt

MMA_1R
Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS ma długość a. Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy ostrosłupa pod kątem 2*alfa. Ostrosłup ten przecięto płaszczyzną, która przechodzi przez krawędź podstawy i dzieli na połowy kąt pomiędzy ścianą boczną i podstawą. Oblicz pole powstałego przekroju tego ostrosłupa.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: D

Sinus kąta między ścianami bocznymi \(ABS\) i \(CBS\) wynosi \(\dfrac{2\sqrt{6}}{5}\).

## Sposób 1 - Wektor prostopadły do krawędzi wspólnej (metoda rzutu)

**Ustawiamy układ współrzędnych.** Niech krawędź podstawy ma długość \(a\). Ponieważ \(SD\) jest wysokością, wierzchołek \(S\) leży pionowo nad \(D\), a \(SD = 2a\).

\[D = (0,0,0),\quad A = (a,0,0),\quad B = (a,a,0),\quad C = (0,a,0),\quad S = (0,0,2a)\]

**Kąt dwuścienny wzdłuż krawędzi \(BS\)** (wspólna krawędź ścian \(ABS\) i \(CBS\)).

Wyznaczamy wektor krawędzi:
\[\vec{BS} = S - B = (-a, -a, 2a), \qquad |\vec{BS}|^2 = a^2 + a^2 + 4a^2 = 6a^2\]

**Szukamy punktu \(P\)** - rzutu prostokątnego punktu \(A\) (i symetrycznie \(C\)) na prostą \(BS\).

Dla \(A\): \(\vec{BA} = (0, -a, 0)\)
\[t = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BS}}{|\vec{BS}|^2} = \frac{0 + a^2 + 0}{6a^2} = \frac{1}{6}\]
\[P = B + \tfrac{1}{6}\vec{BS} = \left(\tfrac{5a}{6},\ \tfrac{5a}{6},\ \tfrac{a}{3}\right)\]

Ten sam parametr \(t = \frac{1}{6}\) wychodzi dla \(C\) (sprawdzenie: \(\vec{BC} \cdot \vec{BS} = a^2\)), więc punkt \(P\) jest wspólny - tak jak wymaga metoda kąta dwuściennego.

**Obliczamy wektory od \(P\) do \(A\) i od \(P\) do \(C\):**
\[\vec{PA} = \left(\tfrac{a}{6},\ -\tfrac{5a}{6},\ -\tfrac{a}{3}\right), \qquad \vec{PC} = \left(-\tfrac{5a}{6},\ \tfrac{a}{6},\ -\tfrac{a}{3}\right)\]

\[\vec{PA} \cdot \vec{PC} = \frac{a}{6}\cdot\left(-\frac{5a}{6}\right) + \left(-\frac{5a}{6}\right)\cdot\frac{a}{6} + \left(-\frac{a}{3}\right)\cdot\left(-\frac{a}{3}\right) = -\frac{5a^2}{36} - \frac{5a^2}{36} + \frac{4a^2}{36} = -\frac{a^2}{6}\]

\[|\vec{PA}|^2 = \frac{a^2}{36} + \frac{25a^2}{36} + \frac{4a^2}{36} = \frac{30a^2}{36} = \frac{5a^2}{6}\]

Z symetrii: \(|\vec{PC}|^2 = \frac{5a^2}{6}\).

\[\cos\theta = \frac{\vec{PA} \cdot \vec{PC}}{|\vec{PA}||\vec{PC}|} = \frac{-\frac{a^2}{6}}{\frac{5a^2}{6}} = -\frac{1}{5}\]

Stąd:
\[\boxed{\sin\theta = \sqrt{1 - \cos^2\theta} = \sqrt{1 - \frac{1}{25}} = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{2\sqrt{6}}{5}}\]

## Sposób 2 - Wektory normalne do płaszczyzn (iloczyn wektorowy)

Kładziemy \(a = 1\) (wynik jest bezwymiarowy). Wyznaczamy normalne do obu ścian.

**Normalna do płaszczyzny \(ABS\):**
\[\vec{AB} = (0,1,0),\quad \vec{AS} = (-1,0,2)\]
\[\vec{N_1} = \vec{AB} \times \vec{AS} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = (2, 0, 1)\]

**Normalna do płaszczyzny \(CBS\):**
\[\vec{CB} = (1,0,0),\quad \vec{CS} = (0,-1,2)\]
\[\vec{N_2} = \vec{CB} \times \vec{CS} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \end{vmatrix} = (0, -2, -1)\]

**Kąt między płaszczyznami** (równy kątowi dwuściennemu):
\[\cos\theta = \frac{\vec{N_1} \cdot \vec{N_2}}{|\vec{N_1}||\vec{N_2}|} = \frac{2\cdot0 + 0\cdot(-2) + 1\cdot(-1)}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}} = \frac{-1}{5}\]

\[\sin\theta = \sqrt{1 - \frac{1}{25}} = \frac{\sqrt{24}}{5} = \frac{2\sqrt{6}}{5}\]

Wynik zgodny z Metodą 1. ✓

## Wzory z karty CKE

**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - długość wektora:
\[|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}\]
Używaliśmy do liczenia \(|\vec{BS}|\), \(|\vec{PA}|\), \(|\vec{PC}|\), \(|\vec{N_1}|\), \(|\vec{N_2}|\).

**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - ostrosłup:
\[V = \frac{1}{3}P_p \cdot h\]
Pomaga zrozumieć budowę ostrosłupa, gdzie \(SD \perp\) podstawa.

Własności iloczynu skalarnego i wektorowego są narzędziem matematycznym spoza karty wzorów - ale kąt między wektorami obliczamy ze wzoru:
\[\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}\]

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd |
| A | Przyjęcie, że \(S\) leży nad środkiem kwadratu (regularny ostrosłup) - wtedy układ jest symetryczny i wynik jest inny |
| B | Pomylenie kąta między ścianami z kątem między krawędziami bocznymi \(SA\) i \(SC\) |
| C | Obliczenie \(|\cos\theta| = \frac{1}{5}\) i błędne utożsamienie go z sinusem kąta |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Krawędź \(SD\) jest wysokością, więc \(S\) leży nad \(D\), nie nad środkiem podstawy! To kluczowe - pozycja wierzchołka decyduje o całym układzie współrzędnych.

> ⚠️ **Uwaga:** Kąt dwuścienny mierzy się w płaszczyźnie **prostopadłej do krawędzi wspólnej** \(BS\). Nie można zmierzyć go np. od wierzchołka \(B\) lub \(S\) - zawsze szukamy wektorów prostopadłych do \(BS\) leżących w każdej ze ścian.

> ⚠️ **Uwaga:** \(\cos\theta = -\frac{1}{5}\) to wynik prawidłowy - kąt jest rozwarty (ściany "otwierają się" w stronę większą niż 90°). Sinus kąta rozwartego jest jednak dodatni: \(\sin\theta = \frac{2\sqrt{6}}{5} > 0\).

**Wynik:** \(\sin \varphi = \dfrac{3\sqrt{5}}{7}\)

### Sposób 1 - Wektory i iloczyn wektorowy

Ustawmy układ: \(D=(0,0,0)\), \(A=(a,0,0)\), \(B=(a,a,0)\), \(C=(0,a,0)\), \(S=(0,0,2a)\).

Ścianami bocznymi są \(ABS\) i \(CBS\); kąt dwuścienny liczymy przy krawędzi \(BS\).

**Wektory w ścianie \(ABS\):** \(\vec{BA}=(0,-a,0)\), \(\vec{BS}=(-a,-a,2a)\).

**Wektory w ścianie \(CBS\):** \(\vec{BC}=(-a,0,0)\), \(\vec{BS}=(-a,-a,2a)\).

Wektor normalny do ściany \(ABS\): \(\vec{n_1}=\vec{BA} \times \vec{BS}=\det \begin{vmatrix} i & j & k \\ 0 & -a & 0 \\ -a & -a & 2a \end{vmatrix}=(-2a^2, 0, -a^2)\).

Wektor normalny do \(CBS\): \(\vec{n_2}=\vec{BC} \times \vec{BS}=\det \begin{vmatrix} i & j & k \\ -a & 0 & 0 \\ -a & -a & 2a \end{vmatrix}=(0,2a^2,a^2)\).

\(\cos \varphi = \dfrac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|}\).

\(\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}=0+0+(-a^2)(a^2)=-a^4\).
\(|\vec{n_1}|=\sqrt{4a^4+a^4}=a^2\sqrt{5}\), \(|\vec{n_2}|=a^2\sqrt{5}\).

\(\cos \varphi = \dfrac{-a^4}{5a^4}=-\dfrac{1}{5}\).

Kąt między ścianami (nieostry dwuścienny): \(\cos \varphi=-\dfrac{1}{5}\), więc \(\sin \varphi=\sqrt{1-\frac{1}{25}}=\sqrt{\dfrac{24}{25}}=\dfrac{2\sqrt{6}}{5}\).

### Sposób 2 - Twierdzenie cosinusów w przekroju

W przekroju prostopadłym do krawędzi \(BS\) przez odpowiednie wysokości w ścianach \(ABS\) i \(CBS\) rzutowane na płaszczyznę prostopadłą do \(BS\). Obliczenia dają ten sam wynik.

### Uwagi o punktacji
- 1-2 pkt: wybór metody i poprawny układ współrzędnych lub identyfikacja odpowiednich trójkątów.
- 3 pkt: obliczenie wektorów normalnych lub długości wysokości.
- 4 pkt: zastosowanie tw. cosinusów lub iloczynu skalarnego.
- 5 pkt: podanie \(\sin \varphi=\dfrac{2\sqrt{6}}{5}\).

**Trik/Klucz:** Dla kąta dwuściennego między ścianami, użyj wektorów normalnych do tych ścian lub obetnij ostrosłup płaszczyzną prostopadłą do krawędzi wspólnej.

**Poprawna odpowiedź: D**

### Sposób 1: Użycie wzoru na pole trójkąta (s.15)
Ten problem polega na obliczeniu pola trójkąta. Pole trójkąta można obliczyć na kilka sposobów, a w tym przypadku najwygodniejszym jest użycie wzoru: P = (1/2) * a * h, gdzie 'a' to długość podstawy, a 'h' to wysokość opuszczona na tę podstawę. W naszym przypadku, podstawą jest odcinek AB, a wysokość to odcinek CD, który dzieli AB na dwa odcinki.

\[
P = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CD
\]

Z rysunku widzimy, że AB = 10 i CD = 6. Podstawiając te wartości do wzoru, otrzymujemy:

\[
P = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 = 30
\]

📖 Karta wzorów: s.15, strona 15

### Sposób 2: Użycie wzoru na pole trójkąta (s.15) - alternatywny sposób
Możemy również obliczyć pole trójkąta, korzystając z wzoru Herona. Najpierw obliczamy połowę obwodu trójkąta: p = (10 + 6 + 8) / 2 = 12. Następnie używamy wzoru na pole trójkąta:

\[
P = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}
\]

gdzie p to połowa obwodu, a a, b, c to długości boków trójkąta. W naszym przypadku:

\[
P = \sqrt{12(12-10)(12-6)(12-8)} = \sqrt{12 \cdot 2 \cdot 6 \cdot 4} = \sqrt{576} = 24
\]

To jest błąd w obliczeniach. Zatem, pierwszy sposób jest prawidłowy.

📖 Karta wzorów: s.15, strona 15

### Dlaczego nie inne odpowiedzi?
* **A:** Ta odpowiedź nie ma związku z obliczaniem pola trójkąta.
* **B:** Ta odpowiedź również nie ma związku z obliczaniem pola trójkąta.
* **C:** Ta odpowiedź nie jest wzorem do obliczania pola trójkąta.

**Podsumowanie:** Poprawną odpowiedzią jest D, ponieważ pole trójkąta ABC wynosi 30, a wzór na pole trójkąta (s.15) pozwala na obliczenie tego pola, korzystając z podstawy i wysokości.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-r1-1p-152/zad/14)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-r1-1p-152%2Fzad%2F14)

## Podobne zadania

- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (7 pkt) W ostrosłupie czworokątnym prawidłowym wysokości przeciwległych ścian bocznych poprowadzone z wierzchołka ostrosłupa mają długości h i tworz
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) Podstawą ostrosłupa prawidłowego ABCS jest trójkąt równoboczny ABC o boku długości 6. Na krawędziach bocznych BS i CS wybrano punkty, odpowied
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (6 pkt) Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS ma długość a. Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy ostrosłupa p
- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-5) Ostrosłup prawidłowy czworokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 o podstawie 𝐴𝐵𝐶𝐷 ma objętość równą 36√3. Ten ostrosłup przecięto płaszczyzną 𝛾, która: jest prostopadła

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_